1、教育测量学教育测量学第三章第三章 推断统计推断统计几种常用的统计检验方法几种常用的统计检验方法2010.11.22第四节第四节 几种常用统计检验方法几种常用统计检验方法一、关于统计值之间差异的研究一、关于统计值之间差异的研究这些差异一般分为两种情况讨论：这些差异一般分为两种情况讨论：样本统计量与相应的总体参数的差异样本统计量与相应的总体参数的差异两个样本统计量之间的差异。两个样本统计量之间的差异。我们所关心的是我们所关心的是从样本统计值得到的差异能否从样本统计值得到的差异能否作出一般性的结论作出一般性的结论也就是总体参数之间是也就是总体参数之间是否确实存在差异。否确实存在差异。假设检验的基本问
2、题假设检验的基本问题二、关于假设检验二、关于假设检验统计学中进行统计学中进行由样本差异推断总体差异的推论由样本差异推断总体差异的推论过程，称为是假设检验过程，称为是假设检验。经过检验，如果所得到的差异超过了统计学规经过检验，如果所得到的差异超过了统计学规定的某一误差限度，则表明这个误差已经不定的某一误差限度，则表明这个误差已经不属于抽样误差，而是总体确实有差异，这种属于抽样误差，而是总体确实有差异，这种情况就叫差异显著；反之，差异达不到规定情况就叫差异显著；反之，差异达不到规定限度，说明该差异主要来源于抽样误差，称限度，说明该差异主要来源于抽样误差，称差异不显著。差异不显著。假设检验的基本问题
3、假设检验的基本问题具体来说，如果样本统计量与相应的总体已知具体来说，如果样本统计量与相应的总体已知参数差异显著，则意味着该样本已基本不属于参数差异显著，则意味着该样本已基本不属于已知总体；已知总体；若两个样本统计量的差异显著，则意味着各自若两个样本统计量的差异显著，则意味着各自代表的两个总体参数之间确实存在差异。代表的两个总体参数之间确实存在差异。假设检验的基本问题假设检验的基本问题三、统计检验的意义三、统计检验的意义统计检验的一个重要内容就是进行差异的显著统计检验的一个重要内容就是进行差异的显著性检验（检验差异到底是来自总体还是来自性检验（检验差异到底是来自总体还是来自样本）样本）如果在某种
4、标准下，检验结果差异显著，则差如果在某种标准下，检验结果差异显著，则差异来自总体；如果差异不显著，差异来自于异来自总体；如果差异不显著，差异来自于样本，或者说，差异是由于抽样的原因而引样本，或者说，差异是由于抽样的原因而引起的。起的。假设检验的基本问题假设检验的基本问题四四、统计检验的思想和方法、统计检验的思想和方法检验的思想是用反证法。检验时，我们先假设两检验的思想是用反证法。检验时，我们先假设两个总体平均数没有显著性差异，即个总体平均数没有显著性差异，即1=2，这，这种假设称为原假设或零假设种假设称为原假设或零假设H0,然后通过检验然后通过检验,检验其是否成立检验其是否成立.如果差异大如果
5、差异大,就否定假设就否定假设H0,如如果差异小果差异小,就接受假设就接受假设H0.统计检验有无差异必须以一定的标准去衡量统计检验有无差异必须以一定的标准去衡量.假设检验的基本问题假设检验的基本问题五、假设检验的步骤五、假设检验的步骤1、提出原假设、提出原假设H0，即零假设；即零假设；2、选择和计算教育统计量；、选择和计算教育统计量；3、对给定的显著性水平、对给定的显著性水平确定临界值；确定临界值；4、将统计量计算的结果与临界值进行比较，从、将统计量计算的结果与临界值进行比较，从而决定是拒绝还是接受原假设。而决定是拒绝还是接受原假设。Z检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）2、分类
6、、分类 根据样本的多少可以分为单总体的根据样本的多少可以分为单总体的Z检验和双总体检验和双总体的的Z检验。检验。适用条件：适用条件：X1、已知总体标准差、已知总体标准差，或者总体标准差未知，但样本，或者总体标准差未知，但样本 为大样本的平均数的差异性检验。因为大样本的平均为大样本的平均数的差异性检验。因为大样本的平均 数的数的 抽样分布服从于正态分布。故可采用统计量抽样分布服从于正态分布。故可采用统计量Z 检验。检验。1、已知总体标准差、已知总体标准差，或者总体标准差未知，但样本，或者总体标准差未知，但样本 为大样本的平均数的差异性检验。因为大样本的平均为大样本的平均数的差异性检验。因为大样本
