1、第十一章 概率论初步随机事件及其概率第一节随 机 变 量第二节随机事件及其概率随机事件及其概率第 一节一、随机事件随机现象随机现象1.在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象，即在一定条件下必然发生某种结果的现象.例如,早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a、b的矩形，其面积必为ab等.另一类是随机现象,例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；测量零件长度产生的误差等.随机现象具有这样的特点：当在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现.一、随机事件【例例1 1】一
2、、随机事件解 （1）、（2）为确定性现象，因为它们的结果在一定条件下必然发生（现象（1）或必然不发生（现象（2）.（3）、（4）、（5）、（6）是随机现象，因为它们的结果有可能发生，也有可能不发生.某人射击一次，有可能中靶，也有可能不中靶；从5张标签中任取一张，这5张签均有可能被取出；电话机在一分钟内也可能收到0次、1次、3次、4次等呼叫；投掷一枚硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”.一、随机事件随机试验与随机事件随机试验与随机事件2.为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行观察或试验.如果这类观察或试验满足：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）其结果具有多种可能性；（3）在每次
3、试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果.我们把这类观察或试验叫作随机试验.简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验.一、随机事件例1中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？想一想一、随机事件随机试验的结果叫作随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C、来表示.在一定条件下必然发生的事件叫作必然事件，用表示.在一定条件下必然不发生的事件叫作不可能事件,用表示.例如，某练习投篮的学生决定投篮6次，那么“他投进7次”是不可能事件，“他投进的次数比7小”是必然事件，“他投进4次”是随机事件.一、随机事件在一次试验中，我们常常关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中
4、不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件叫作基本事件，包含若干基本事件的事件叫作复合事件.例如，掷一枚骰子，观察出现的点数.“出现i点”（i=1,2,6），这6个事件都是基本事件.“出现奇数点”是复合事件，因为它是由“出现1点”“出现3点”“出现5点”这三个基本事件构成的.一、随机事件【例例2 2】一、随机事件随机事件的关系与运算随机事件的关系与运算3.由前面的讨论可知，随机事件与样本空间的子集一一对应，因此我们可以用集合论的术语、记号来描述事件之间的关系和运算.一、随机事件（1)事件的包含与相等.若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A包含于事件B,或称事件B包含事
5、件A，记为AB.事件A、事件B及样本空间的关系如图11-1所示.图图 11-1 11-1一、随机事件（2)事件的和、积、差.事件A与事件B中至少有一个发生的事件,称为事件A与事件B的和(或并),记为AB.事件A与B的和是由A与B的样本点合并而成的事件,如图11-2所示.图图 11-2 11-2一、随机事件事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积(或交),记为AB,也可简写为AB.事件A与B的积是由A与B的公共的样本点所构成的事件,如图11-3所示.图图 11-3 11-3一、随机事件类似地,可列个事件A1，A2，A3，的积可记为i=1Ai,n个事件A1，A2，A3，An的积可记为n
6、i=1Ai.事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差,记为A-B.事件A与B的差是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件.一、随机事件（3)事件的互不相容(互斥).若AB=,则称事件A与事件B互不相容(互斥).A与B互不相容,是指事件A与事件B不能同时发生,例如,基本事件是两两互不相容的,如图11-4所示.图图 11-4 11-4一、随机事件（4)对立事件.若AB=,且AB=,则称事件A与事件B件互为对立事件(或逆事件)，A与B对立,是指事件A与事件B既不能同时发生又不能同时不发生,即在每次试验中,A与B有且仅有一个发生.A的对立事件记为A.显然，A=A,如图11-5所示.图图
