1、数 学（扩展模块）第第3 3章章 概率与统计概率与统计3.1排列与组合3.2二项式定理3.3离散型随机变量及其分布3.4二项分布3.5正态分布3.1 3.1 排列与组合排列与组合排列3.1.1 随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.某城市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活
2、动，有多少种不同的选法？3.1 3.1 排列与组合排列与组合解决这个问题需分2个步骤：第一步，先确定1名参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种选法；第二步，确定1名参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，如图3-1所示.图3-13.1 3.1 排列与组合排列与组合在基础模块中我们已经学习了两个基本原理及基本原理的简单应用：（1）分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n
3、个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法.3.1 3.1 排列与组合排列与组合问题一中要完成的“一件事”是从3人中选出2人，分上午和下午参加活动.因此根据分步乘法计数原理，上面问题共有32=6种不同的方法，如图3-2所示.图3-23.1 3.1 排列与组合排列与组合我们把上面问题一中被选取的对象（比如说同学）叫作元素.上述问题的实质是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法.再看问题二：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不
4、同的三位数？这里要完成的“一件事”是从4个数字中选3个排成一个三位数.解决这个问题，需分3个步骤：3.1 3.1 排列与组合排列与组合 第一步，确定百位上的数字，在1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法；第三步，确定个位的数字，只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.如图3-3所示.图3-33.1 3.1 排列与组合排列与组合 因此根据分步乘法计数原理，共有432=24种不同的排法，如图3-4树形图所示.图3-43.1 3.1 排列与组合排列与组合可得到的所有三位数为123，124，132，134，142，143；213，2
5、14，231，234，241，243；312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432.上述问题二的实质是：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列.mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫 全排列 .3.1 3.1 排列与组合排列与组合根据排列的定义，当且仅当两个排列的元素完全相同，元素的排列顺序也相同时，两个排列才相同.从n个不同元素中取出m（mn）个元
6、素的所有排列的个数叫作从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.问题一中是从3个不同的元素中任取2个元素的排列数，记为；我们已经计算得出 问题二中是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数，记为 ；我们已经计算得出 .想一想：排列和排列数有什么区别和联系呢？那么从n个不同元素中取出m个元素的排列数 是多少呢？3.1 3.1 排列与组合排列与组合计算排列数 可以这样考虑：假定有排好顺序的m个空位，如图3-5所示，从n个不同元素a1，a2，a3，an中任意选择m个元素，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 .图3-53.1 3.1 排列与组合排列与
7、组合填法可分为m个步骤：第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种方法；第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一个，有n-1种方法；第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一个，有n-2种方法；第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填一个，有n-m+1种方法.3.1 3.1 排列与组合排列与组合根据分步乘法计数原理，共有 n(n-1)(n-2)(n-m+1)中填法.由此，我们可以得到从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数 为 式（3-1）叫作 排列数公式 ，其中n，m N ，并且mn.可以观察到公式的特征为：公式右边第一个因数
8、是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1；最后一个因数是nm1；共有m个因数.3.1 3.1 排列与组合排列与组合 当m=n时，式（3-1）可以变为 式（3-2）表示n个不同元素全部取出的排列数，等于由1到n的正整数的连乘积，叫作n的 阶乘，用n！来表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 （3-3）3.1 3.1 排列与组合排列与组合一般地，我们可以用以下转换来计算 的另外一种计算公式：因此，排列公式还可以写成为了使式（3-4）在m=n时也成立，我们规定0！=1.3.1 3.1 排列与组合排列与组合例1 计算：3.1 3.1 排列与组合排列与组合例2 2007年3月，我国15支俱乐部参加
9、的2007年中超联赛重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？解 任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是3.1 3.1 排列与组合排列与组合例3 证明：分析 本题可以使用式（34）来进行证明.证明 右边3.1 3.1 排列与组合排列与组合练一练练一练 1.判断下列是否是排列：（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少