7、的平均 数的数的 抽样分布服从于正态分布。故可采用统计量抽样分布服从于正态分布。故可采用统计量Z 检验。检验。单总体的单总体的Z检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）nms，X1、适用条件：、适用条件：检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。2、检验的统计量：、检验的统计量：这里，这里，Z作为检验的统计量，作为检验的统计量，为样本平均数，为样本平均数，为总体平均为总体平均数，数，为总体标准差，为总体标准差，n为样本容量。为样本容量。单总体的单总体的Z检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）nms，
8、3、检验过程：、检验过程：建立虚无假设：建立虚无假设：计算统计量：计算统计量：mm：确定显著性水平确定显著性水平的值。若的值。若为为0.01,则临界值为则临界值为2.58；若；若为为0.05,则为则为1.96.比较，作出判断。若比较，作出判断。若ZZ0.05(或或Z0.01),即即Z1.96,或或Z2.58,则说明在显著性水平则说明在显著性水平=0.05(0.01)的水平上的水平上,差异是显著的差异是显著的,否则否则,就说明差异不显著就说明差异不显著.双总体的双总体的Z检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）12nnss+2，12,XX1、适用条件：、适用条件：检验两个样本平均数各
9、自代表的总体平均数的差异是否显著。检验两个样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。2、检验的统计量：、检验的统计量：这里，这里，Z作为检验的统计量，作为检验的统计量，为样本平均数，为样本平均数，,ss2是两样本的标准差，是两样本的标准差，n1,n2分别为两样本的容量。分别为两样本的容量。双总体的双总体的Z检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）12nnss+2，3、检验过程：、检验过程：建立虚无假设：建立虚无假设：计算统计量：计算统计量：1mm2：确定显著性水平确定显著性水平的值。若的值。若为为0.01,则临界值为则临界值为2.58；若；若为为0.05,则为则为1.96.比较
10、，作出判断。若比较，作出判断。若ZZ0.05(或或Z0.01),即即Z1.96,或或Z2.58,则说明在显著性水平则说明在显著性水平=0.05(0.01)的水平上的水平上,差异是显著的差异是显著的,否则否则,就说明差异不显著就说明差异不显著.适用条件：适用条件：1、总体呈正态分布。如果总体标准未知、总体呈正态分布。如果总体标准未知而且样本为小样本（而且样本为小样本（t30）的平均数的）的平均数的差异性检验。差异性检验。2、分类、分类 根据样本的多少可以分为单总体的根据样本的多少可以分为单总体的t检验检验和双总体的和双总体的t检验。检验。t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）单总
11、体的单总体的t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）1Xnms-t，X1、适用条件：、适用条件：检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。2、检验的统计量：、检验的统计量：这里，这里，t作为检验的统计量，作为检验的统计量，为样本平均数，为样本平均数，为总体平均数为总体平均数为样本标准差，为样本标准差，n为样本容量。为样本容量。X单总体的单总体的t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）1Xnms-t，3、检验过程：、检验过程：建立虚无假设：建立虚无假设：计算统计量：计算统计量：mm：确定显著性水平确