7、11-5 11-5一、随机事件学习提示学习提示一、随机事件 由定义可知,对立事件必为互不相容；反之,互不相容的两个事件未必为对立事件.事件的运算与集合的运算类似，满足下面的规律:设A，B，C为事件,则有交换律:AB=BA；AB=BA.结合律:A(BC)=(AB)C；A(BC)=(AB)C.分配律:A(BC)=(AB)(AC)；A(BC)=(AB)(AC).一、随机事件学习提示学习提示(1)德摩根律也称为对偶律，在处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到.(2)可以借助Venn图帮助分析和理解事件的运算律.一、随机事件一、随机事件【例例3 3】一、随机事件【例例4 4】二、频率与概
8、率随机现象具有不确定性，但是它的发生是否就无规律可言呢？人们通过长期研究发现，观察一两次随机现象，它的结果确实无法预料，也看不出什么规律对同类现象做大量重复观察后，往往可归纳出一定的规律我们先看两个试验：二、频率与概率试验1 掷币试验表11-1是前人掷硬币试验的结果：观察结论：尽管每轮试验次数各不相同，但出现正面的次数与试验次数的比值mn却呈现一定的规律性，即它总在0.5上下波动二、频率与概率试验2 发芽试验表11-2是对某品种大豆进行发芽试验的结果：二、频率与概率学习提示学习提示（1）频率和概率是两个不同的概念，随机事件的频率与试验次数有关，而概率与试验次数无关，因为事件发生的可能性的大小是
9、客观存在的（2）频率是概率的一个近似.在实际应用中，当试验次数足够大时，我们通常用频率近似代替概率二、频率与概率上述两个试验告诉我们：在大量重复试验时，事件“出现正面向上”“种子发芽”发生的频率均具有稳定性.频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小在一个“常数”附近摆动.一般地，在大量重复试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，并在其附近摆动,那么这个常数叫作事件A的概率，记作P(A)概率描述了事件A发生的可能性的大小二、频率与概率【例例5 5】（1）计算表中合格品的各个频率；（2）从这批产品中抽取一个合格产品的概率约是多少？解 （1）合格品频率mn分别为：0.8,0.95,0
10、.88,0.92,0.89,0.91.（2）从这批产品中抽取一个合格产品的概率约是0.9.三、概率的简单性质某彩票的中奖概率为11 000，是否意味着买1 000张彩票就一定能中奖？思考与讨论三、概率的简单性质从概率的定义中，我们可以看出事件A的概率P(A)具有下列性质：性质1 0P(A)1.性质2 P()=1.性质3 P()=0.我们先通过实例引入3个关于事件的概念：互斥事件、事件的并和对立事件.三、概率的简单性质【例例6 6】三、概率的简单性质设事件D为“出现偶数点或5点”.若事件A和事件B中至少有一个发生，则D发生.我们把事件D叫作事件A与事件B的并（或和），记作AB（或A+B）.三、概
11、率的简单性质学习提示学习提示公式（11-1）可以推广到多个两两互斥事件.如果事件A1,A2,An两两互斥，则P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).三、概率的简单性质性质4 如果事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)=P(A)+P(B).（11-1）根据性质4，例6中（1）“出现偶数点或5点”的概率是显然，例6中，A与C是互斥事件，且A与C必有一个发生，即 AC=.像这样，在一个试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作对立事件.事件A的对立事件记作A.三、概率的简单性质根据对立事件的定义,对立事件必然是互斥事件,所以事件A与事件A满足公式(11-1),即P(A)+P(A
12、)=1.(11-2)例6中，A与C是对立事件，即C=A，因此(2)“出现奇数点”的概率是三、概率的简单性质对立事件一定是互斥事件，那么互斥事件是不是对立事件？想一想三、概率的简单性质课堂练习课堂练习三、概率的简单性质【例例7 7】三、概率的简单性质解 设事件A是“中一等奖”，B是“中二等奖”，C是“中三等奖”，D是“中奖”.（1）由于D=ABC，又因为A,B,C两两互斥，所以由公式（10-1）得事件D的概率为P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.4=0.7.（2）事件D的对立事件D为“不中奖”，所以由式（10-2）得不中奖的概率为P(D)=1P(D)=10.