10、个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？3.1 3.1 排列与组合排列与组合练一练练一练 2.写出：从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.3.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？3.1 3.1 排列与组合排列与组合组合3.1.2 上节课我们学习了从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活
11、动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有 种不同的选法.那么从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法呢？下面我们来研究一下这个问题.通过题意我们知道共有3种选法，分别为甲、乙；甲、丙；乙、丙三种组合，本质上是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，并成一组，和顺序无关，我们称之为组合.一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，不管顺序怎样都并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合 .3.1 3.1 排列与组合排列与组合组合的定义包含两个方面：组合与元素的顺序无关，两个组合的元素完全相同为相同组合.结合排列的定义，我们可以看出组合与
12、排列的共同点是：“从n个不同元素中，任取m个元素”，即“取元素”这点是相同的；区别是：排列要求在取出元素后“按照一定的顺序排成一列”，即与顺序有关；组合要求取出元素后，“不管顺序怎样都并成一组”，即与顺序无关.也就是说，对于取出的m个元素，如果只改变它们之间的相对位置，而不改变元素本身，那么对于排列来说它们是不同的排列，对于组合来说他们却是同一个组合.3.1 3.1 排列与组合排列与组合 两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？3.1 3.1 排列与组合排列与组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.例如，上述问题从
13、3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(mn)个元素的组合数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下步骤：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 ；3.1 3.1 排列与组合排列与组合第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数根据分步乘法计数原理，可得结合公式（3-4），可得式（3-5）叫作组合数公式，其中n，m N ，并且mn.为了保证m=n时，公式（3-5）有意义，我们规定3.1 3.1 排列与组合排列与组合例4 从甲、乙、丙、丁四名优秀团员中选两名同学升旗,并指
14、定正旗手和副旗手,共有多少种选法?解 从四名同学中选出两个旗手，共有 种选法.再从选出的两位中分别指定正旗手副旗手有 种排法.即满足要求的选法共有 .3.1 3.1 排列与组合排列与组合例5 计算：3.1 3.1 排列与组合排列与组合例6 证明：证明3.1 3.1 排列与组合排列与组合 例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出n-m个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种减少计算工作量的方法，如计算 可转化为计算 .学习提示学习提示610C410C3.1 3.1 排列与组合排列与组合练一练练一练 1.计算.2.判断下列问题是组合问题还是排列问题?（1）某
15、铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？（2）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?（3）从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?（4）10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?.;21002322399198200410CCCCCC3.1 3.1 排列与组合排列与组合练一练 3.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:.11mnnmCmnmC练一练练一练 3.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:.11mnnmCmnmC3.2 3.2 二项式定理二项
16、式定理我们知道 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2a1b1+b2观察上面两个乘法公式的展开式中各项的系数有什么规律呢？下面我们通过计算(a+b)4来研究这个问题.先将(a+b)4看作4个(a+b)的乘积，即 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)显然，等号右边的乘积的展开式中的每一项都是从每个括号中任取一个字母的乘积，因此各项均为4次式，展开式中所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4那么上面5项在展开式中的系数，即在展开式中出现的次数是多少呢？3.2 3.2 二项式定理二项式定理在上面的4个(a+b)中：每个括号中都不取b的情况有一种，即 种，则a
17、4的系数为 ；只有一个括号中取b的情况有 种，则a3b的系数为 ；只有两个括号中取b的情况有 种，则a2b2的系数为 ；只有三个括号中取b的情况有 种，则ab3的系数为 ；四个括号都取b的情况的由 种，则b4的系数为 .将各项对应的系数代入展开式中，则得到3.2 3.2 二项式定理二项式定理一般地，对于任意正整数n，有式（3-6）为二项式定理公式，其中a、b为任意实数.等号右边的多项式叫作（a+b)n的二项展开式，共有n+1项，其中a的指数按降幂排列，b的指数按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n，每项的系数 （m=0,1,2，n）叫作二项式系数，公式中的 为展开式的第m+1项，叫作二项式的通