12、定显著性水平的值。并根据自由度和显著性水的值。并根据自由度和显著性水平查表，得到临界值。平查表，得到临界值。比较，作出判断。若比较，作出判断。若tt(n-1)0.05(或或t(n-1)0.01),则说明在则说明在显著性水平显著性水平=0.05(0.01)的水平上的水平上,差异是显著的；差异是显著的；否则否则,就说明差异不显著就说明差异不显著.1、适用条件、适用条件 是检验两个样本平均数与其各自代表的总体的是检验两个样本平均数与其各自代表的总体的差异是否显著。差异是否显著。2、分类、分类 相关样本的平均数的差异性检验相关样本的平均数的差异性检验 独立样本的平均数的差异性检验独立样本的平均数的差异
13、性检验 双总体的双总体的t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）双总体的双总体的t检验检验相关样本相关样本（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）相关样本相关样本 所谓相关样本，是指两个样本之间存在一一所谓相关样本，是指两个样本之间存在一一对应的关系。对应的关系。譬如，同一组被试在实验前与实验后结果的譬如，同一组被试在实验前与实验后结果的比较；同一组被试在两种不同条件下结果的比较；同一组被试在两种不同条件下结果的比较；被试的两组是经过有意匹配的对偶组；比较；被试的两组是经过有意匹配的对偶组；实验时经过匹配的实验组与对照组的结果的实验时经过匹配的实验组与对照组的结果的比较，等等
14、。都是相关样本的比较。比较，等等。都是相关样本的比较。双总体的双总体的t检验检验相关样本相关样本（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）独立样本独立样本 所谓独立样本，是指从两个无关的总体中随所谓独立样本，是指从两个无关的总体中随即抽取的两个样本称为是独立样本。即抽取的两个样本称为是独立样本。譬如，男女性别的差异比较；没有经过匹配譬如，男女性别的差异比较；没有经过匹配的、仅仅是随机选择的实验组与对照组的实的、仅仅是随机选择的实验组与对照组的实验结果的比较；等等，都属于独立样本的比验结果的比较；等等，都属于独立样本的比较。较。独立样本的独立样本的t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异
15、性检验）22121211()2nnnn+-1122 t，(n-1)S(n-1)S12,XX1、适用条件：、适用条件：检验两个样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。检验两个样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。2、检验的统计量：、检验的统计量：这里，这里，t作为检验的统计量，作为检验的统计量，为样本平均数，为样本平均数，2212,SS是两总体方差的估计值，是两总体方差的估计值，n1,n2分别为两样本的容量。分别为两样本的容量。1 12 2自自由由度度d df f=n n+n n-2 2相关样本的相关样本的t检验检验（平均数的差异性检验）（平均数的差异性检验）2221rnsss s
16、+-1212XXXXt，12,XX1、适用条件：、适用条件：检验两个检验两个配对配对样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。2、检验的统计量：、检验的统计量：这里，这里，t作为检验的统计量，作为检验的统计量，为样本平均数，为样本平均数，1222,XX是两样本方差，是两样本方差，n为相关样本的容量。为相关样本的容量。r为相关样本的相关系数。为相关样本的相关系数。自自由由度度d df f=n n-1 1思考题思考题1、为了研究男女生在学习数学方面的情况，从、为了研究男女生在学习数学方面的情况，从某校中随机抽取男生某校中随机抽取男生10名，女生名，