13、7=0.3.随随 机机 变变 量量第 二 节第 二 节 随 机 变 量在随机试验中，人们除了对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验的结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本节将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.一、随机变量的概念为全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，需要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.例如：(1)举例说明结果中含有数字与不含数字的随机试验.(抛硬币试验与掷骰子试验)(2)如果用
14、一个字母表示随机试验结果中的数字，问怎样用这个方法表示结果中不含数字的随机试验.(以抛硬币试验为例)一、随机变量的概念上述表明，随机试验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，因而它是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量.一、随机变量的概念一般地，某随机试验E产生了样本空间，如果对于每一个样本点，都有唯一确定的实数X()与之对应，则称X()是一个随机变量(可简记为X).通常，我们用大写英文字母X，Y，Z，T，或小写希腊字母，表示随机变量，而随机变量的具体取值则用小写字母x，y，z，t，表示.一、随机变量的概念学习提示学习提示若是随机变量，=a+b(a,b是常数)，
15、则也是随机变量.一、随机变量的概念随机变量与之前学过的函数比较，有下列特点：第一，它们都是实值函数，但前者是样本点的函数，即在试验前只知道其可能的取值范围，而不能预先肯定将取哪个值.第二，由于试验结果的随机性，各个结果的出现有一定的规律，因此随机变量的取值也有随机性，有一定的规律.一、随机变量的概念例如：(1)对产品质量检验的随机试验，用X表示检测到的次品的数量，则X=i表示发现i件次品的事件.(2)做灯泡的寿命测试的试验，用Y表示灯泡的寿命（单位：小时），则Y=5 000就表示“灯泡寿命是 5 000 小时”这一事件.(3)用Z表示某地区每年某一天里每时每刻的天气温度，则12Z18表示这一天
16、温度变化在12与18之间的事件.一、随机变量的概念由此可见，随机事件这个概念实际上是包含在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象的，而随机变量则以动态的观点来研究随机现象.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律性的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类，而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.一、随机变量的概念离散型随机变量 随机变量的取值是可以一一列举的，其取值是有限
17、个或可列个.如掷硬币、掷骰子与产品质量检验等试验.连续型随机变量 随机变量的可能取值充满一区间或在某一段是离散的，在另一段又是连续的，它的取值不能一一列举出来.如观察灯泡寿命和天气温度等试验.今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.二、随机变量及其分布学习提示学习提示求离散型随机变量分布列的基本步骤为：确定随机变量的所有可能的值xi;求出各取值的概率P(=)(i)=Pi；列出表格，即为概率分布列.二、随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列1.定义1 设离散型随机变量X所有可能取值为xk(k=1，2，)，且X取各可能值的概率为PX=xk=pk(k=1，2，)，
18、则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列.分布列也可以用表格的形式表示：二、随机变量及其分布 由概率的定义，分布列满足下列两条性质：(1)非负性：pk0(k=1，2，).(2)完备性：k=1pk=1.这两条性质也是判断是否为分布列的条件.例如，前面所说的掷硬币的随机变量X的分布列可表示为二、随机变量及其分布【例例1 1】二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布【例例2 2】二、随机变量及其分布三种重要的离散型随机变量的概率分布三种重要的离散型随机变量的概率分布2.(1)01分布.定义2 设随机变量X只可能取0与1两个值，0p1，分布列为 也可以表示为PX=k=pk(1-p)1-k，k=0，