18、项，用Tm+1表示，则有3.2 3.2 二项式定理二项式定理我国宋朝时期著名的数学家和数学教育家杨辉，于1261年在详解九章算法一书中提出的三角数表，称之为“杨辉三角”，即为多项式（a+b)n展开后的各个项的二项式系数的规律，如图3-6所示.图3-63.2 3.2 二项式定理二项式定理应用二项式定理公式时，应用二项式定理公式时，a与与b能不能不能交换位置，且（能交换位置，且（a+b)n的第的第m+1项和项和（b+a)n的第的第m+1项相同吗？项相同吗？3.2 3.2 二项式定理二项式定理从图3-6中我们可以看出二项式系数有如下规律：（1）图中每行两端都是1，即（2）从第二行起，每行除1以外的每
19、一个数都等于它肩上的两个数的和，即（3）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即（4）增减性与最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数为最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等，且同时为最大值.3.2 3.2 二项式定理二项式定理令式（3-6）中的a=b=1时，这也就是说，（a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，另外由于 ，因此上式还可以写成 式（3-8）叫作组合总数公式.3.2 3.2 二项式定理二项式定理例1 求(1-2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数.解 在(1-2x)7的展开式中，第四项为 (-2x)3=-280 x3，第四项的二项式系数是
20、第四项的系数是3.2 3.2 二项式定理二项式定理例2 写出（a+b）6的展开式.解 由于所以3.2 3.2 二项式定理二项式定理 注意某项（a+b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指 这些组合数而言，不包括字母a、b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与 有关，也与a、b的值有关.学习提示学习提示3.2 3.2 二项式定理二项式定理 例3 求（x-3）15的二项展开式中x7的系数.解 （x-3）15的展开式的通项公式为 由于15-m=7，得m=8，即二次展开式中含x7的项为第9项，故该项的系数为：3.2 3.2 二项式定理二项式定理 例4 求（x+a）
21、11的二项展开式中的倒数第5项.解 （x+a）11的二项展开式共有12项，因此倒数第5项式展开式中的第8项.展开式的第8项通项公式为3.2 3.2 二项式定理二项式定理练一练练一练 1.求下列各式的展开式：（1）（1+x）7；（2）(x+2/x )4；（3）（a+2b）4；（4）(x+y)5.2.求下列展开式中含指定项的系数：（1）中含 的项；（2）的常数项.3.求（1-2x）6的展开式中的第4项.9)2(x5x632)2(xx 3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 学习提示学习提示 这些随机试验例子中，有下列特点:任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；试验之前可以
22、判断其可能出现的所有结果；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；同一个随机试验的结果，可以赋不同的数值.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布学习本节课之前我们先来看以下几个问题：问题1：抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？问题2：姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？问题3：抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？对于问题1，抛掷一枚骰子，可能会出现1,2,3,4,5,6点六种情况；对于问题2，姚明罚球2次可能会得到0分、1分、2分三种情况；对于问题3，抛掷一枚硬币，可能出现正面朝上和正面朝下两种情况，虽然这个随
23、机试验的结果不具数量性质，但我们可以用数字1和0分别表示正面朝上和正面朝下.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 很显然，在上述试验开始之前，我们是不能确定结果是哪一种情况的.虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的.前面的三个问题中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化.若把这些数字当作某个变量的取值，则这个变量就叫作随机变量，常用希腊字母、或大写拉丁字母X、Y、Z等来表示.注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们
24、可以定义“=0，表示正面向上;=1，表示反面向上”.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布根据定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系，而函数是实数与实数的一种对应关系，因此我们可以认为它们都是一种映射，即随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值结果相当于函数的值域.所以我们也把随机变量的取值范围叫作随机变量的值域.如果按一定的次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫作离散型随机变量；若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫作连续型
