1、2022-8-3数字信号处理六、离散系统的系统函数、系统的频率响应LSI系统的系统函数H(z)：单位抽样响应h(n)的z变换()()()()()nnY zH zZT h nh n zX z其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)2022-8-3数字信号处理系统的频率响应 ：()jH e()()()jjz eH eH zDTFT h n单位圆上的系统函数单位抽样响应h(n)的Fourier变换2022-8-3数字信号处理 1、因果稳定系统稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须
2、在单位圆内xRz 1）因果：2）稳定：()nh n 序列h(n)绝对可和，即()nnh n z 而h(n)的z变换的Roc：1z 3）因果稳定：Roc：2022-8-3数字信号处理/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系统的极点有：问什么情况下，系统为因果系统，什么情况下，系统为稳定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统：0.41.5z稳定系统：2022-8-3数字信号处理2、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：00()()NMkmkma y nkb x nm00()()NMkmkmkma z Y
3、 zb zX z101101(1)()()/()(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取z变换则系统函数2022-8-3数字信号处理LSI311()(1)(2)()(1)483()()123y ny ny nx nx nx ny n例：已知离散系统的差分方程：其中：为输入，为输出。）求系统函数，指出系统的零极点；）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；）求该因果稳定系统的单位抽样响应。2022-8-3数字信号处理z解：1）对差分方程两边取 变换：121311()()()()()483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111()33
4、()3111()1114824zzY zH zX zzzzz111,0 ,324zz 零点：极点：系统函数：212z）由于系统为因果稳定系统，故收敛域：Re zIm jz00.50.2511/32022-8-3数字信号处理 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n)对求z反变换即得单位抽样响应，用部分分式法2022-8-3数字信号处理 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733()1124zzH zzz1:2-12Rocz
5、根据，查表得 10 17 1()323 4nnh nu n2022-8-3数字信号处理3、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：()j nx nen ()()()()jn mj nj mmmy nh m eeh m e()j njeH e2022-8-3数字信号处理0()cos()x nAn000()()cosarg()jjy nA H enH e2）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频 正弦序列幅度受频率响应幅度 加权相位为输入相位与系统相位响应之和()jH e02022-8-3数字信号处理3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应 ()()*()y nx nh n()()
6、()jjjY eX eH e1()()()2jjj ny nH eX eed1()()2jj nx nX eed其中：1()2jj nX eed微分增量（复指数）：2022-8-3数字信号处理4、频率响应的几何确定法利用H(z)在z平面上的零极点分布1()11111(1)()()(1)()MMmmNMmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj NMjjH emNjkkecH eKeH eeed频率响应：2022-8-3数字信号处理则频率响应的mjjmmmcece kjjkkkdedl e 11arg()arg()MNjmkmkH eKNM令幅
7、角：11()MmjmNkkH eKl幅度：2022-8-3数字信号处理零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定2022-8-3数字信号处理()()nh na u n ()()(1)1y nx nay naa例：设一阶系统的差分方程：，为实数 求系统的频率响应。1z()1()()1Y zH zzaX zaz解：两边求 变换，得 11()1(1cos)sinjjH eaeaja21/2()(12 cos)sinarg()arctan1cosjjH eaaaH e
8、a 幅度响应：相位响应：2022-8-3数字信号处理2022-8-3数字信号处理2()()(1)(2).y nx nax na x n例：设系统的差分方程：110(1)()MMkkax nMa x nk1MM这就是个单元延时及个抽头加权后相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，求其频率响应。2022-8-3数字信号处理21,2,.,1jiMizaeiM零点：，1110()()z1()01()MMMMMkkMkx nna zzaH za zzazzza解：令，两边取 变换()()01()0nnh nanMh nn当输入为，则输出为其它0(1)zMza极点：，阶，处零极点相消2022-8-3数字信号
9、处理2022-8-3数字信号处理5、IIR系统和FIR系统无限长单位冲激响应（IIR）系统：单位冲激响应h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（FIR）系统：单位冲激响应h(n)是有限长序列2022-8-3数字信号处理0001()1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za z0ka IIR系统：至少有一个0ka FIR系统：全部0b全极点系统：分子只有常数项0b零极点系统：分子不止常数项收敛域 内无极点，是全零点系统0z 2022-8-3数字信号处理00()()()MNmkmky nb x nma y nk0ka IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构0ka FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构