19、1，其中0p1.称为随机变量X服从参数为p的0-1分布(或两点分布)，记作X0-1分布.二、随机变量及其分布学习提示学习提示当随机试验只有两个可能结果时，则总能在样本空间上定义一个服从0-1分布的随机变量来描述这个随机试验的结果.例如，抛掷硬币的试验，检查产品的质量是否合格，某单位的电力消耗是否超过负荷等.二、随机变量及其分布(2)二项分布.定义3 设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为0，1，2，n.它的分布列为PX=k=Cknpk(1-p)n-k，(k=0，1，2，n)，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p).当n=1时，上式变为PX=k=pk(1
20、-p)1-k，此时，随机变量X服从0-1分布.也可以说0-1分布是二项分布的特例.二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布泊松分布常见于稠密性问题中.例如，在公共汽车站等候汽车的乘客人数，在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼叫次数，一本书一页中的印刷错误数，一批布上的疵点数，在一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数前的粒子数等.二、随机变量及其分布【例例3 3】二、随机变量及其分布解 设10个病人中痊愈的人数为X，则二、随机变量及其分布【例例4 4】二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布【例例5 5】二、随机变量及其分布【例例6 6】二、随机变量及其分布连续型随机变量连续型随机变量
21、3.定义5 如果存在非负可积函数f(x)，使随机变量X在区间a，b上取值并且其取值的概率为PaXb=baf(x)dx，那么称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X概率密度函数或概率密度.易见概率密度函数具有下列性质：性质1 非负性：f(x)0；性质2 完备性：-f(x)dx=1.反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数一定可以作为某连续型随机变量的概率密度函数.二、随机变量及其分布【例例7 7】二、随机变量及其分布由于连续型随机变量X在a，b上的取值概率是用定积分计算的，根据定积分的性质可知，它在任意一点x处的概率为0，即PX=x=0.所以下列事件的概率值都相等，即PaXb=PaXb=PaX
22、0为常数，则称随机变量X服从参数为的指数分布，记作XE().二、随机变量及其分布【例例9 9】二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布(3)正态分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用(作用微小)，则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如，产品的质量指标，元件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，农作物的产量等，都服从或近似服从正态分布.二、随机变量及其分布特别地，上式中当=0，=1时，X称为标准正态分布，记为N(0，1).标准正态分布的概率密度函数用(x)表示，即为 正态分布的概率
23、密度函数y=f(x)的图像称为正态曲线.二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布随机变量的分布函数随机变量的分布函数5.对于离散型随机变量和连续型随机变量，我们可以分别用分布列和概率密度函数来描述.而实际上还存在一种描述各种类型随机变量概率分布的统一方式，这就是随机变量的分布函数.二、随机变量及其分布学习提示学习提示分布函数实际上描述了随机变量X落在点x左侧的概率.二、随机变量及其分布定义9 设X为一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=PXx称为随机变量X的分布函数.对于任意实数x1，x2，且x1x2，有P(x1Xx2)=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1).分布
24、函数具有下列基本性质：性质1 若x1x2，则F(x1)F(x2)，即F(x)是一个不减函数.性质3 F(x0)=F(x)，即F(x)是右连续的.同时满足上述三条性质的函数就是随机变量的分布函数.二、随机变量及其分布【例例1010】二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，对任意实数x，则称F(x)=PXx=x-f(t)dt为连续型随机变量X的分布函数.连续型随机变量X的分布函数有下列性质：(1)F(x)是连续函数；(2)若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)；(3)PaXbF(b)-F(a)=baf(x)dx(ab).二、随机变量及其分布学习提示