17、女生8名，测验得名，测验得到男生的数学平均成绩是到男生的数学平均成绩是80.4分，标准差是分，标准差是7.6分，女生的数学平均成绩是分，女生的数学平均成绩是71.8分，标准分，标准差是差是7.5分，问男生的数学成绩是否比女生高？分，问男生的数学成绩是否比女生高？请问：进行男女生数学成绩的差异性检验时，请问：进行男女生数学成绩的差异性检验时，是按照相关样本还是按照独立样本进行？为是按照相关样本还是按照独立样本进行？为什么？什么？思考题思考题2、从某个人多次的视反应时测量的结果随即抽、从某个人多次的视反应时测量的结果随即抽取取40个数据，再从其听反应时的多次测量结个数据，再从其听反应时的多次测量结
18、果中随机抽取果中随机抽取40个数据，进行视、听反应的个数据，进行视、听反应的差异检验时，是按照独立样本还是按照相关差异检验时，是按照独立样本还是按照相关样本进行检验？为什么？样本进行检验？为什么？3、对于上题进行数据收集的时候，如果每个被、对于上题进行数据收集的时候，如果每个被试只收集视、听反应时的数据各一个，如果试只收集视、听反应时的数据各一个，如果共有共有40个被试，则进行视、听反应的差异检个被试，则进行视、听反应的差异检验时，是按照独立样本还是按照相关样本进验时，是按照独立样本还是按照相关样本进行检验？为什么？行检验？为什么？4、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优、为了研究数学统编教
19、材和数学实验教材的优劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时间为一年。然后用统编教材授课一年。两种间为一年。然后用统编教材授课一年。两种教材使用前都进行前测，结束后进行后测。教材使用前都进行前测，结束后进行后测。从该班中抽取从该班中抽取10名学生，检验他们在使用两名学生，检验他们在使用两种不同教材的实验结果的差异性检验，是按种不同教材的实验结果的差异性检验，是按照独立样本还是按照相关样本进行检验？为照独立样本还是按照相关样本进行检验？为什么？什么？思考题思考题5、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优劣。某学校对一个班
20、先用实验教材授课，时间劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时间为一年。然后用统编教材授课一年。两种教材为一年。然后用统编教材授课一年。两种教材使用前都进行前测，结束后进行后测。如果已使用前都进行前测，结束后进行后测。如果已知该班的人数为知该班的人数为35人，实验后统计两种教学结人，实验后统计两种教学结果，要检验他们在使用两种不同教材的实验结果，要检验他们在使用两种不同教材的实验结果的差异性检验，应该按照什么样的检验方法果的差异性检验，应该按照什么样的检验方法进行检验？进行检验？思考题思考题答案：双总体的答案：双总体的Z检验检验平均数的检验方法小结平均数的检验方法小结11、前提是两个总体方差相同
21、，或至少没有显著性差异。、前提是两个总体方差相同，或至少没有显著性差异。2、检验的方法有两种：、检验的方法有两种：总体服从正态分布，总体标准差已知，不管是大样本总体服从正态分布，总体标准差已知，不管是大样本还是小样本，均用还是小样本，均用Z检验。检验。不知道总体的分布情形，总体标准差未知，当样本为不知道总体的分布情形，总体标准差未知，当样本为大样本时，用大样本时，用Z检验，这时用样本的标准差代替总体检验，这时用样本的标准差代替总体标准差就可以了；当样本为小样本时，必须用标准差就可以了；当样本为小样本时，必须用t检验，检验，这时的标准差可以用总体标准差的估计量这时的标准差可以用总体标准差的估计量
22、S来表示，来表示，它与样本标准差的关系是：它与样本标准差的关系是：,1XnSn2、关于显著性水平、关于显著性水平 差异性显著检验是和显著性水平差异性显著检验是和显著性水平联系在一起的。我们联系在一起的。我们说差异显著不显著，是针对特定的说差异显著不显著，是针对特定的 而言的。同一个问而言的。同一个问题，由于显著性水平的不同，可能会得到完全相反的题，由于显著性水平的不同，可能会得到完全相反的结论。结论。3、检验时究竟采用单尾还是双尾检验，这是假设检验中、检验时究竟采用单尾还是双尾检验，这是假设检验中的重要的技术性的问题。一般情况下，当研究者如果的重要的技术性的问题。一般情况下，当研究者如果想要知