25、随机变量.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布离散型随机变量的例子有很多，比如某人射击一次可能命中的环数就是离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2，9,10；再如，某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有取值为0,1,2，.而本节讨论的离散型随机变量只讨论有限个值的情况.一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn取每一个xi(i=1，2，n)的概率P(=xi)为pi，则将其所组成的表：3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列.有时为了表达简单，也用等式:
26、P(=xi)=pi（i=1，2，n）（3-9）来表示的分布列.从的分布列中可以看出：离散型随机变量的所有取值；的每一个取值的概率.根据定义，分布列的性质有以下两个：（1）pi0，i=1,2，；（2）3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 学习提示学习提示 求离散型随机变量分布列的基本步骤为：确定随机变量的所有可能的值xi；求出各取值的概率P(=xi)=pi；列出表格，即为概率分布列.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例1 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列 解 X的可能取值为1,2,3.X1
27、表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率X2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率 X3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率其分布列为 3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 其分布列为 3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 学习提示学习提示 例1中的这个分布列也可以表示为P(Xk)k1,2,3.3.3 3.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布练一练练一练 若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，请把X取不同值的概率填入表中，并求下列事件发生的概率是多少？（1）P（X是偶数）；（2）P（X3）.3.4
28、3.4 二项分布二项分布甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与“不中”两种结果，是三次独立重复试验吗？3.4 3.4 二项分布二项分布在学习本节课之前，我们先来做一个实验.将一枚均匀的硬币投掷6次，每次投掷观察结果后，再重新投掷.我们发现每一次的投掷结果对其他次的投掷结果毫无影响，即每次投掷均为一次独立的实验.一般地，我们将相同条件下，重复进行n次实验，若每次的试验结果均与其他次试验结果无关的重复实验称为 n次独立重复试验.上面投掷硬币的实验就是6次独立重复试验.在上面的实验中，每次试验可能的结果只有2种，正面朝上和正面朝下，且两种结果是互不影响的，即每种结果发生的概率是互不影响的.3
29、.4 3.4 二项分布二项分布 学习提示学习提示 判断是否为伯努利试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响.3.4 3.4 二项分布二项分布一般在n次独立重复试验中，如果每次试验只有A和 两种可逆的结果，且相互独立，互不影响；并且每次试验中，结果A发生的概率都不会发生改变，这样的n次独立试验，我们称之为 n次伯努利试验 .如果在一次试验中的事件A发生的概率为P（A）=p，则事件A不发生的概率 那么在n次伯努利试验中，事件A正好发生了k次的概率为 式（3-10）
30、称为伯努利公式，其中k=0，1,2，n，于是我们便可得到随机变量的概率分布列为 3.4 3.4 二项分布二项分布我们将上表中这样的随机变量的概率分布列叫作 二项分布 ，称随机变量服从参数为n和p的二项分布，记作B（n，p）.例如，投掷一个骰子，得到3点的概率为1/6，重复投掷骰子n次，即可得到3点的次数服从参数为n和1/6 的二项分布，记作B（n，1/6）.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一，它描述的是n次伯努利试验中出现事件A次数的概率分布，判断一个随机变量是否服从试验次数n和发生某事件概率的二项分布，关键是看该事件是否为n次伯努利试验；否则，随机变量就不服从二项分布.3.4 3.4 二
31、项分布二项分布 学习提示学习提示 根据n次伯努利试验定义，我们知道伯努利试验中的随机变量的分布列为 其中0p0，R ，因此不同的和对应着不同的正态密度曲线，如图3-9所示.3.5 3.5 正态分布正态分布图3-9 3.5 3.5 正态分布正态分布 由图3-9可观察出正态密度曲线具有如下的特征：(1)当x=时曲线位于最高点，当x时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近，曲线在x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线关于直线x=对称；(3)当一定时，曲线的形状由确定,越大，曲线越“扁平”；越小，曲线越“尖陡”，如图3-9（4）所示；(4)不论和取何值，在正态曲线下方和
32、x轴上方范围内的区域面积为1.3.5 3.5 正态分布正态分布 学习提示学习提示 正态密度曲线呈钟形，因此人们又经常称之为“钟形曲线”.3.5 3.5 正态分布正态分布 若X是一个随机变量，对任意区间（a,b内取值的概率P(ab）的取值为曲线与x轴之间，直线x=b右侧部分的图形的面积.那么对于给定区间（a，b）内P(axb)的取值恰好是正态曲线下方与直线x=a和x=b之间所围成的图形的面积，即 P(axb)=P(Xb)P(Xa)（3-13）3.5 3.5 正态分布正态分布 学习提示学习提示 根据正态曲线的定义，我们可以推断出P(axb)=P(axb)=P(axb)=P(axb)=(b)(a).