25、学习提示一般地，设离散型随机变量X的分布列为PX=xk=pk，k=1，2，利用概率加法公式，可得到X的分布函数为二、随机变量及其分布【例例1111】二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布它的函数值一般直接查表(见附录),标准正态分布的密度函数与分布函数的图像，如图11-6所示.图图 11-6 11-6二、随机变量及其分布根据分布函数的性质，若XN(0，1)，则有PaXb=(b)-(a).标准正态分布的分布函数有下列性质：(1)(0)=0.5；(2)(-x)=1-(x).二、随机变量及其分布【例例1212】二、随机变量及其分布设随机变量XN(，2)，如何查表求相应的概率？请看下面的定理：二、随
26、机变量及其分布【例例1313】二、随机变量及其分布【例例1414】二、随机变量及其分布由此可知，随机变量X落在区间(-3，3)之外的概率小于0.003，根据小概率事件的实际不可能发生原理，可以将区间(-3，3)看作随机变量X的实际取值区间，这就是正态分布的“3法则”.在企业管理中，经常应用这一法则进行质量检查和工艺过程控制.二、随机变量及其分布【例例1515】假设某地区人们的体重服从参数=55，=10(单位：kg)的正态分布，即XN(55，102).任选一人，试求：(1)该人体重在45,65中的概率；(2)该人体重大于85kg的概率.二、随机变量及其分布三、随机变量的数字特征前面讨论了随机变量
27、的分布函数，从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只要知道它的某些数字特征即可.三、随机变量的数字特征例如，在评价某地区粮食产量的水平时，通常只要知道该地区粮食的平均产量；在评价一批棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度，平均长度较大，偏离程度较小，则质量就较好，等等.实际上，描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论上和实践上都具有重要的意义，它们能更直接、更简洁、更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.三、随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望
28、1.【例例1616】一个年级有100名学生，年龄组成为：17岁的2人、18岁的2人、19岁的30人、20岁的56人、21岁的10人.求该年级学生的平均年龄.三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征【例例1717】设离散型随机变量X的分布列为求E(X).解 根据数学期望的定义，得E(X)-10.200.110.320.40.9.三、随机变量的数字特征【例例1818】已知某种电子元件的寿命分布的概率密度函数为三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征例19(2)能否根据数学期望的性质求得？思考与讨论三、随机变量的数字特征【例例1919】求例2中随机变量X的函数的数学期望
29、.(1)E(X2)；(2)E(2X-1).解 (1)E(X2)(-1)20.2020.1120.3220.42.1；(2)E(2X-1)=(2(-1)-1)0.2(20-1)0.1(21-1)0.3(22-1)0.4-30.2(-1)0.110.330.40.8.三、随机变量的数字特征【例例2020】设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位：吨)，它服从区间2 000，4 000上的均匀分布，每销售出一吨该种商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出去，则每吨商品需贮存费1万元.问应组织多少货源，才能使国家收益最大？解 设应组织货源t吨.显然，应要求2 000t4 000，国