23、道两个参数是否有差异，而不强调想要知道两个参数是否有差异，而不强调 差异的方向差异的方向时，用双尾检验；反之用单尾检验。时，用双尾检验；反之用单尾检验。单尾检验适用于单尾检验适用于检验某一参数是否检验某一参数是否“大于大于”或或“优于优于”、“快于快于”、“小于小于”、“劣于劣于”、“慢于慢于”另一参数的一类问题另一参数的一类问题。平均数的检验方法小结平均数的检验方法小结1关于双尾与单尾检验举例关于双尾与单尾检验举例050分，010 分，52.5X 分，例例1：全区统一考试数学平均分：全区统一考试数学平均分标准差标准差某学校的一个班（某学校的一个班（n=41）的数学平均成绩）的数学平均成绩问问
24、该班成绩与全区平均成绩差异是否显著该班成绩与全区平均成绩差异是否显著？例例2：有人调查小学五年级中经过奥数训练的学生对其：有人调查小学五年级中经过奥数训练的学生对其数学思维的影响，从受过奥数训练的学生中随机抽取数学思维的影响，从受过奥数训练的学生中随机抽取70人，进行数学思维能力的测试，结果平均成绩是人，进行数学思维能力的测试，结果平均成绩是80分（已知小学五年级学生数学思维能力的测试的平均分（已知小学五年级学生数学思维能力的测试的平均成绩是成绩是75分，标准差是分，标准差是15分），能否认为受过奥数训分），能否认为受过奥数训练的学生在数学思维能力方面练的学生在数学思维能力方面高于高于一般水平
25、？一般水平？F检验（方差的差异检验）检验（方差的差异检验）1、适用条件、适用条件 检验两个总体的方差是否有显著性差异（也称检验两个总体的方差是否有显著性差异（也称为是方差齐性检验）。主要用于两个为是方差齐性检验）。主要用于两个独立样本独立样本的方差齐性检验。的方差齐性检验。由于标准差的抽样分布受样本容量的影响，只由于标准差的抽样分布受样本容量的影响，只有样本容量较大时，抽样分布才接近正态，因有样本容量较大时，抽样分布才接近正态，因此需要对标准差进行参数估计，也就是要对方此需要对标准差进行参数估计，也就是要对方差进行参数估计。差进行参数估计。2、F检验是检验是右侧单尾检验右侧单尾检验，计算统计量
26、时，应该，计算统计量时，应该用总体方差估计值中较大的一个作为分子用总体方差估计值中较大的一个作为分子，较，较小的作为分母，使得小的作为分母，使得F1，进行比较。，进行比较。2122SSFF12（df,df）F检验（方差的差异检验）检验（方差的差异检验）2、关于、关于F分布分布若从两个相互独立的正态总体中随机抽取两个样本，以此若从两个相互独立的正态总体中随机抽取两个样本，以此为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总体方差估计值的比值称为体方差估计值的比值称为F比值，即比值，即F比值的抽样分布称为比值的抽样分布称为F分布，分布，F比值称为
27、统计量。比值称为统计量。F统计统计量有两个自由度，一个是分子的自由度量有两个自由度，一个是分子的自由度111,dfn 是第一自由度，分母的自由度自由度，分母的自由度221,dfn 是第二自由度，在显著性水平性水平时的临界时的临界F值，可表示为：值，可表示为：F检验一般步骤检验一般步骤2122SSF1、建立虚无假设：、建立虚无假设：2、计算统计量：、计算统计量：2212ss=：3、确定显著性水平、确定显著性水平的值。并根据自由度的值。并根据自由度df1、df2和和显著性水平查表，得到临界值：显著性水平查表，得到临界值：4、比较，作出判断。若、比较，作出判断。若F与临界值进行比较，并进行与临界值进
28、行比较，并进行统计决断。统计决断。F12（df,df）2检 验2检验2检验1、适用条件、适用条件是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从于某种理论分布所作的假设检验。于某种理论分布所作的假设检验。它适用于计数资料的它适用于计数资料的检验。检验。譬如，根据类别不同的样本频数来推断总体的分布。譬如，根据类别不同的样本频数来推断总体的分布。根据性别分类，按男女性别分别计数；根据性别分类，按男女性别分别计数；根据年龄分类，可以分为老年、中年、青年等，根据年龄分类，可以分为老年、中年、青年等，按照不同年龄段的人数进行计数。按照不同年龄段的人数进行计数。因此，因
