1、一、问题一、问题NF51032cmB1522cmT25.0MPay420MPaE5101.2 33/108.7mkg求：求：h Dh D使使 m minm min求求ThDx使使min)m(x但应满足：但应满足：强度约束条件：强度约束条件：yx稳定性约束条件：稳定性约束条件：ex二、强度、稳定条件二、强度、稳定条件钢管所受的压力：钢管所受的压力：hLFF1hFLF1hhBF1/222压杆失稳的临界条件：压杆失稳的临界条件：22elEIF 22eLEIF 其中：其中：44rR4I2222rRrR422rR4A222T2D2T2D4A2T2D4A2222DT8ADT)r(RA22钢管所受的压应力：
2、钢管所受的压应力：AF1DThhBF1/222TDhhBF1/222钢管所受的临界力：钢管所受的临界力：AFeeALEI22A8LDTEA222222228L)DE(T)h8(B)DE(T22222因此，强度约束条件因此，强度约束条件 yx可以写成：可以写成：TDhhBF1/222y稳定性约束条件稳定性约束条件 ex可以写成：可以写成：TDhhBF1/222)h8(B)DE(T22222三、解析法三、解析法假定使人字架总质量假定使人字架总质量2h)m(D,AL2122)hTD(B2 为最小的最优解时，刚好满足强度条件，为最小的最优解时，刚好满足强度条件，即：即：h)(D,y从而可将设计变量从而
3、可将设计变量D D用用设计变量设计变量h h表示：表示：hT)hF(BDy1/222代入代入h)m(D,hhBF2m(h)22y根据极值必要条件：根据极值必要条件：0dhdm即即0)hB(1F2)hhB(dhdF222y22y得：得：cm76cm2152Bh*cm6.43TF2Dy*kg8.47FB4my*把所得参数带入稳定性条件，可以证明：把所得参数带入稳定性条件，可以证明：)h,(D)h,(D*e*即稳定约束条件得到满足，所以即稳定约束条件得到满足，所以*h,D这两个参数是满足强度约束和稳定约束，这两个参数是满足强度约束和稳定约束，且使结构最轻的最佳参数。且使结构最轻的最佳参数。四、作图法
4、四、作图法h)(D,h)(D,h)(D,ey在设计平面在设计平面D-hD-h上画出代表上画出代表两条曲线。两条曲线。五、讨论五、讨论 对于具有不等式约束条件的优化问题，对于具有不等式约束条件的优化问题，判断那些约束是起作用的，那些约束是不判断那些约束是起作用的，那些约束是不起作用的，对求解优化问题是很关键的。起作用的，对求解优化问题是很关键的。第二节第二节 机械优化设计问题示例机械优化设计问题示例 在优化设计中，通常是根据分析在优化设计中，通常是根据分析对象的设计要求，应用有关专业的基对象的设计要求，应用有关专业的基础理论和具体技术知识进行推导来建础理论和具体技术知识进行推导来建立相应的方程或
5、方程组。立相应的方程或方程组。对于机械类的分析对象来说，主对于机械类的分析对象来说，主要是根据力学、机械设计基础知识和要是根据力学、机械设计基础知识和各专业机械设备的具体知识来推导方各专业机械设备的具体知识来推导方程或方程组，这些方程反映结构诸参程或方程组，这些方程反映结构诸参数之间的内在联系，通过它可以研究数之间的内在联系，通过它可以研究各参数对设计对象工作性能的影响。各参数对设计对象工作性能的影响。例例1 1平面四连杆机构的优化设计平面四连杆机构的优化设计已知已知00当当时2:002000)(32)(f5x1x4132xx求机构的期望输出角：机构的期望输出角：)(f0机构的实际输出角：机构
6、的实际输出角：)(fjjd)()f(22j00 x2jis0ii32)()x,f(x)f(x相应的约束条件为：相应的约束条件为：1 1）曲柄与机架共线位置时的传动角）曲柄与机架共线位置时的传动角0min0max45135又又xx216xxarccosxx236xxarccos322322min322322max所以：所以：065cosxx2xx036135cosxx2xx03223220322322142 2）曲柄存在条件）曲柄存在条件32144132141312xxxxxxxxxxxxxx3 3）边界约束条件：）边界约束条件：7x17x10 xx406xx323132综上：综上：T32xxx
7、求使使min)()x,f(x)f(2jis0ii32x0 x7)(g01x)(g0 x7)(g01x)(g0 xx4)(g06xx)(g065cosxx2xx)(g036135cosxx2xx)(gt.s38372625324323032232203223221xxxxxxxx142例例2 2 生产计划的优化示例生产计划的优化示例某车间生产甲、乙两种产品，某车间生产甲、乙两种产品，消耗产品 材料（kg)耗电（kw)工时 利润（元）甲 9 4 3 60 乙 4 5 10 120问：每天生产甲、乙两种产品各多少件，问：每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能获得最大的利润？才能获得最大的利润？maxx