30、家收益Y(单位：万元)是X的函数Y=g(X)，表达式为三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征考虑t的取值使E(Y)达到最大，易得t=3 500，因此，组织3 500吨商品为好.数学期望的性质：(1)设C为常数，则E(C)=C；(2)设C为常数，则E(CX)=CE(X)；(3)设C，B为常数，则E(CXB)=CE(X)B；(4)设X，Y为两个随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y).三、随机变量的数字特征方差方差2.三、随机变量的数字特征显然D(X)0，随机变量X的方差的算术平方根称为随机变量的标准差或均方差，记作(X)=D(X).由定义，随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程
31、度.若D(X)较小，则X的取值比较集中，否则，X的取值比较分散.因此，方差D(X)是刻画X取值分散程度的一个量.三、随机变量的数字特征【例例2121】甲、乙两车间生产同一种产品，设1 000件产品中的次品数分别为随机变量X，Y，已知它们的分布列为试讨论甲、乙两车间的产品质量.三、随机变量的数字特征解 先计算均值：E(X)=00.210.120.530.2=1.7，E(Y)=00.110.320.430.2=1.7.我们得到甲、乙两车间次品数均值(次品率)相同.再计算方差：D(X)=(0-1.7)20.2(1-1.7)20.1(2-1.7)20.5(3-17)20.2=1.01，D(Y)=(0-
32、1.7)20.1(1-1.7)203(2-1.7)20.4(3-1.7)20.2=0.81，我们得到D(Y)0，恒有阅读材料偶然性向必然性的转化这一常见的现象，虽很早就被人们注意到了，但只有伯努利大数定理才首次在数学上给予证明.正是这一定理，才使得概率论开始具有了一门统一的数学理论的资格.最后，虽然伯努利提出了将概率思想应用于社会伦理、政治、经济学等，但他并没有给出实例.不过，伯努利指明了一条路，据此向这些问题发起冲击的是一位比他稍晚的同时代的年轻人，亚伯拉罕棣莫弗.阅读材料棣莫弗，1667年生于法国，曾因教派斗争遭到监禁，后移居英国，他在英国靠讲授数学和回答与机会和年度奖金的问题生活，直至1
33、754年在伦敦去世.棣莫弗在概率论方面的主要工作，一是首次定义了独立事件的乘法定理；二是得到了二项概率分布的近似，作为正态分布或高斯分布的原始形式，成为其后两个世纪概率论和统计中有效的发现工具；三是给出了“机会”和稳定频率相关关系的数学表达；四是将概率论用于保险事业，并对“机会”问题进行了较高层次的思考和论述.机会论是棣莫弗对概率论做出的重要贡献.阅读材料蒲丰，10岁时就读耶稣会学院，16岁主修法学，21岁后转向数学、自然科学特别是植物学，并于1739年任巴黎植物园园长，卒于法国大革命前夕.蒲丰在概率论问题上以设计“蒲丰投针问题”而著称，由于投针问题的结果可以用来计算圆周率的近似值，故受到特别
34、重视，成为几何概率的经典范例.蒲丰还另有著述政治算术，亦涉及概率的计算和广泛应用.继雅各布伯努利之后，棣莫佛、拉普拉斯、高斯、泊松等相继对概率论做出了进一步的奠基性贡献.阅读材料4.全面总结与形成时期(18世纪中后叶至19世纪初叶)这一时期的主要代表人物和著作是法国数学家、天文学家拉普拉斯(P.S.Laplace，17491827)和他的概率的分析理论(1812年第1版)，以及1814年概率的分析理论第2版增加了一个长达150页的绪论，该绪论同年刊印成单行本，题为概率的哲学导论.拉普拉斯成长于政治和社会动荡的法国大革命时期，是法国数学家和天文学家.拉普拉斯是古典概率理论和思想的集大成者.概率的
35、分析理论是拉普拉斯对前人及他自己研究成果的全面总结.阅读材料就概率论而言，拉普拉斯主要有以下建树：给出了古典概率的一般定义和有关基本原理；得出拉普拉斯中心极限定理；实现了概率论由组合技巧向分析方法的历史性过渡；将概率论广泛应用于寿命预测、保险、人口统计、选举、气象、天体观测等领域，可谓包罗万象.概率的哲学导论论述概率论定义、发展历史、概率计算的一般原理与应用.在这部著作中，拉普拉斯给出了概率论的七个一般原理，这七个原理是现在概率教科书中古典概率部分的核心内容.阅读材料拉普拉斯关于概率论的哲学思考及其决定论思想集中地反映在他的概率的哲学导论中.这些内容是他超越前人，也是同时代所有科学家、哲学家无
36、人企及的高大精深所在.在法国大革命之前西方数学家和哲学家在追求人人生而平等社会价值观的大背景下，拉普拉斯的重大数学成果概率的分析理论及概率的哲学导论无疑具有重要的社会人文意义.阅读材料西方古典概率思想不但是一切概率理论和数理统计的基础，而且包含了“机会均等”这一重要的人文价值观.从此学科及其产生、发展的过程而言，它的基础作用是毋庸置疑的.概率问题的实质是一个偶然性中求必然、不确定中求确定及其度量问题.从赌博到商业冒险，从海外淘金到登越星球，从人口统计到国家选举，无不显示了古典概率广泛的应用价值.“等可能性”或“机会均等”是古典概率思想产生和研究的前提.“机会均等”的社会人文意义在于是对“人人生而平等”社会价值观的普遍追求和认同，这一价值观已成为人类共同的文化遗产.摘自舒爱莲.古典概率思想的发展过程及要义J.山东轻工业学院学报，2006(2)：77-81.