29、此，比较适合对问卷进行统计分析。比较适合对问卷进行统计分析。自由度的计算：单向表的自由度一般等于组数（自由度的计算：单向表的自由度一般等于组数（K）减）减1，即，即df=K-1,而而RC表的自由度需注意计算公式为表的自由度需注意计算公式为df=(R-1)(C-1)2,20e0ee（f-f）在这里，f是实得次数，f是理论次数。f2检 验1、适用条件、适用条件2检验是实得次数与理论次数偏离程度的差异程度的是实得次数与理论次数偏离程度的差异程度的差异性显著检验。用公式表示为：差异性显著检验。用公式表示为：例题分析一例题分析一一、从某校高中应届毕业生中抽取一、从某校高中应届毕业生中抽取54人进行体检，
30、人进行体检，健康状况属于良好的有健康状况属于良好的有15人，中等的有人，中等的有23人，人，差的有差的有16人。问该校高中应届毕业生健康状况人。问该校高中应届毕业生健康状况好、中、差的人数比率是否是好、中、差的人数比率是否是1：2：1？例题分析二例题分析二二、某大学一年级学生在数学分析期中考试中，二、某大学一年级学生在数学分析期中考试中，平均成绩为平均成绩为73分，标准差为分，标准差为17分；期末考试以分；期末考试以后，随机抽取后，随机抽取20人的数学分析成绩，其平均成人的数学分析成绩，其平均成绩为绩为79.2分，问该年级学生的数学分析成绩是分，问该年级学生的数学分析成绩是否有明显进步？否有明
31、显进步？例题分析三例题分析三三、一次数学考试后，从两个学校随机抽取试卷三、一次数学考试后，从两个学校随机抽取试卷n1=10份和份和n2=9份，算得样本的修正方差，也份，算得样本的修正方差，也即总体方差估计值为即总体方差估计值为S12=236.8，S22=63.36 问两校这次考试离散程度是否有显著差异？问两校这次考试离散程度是否有显著差异？例题分析四例题分析四四、为了研究数学统编教材和数学实验教材的四、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优劣。某学校对一个班先用实验教材授课，优劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时间为一年。然后用统编教材授课一年。两时间为一年。然后用统编教材授课一年。两种教材
32、使用前都进行前测，结束后进行后测。种教材使用前都进行前测，结束后进行后测。从该班中抽取从该班中抽取10名学生，检验他们在使用两名学生，检验他们在使用两种不同教材的实验结果的差异性检验，他们种不同教材的实验结果的差异性检验，他们的成绩如的成绩如BOOK1表：问两种教材的效果差异表：问两种教材的效果差异是否显著？是否显著？解答解答解解:设实验教材为第二种教材设实验教材为第二种教材,统编教材为第一种统编教材为第一种教材教材.第一步第一步:进行统计计算进行统计计算.求出实验前后的前测与后测的进退数以及均值求出实验前后的前测与后测的进退数以及均值,见见BOOK1.第二步第二步:进行统计检验进行统计检验1
33、、建立虚无假设：、建立虚无假设：H0：2、规定显著性水平、规定显著性水平:规定规定0.01为显著性水平为显著性水平3、计算、计算t值值12XX解答解答21222()/(1)4.41.28.5713632/1010(101)XXtDDnn n-=-=-邋判断结果判断结果判断结果：判断结果：根据自由度根据自由度df 以及显著性水平，不妨取显著性以及显著性水平，不妨取显著性水平为水平为0.05,自由度为自由度为10-1=9则临界则临界t值值=t(9)0.01=3.25,显然显然,t=8.57 t(9)0.01=3.25所以，拒绝原假设所以，拒绝原假设H0，即两进退数平均数之间，即两进退数平均数之间存在极显著差异。也就是说，两种教材的效存在极显著差异。也就是说，两种教材的效果不同，实验教材明显优于统编教材。果不同，实验教材明显优于统编教材。