33、3.5 3.5 正态分布正态分布 对于P（xa）和P（xb）可以通过附表1“标准正态分布表”查出，表中与a或b对应的（a）、（b）就是随机变量X小于a和b的概率，即 （x0）=P（xx0）因此，当变量XN（0，1）时，也可以将公式（3-13）变形为 P(axb)=(b)(a)（3-14）由于在标准正态分布表中只给出了非负值x0的值（x0），但是在实际计算中，我们常常会遇到x00的情况，根据标准正态曲线的定义，我们知道其关于y轴对称，即正态曲线与x=x0直线左侧和x=-x0右侧所围成的面积相等，如图3-11所示.3.5 3.5 正态分布正态分布图3-10 3.5 3.5 正态分布正态分布 由此可
34、知（x0）+（-x0）=1，即 （-x0）=1-（x0）（3-15）标准正态分布N（0，1）在正态分布的研究中占有重要地位.但由于正态分布中有两个参数和，当给定一对不同的和时，就会有一个不同的正态分布，显然不可能对所有不同的和都编制对应的正态分布表，因此当XN(,2)时，我们可以使用 (3-16)将其他非标准正态分布转化为标准正态分布N（0，1），并使用标准正态分布表查表计算.3.5 3.5 正态分布正态分布 根据式（3-14），式（3-16）又可以变形为通过计算，我们可以得到正态分布在(,+)、(2,+2)和(3,+3)三个特殊区间内取得的概率值，如图3-12所示.图3-12 3.5 3.5
35、 正态分布正态分布 随机变量X取值落在区间(,+)上的概率约为68.3%，即P(X+)=0.683；随机变量X取值落在区间(2,+2)上的概率约为95.4%，即P(2X+2)=0.954；随机变量X取值落在区间(3,+3)上的概率约为99.7%，即P(3X+3)=0.997.从上述计算结果，我们可发现服从于正态分布N(,2)的随机变量X在(3,+3)区间以外的取值概率非常小，也可认为其在一次试验中几乎是不可能发生的，这就是一般企业在管理过程中进行质量控制的一个主要原则，简称为3原则.3.5 3.5 正态分布正态分布 对于3原则，企业常用的方法是以一个周期（一般为一年）的历史数据（数据量应大于2
36、5)，或以最近的连续不少于25个数据的平均值加减3确定出产品质量控制指标的上控制限（UCL)和下控制限（LCL)，再通过取样抽查来判断生产过程中是否出现异常偏差情况.3.5 3.5 正态分布正态分布 例1 一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式.解 由题意得=1/10(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10，2=1/10 (10.210)2+
37、(10.110)2+(1010)2+(9.810)2+(9.910)2+(10.310)2+(9.710)2+(1010)2+(9.910)2+(10.110)2=0.03，即=10，2=0.03所以Y的概率密度函数为 3.5 3.5 正态分布正态分布 例2 若随机变量ZN(0,1)，查标准正态分布表，求：3.5 3.5 正态分布正态分布例例3还有其他解法吗？还有其他解法吗？3.5 3.5 正态分布正态分布练一练练一练 1.计算：（1）设ZN（0，1），求P（Z1.24）;P（1.24Z2.37）;P（-2.37Z-1.24）；（2）设ZN（0，1），且P（Za）=0.914 7，P（Zb）=0.052 6，求a，b的值；3.5 3.5 正态分布正态分布练一练练一练 2.从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从N（200，18）.（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率；（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于180，问这批材料是否符合这个要求？Thank You!