8、120 x60)x,f(x)f(2121x0 x0 x200 x5x4300 x10 x3360 x4x921212121 由以上例题不难看出，不论哪个由以上例题不难看出，不论哪个专业范围内的问题，都可以按照如下专业范围内的问题，都可以按照如下的方法和步骤来建立相应的优化设计的方法和步骤来建立相应的优化设计问题的数学模型：问题的数学模型：1）根据设计要求，应用专业范围内的）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行现行理论和经验等，对优化对象进行分析，必要时需要对传统设计中的公分析，必要时需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可能反映该专业范式进行改进，并尽可能反映该专业范围
9、内的现代技术进步的成果。围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计参数和设计变设计的原始参数、设计参数和设计变量。量。3）根据设计要求，确定并构造目标）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。因导致的数量悬殊的影响。第三节第三节 优化设计的数学模型优化设计的数学模型一、设计变量一、设计变量 一个设计方案可以
10、用一组基本参一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。这些基本参数可以数的数值来表示。这些基本参数可以是构件长度、截面尺寸、某些点的坐是构件长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量，也可以是重量、惯性标值等几何量，也可以是重量、惯性矩、力或力矩等物理量，还可以是应矩、力或力矩等物理量，还可以是应力、变形、固有频率、效率等代表工力、变形、固有频率、效率等代表工作性能的导出量。作性能的导出量。对于某个具体的优化设计问题，并不对于某个具体的优化设计问题，并不是要求对所有的基本参数都用优化方法进是要求对所有的基本参数都用优化方法进行修改调整。行修改调整。设计常数：设计常数：根据已有经验预先取为定值。根
11、据已有经验预先取为定值。设计变量：设计变量：在优化设计中不断修改、调整，在优化设计中不断修改、调整，一直处于变化状态。一直处于变化状态。又叫优化参数。又叫优化参数。设计变量的全体实际上是一组变量，设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：可用一个列向量表示：Tn321xxxxx称作设计称作设计变量向量变量向量 这些设计变量可以是一些结构尺寸参这些设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以是一些化学成分的含量或电路数，也可以是一些化学成分的含量或电路参数等，一旦规定了这样一种向量的组成，参数等，一旦规定了这样一种向量的组成，这其中任意一个特定的向量都可以说是一这其中任意一个特定的向量都可以
12、说是一个个“设计设计”。由由n n个设计变量为坐标所组成的实空个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。间称作设计空间。一个一个“设计设计”可以用设计空间中的可以用设计空间中的一点表示，此点可以看成是设计变量向一点表示，此点可以看成是设计变量向量的端点，（始点取在坐标原点），称量的端点，（始点取在坐标原点），称作设计点。作设计点。二、约束条件二、约束条件设计空间是所有设计方案的集合。设计空间是所有设计方案的集合。如果一个设计满足所有对它提如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称可行（或可接受）出的要求，就称可行（或可接受）设计。反之称为不可行（或不可接设计。反之称为不可行（或不可接受）设计。
13、受）设计。一个可行设计必须满足某些设一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称为约计限制条件，这些限制条件称为约束条件，简称束条件，简称约束约束。按约束性质分：按约束性质分：性能约束性能约束侧面约束（边界约束）侧面约束（边界约束）针对性能要求而提出的限制条件针对性能要求而提出的限制条件对设计变量的取值范围加以限制对设计变量的取值范围加以限制按数学表达式分：按数学表达式分：等式约束等式约束不等式约束不等式约束0)h(x0)g(x 约束是对设计点在设计空间中活动约束是对设计点在设计空间中活动范围所加的限制。范围所加的限制。凡满足所有约束条件的设计点，它在凡满足所有约束条件的设计点，它在设
14、计空间的活动范围称为设计空间的活动范围称为可行域可行域。三、目标函数三、目标函数 用来使得设计得以优化的函数称为用来使得设计得以优化的函数称为目目标函数。标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以又用它可以评价设计方案的好坏，所以又称作评价函数。称作评价函数。)f(x记作记作目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的图像只维变量的函数，它的图像只能在能在n+1+1维空间中描述出来，为了在维空间中描述出来，为了在n维空维空间中反映目标函数的变化情况，常采用间中反映目标函数的变化情况，常采用目目标函数等值面的方法标函数等值面的方法。其数学表达式为：。其数学表达式为：c)f(x四、优化问题的数学模型四、
15、优化问题的数学模型 优化问题的数学模型是实际优化设计问题优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象，在明确设计变量、约束条件、目的数学抽象，在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。数学形式。求设计变量向量求设计变量向量Tn321xxxxx使使min)f(x且满足约束条件且满足约束条件m),1,2,(j0)(gl),1,2,(k0)(hjkxx利用可行域的概念，可将数学模型的表达式进利用可行域的概念，可将数学模型的表达式进一步简练：一步简练：求求 使：使：x)f(minRxx在实际优化问题中，目标函数一般有两种在实
16、际优化问题中，目标函数一般有两种形式：形式：min)f(xaxm)f(x按有无约束分：按有无约束分：无约束优化问题无约束优化问题约束优化问题约束优化问题按约束函数和目标函数是否同时为线按约束函数和目标函数是否同时为线性：性：线性规划问题线性规划问题非线性规划问题非线性规划问题按问题规模分：按问题规模分：大型大型中型中型小型小型五、优化问题的几何解释五、优化问题的几何解释 无约束优化问题的极小点即为等无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。值面的中心。约束优化问题是在可行域内对设约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界
17、上。点在可行域内或在可行域边界上。第四节第四节 优化问题的基本解法优化问题的基本解法两种方法：两种方法：解析法解析法数值的近似解法数值的近似解法 都分别具有针对无约束条件和都分别具有针对无约束条件和约束条件的具体解法。约束条件的具体解法。按对函数导数计算的要求，数值方法按对函数导数计算的要求，数值方法分为：分为：需要计算函数二阶导数需要计算函数二阶导数需要计算函数一阶导数需要计算函数一阶导数需要计算函数需要计算函数0阶导数阶导数在机械优化设计中，大致可分为两在机械优化设计中，大致可分为两类设计方法：类设计方法：优化准则法优化准则法数学规划法数学规划法kk1kxcxkkk1kkk1k dxxxx
18、x或对角矩阵对角矩阵 一元函数求极值的过程简称为一元函数求极值的过程简称为一维搜一维搜索过程。索过程。它是确定它是确定 的值使的值使 取极值的过取极值的过程。程。k)f(kkkdx 数学规划法的核心数学规划法的核心建立搜索方向建立搜索方向kd计算最佳步长计算最佳步长k 收敛性是指某种迭代程序产生的序收敛性是指某种迭代程序产生的序列列 收敛于收敛于)0,1,(kkx*1kklimxx点列点列 收敛的必要和充分条件是：收敛的必要和充分条件是：kx对于任意指定的实数对于任意指定的实数 ，都存在一个，都存在一个只与只与 有关而与有关而与 无关的自然数无关的自然数 ，使，使得当两自然数得当两自然数 时，
19、满足：时，满足：0 xNpm,Npm xx 根据这个收敛条件，可以确定迭代终根据这个收敛条件，可以确定迭代终止准则，一般采用以下几种迭代终止准则：止准则，一般采用以下几种迭代终止准则：1 1）当相邻两设计点的移动距离已达到充）当相邻两设计点的移动距离已达到充分小时，若用向量模计算它的长度，则：分小时，若用向量模计算它的长度，则：1k1kxx2 2）当函数值的下降量已达到充分小时，）当函数值的下降量已达到充分小时，即：即：3k1k)f()f(xx或用其相对值：或用其相对值：4kk1k)f()f()f(xxx3 3）当某次跌代点的目标函数梯度以达到）当某次跌代点的目标函数梯度以达到充分小时，即充分
20、小时，即5k)f(x作业：作业：设某无约束优化问题的目标函数是设某无约束优化问题的目标函数是 已知初始迭代点已知初始迭代点 第第1 1次次迭代所取得方向迭代所取得方向 ，步长，步长 第第2 2次迭代所取方向次迭代所取方向 步步长长 ，试计算：，试计算：1 1、第、第1 1次和第次和第2 2次迭代计算所获得的迭代点次迭代计算所获得的迭代点 和和 ；2 2、在点、在点 处的目标函数值；处的目标函数值；3 3、用梯度准则判别完成了第、用梯度准则判别完成了第2 2次迭代后能否终次迭代后能否终止迭代？精度要求止迭代？精度要求 22219xxfxT022xT0364d0.056160T10.394513.55069d1x2x210 xxx0.01 455560.1
