1、第7章 弹性体振动 1第第7章章 弹性体振动弹性体振动第7章 弹性体振动 2 当振动系统不能简化为有限个独当振动系统不能简化为有限个独立广义坐标表示的运动方程时，就必立广义坐标表示的运动方程时，就必须按照连续系统进行分析。有些物理须按照连续系统进行分析。有些物理现象，只能用连续系统的模型才能清现象，只能用连续系统的模型才能清晰地描述。晰地描述。离散系统的数学特征是用常微分离散系统的数学特征是用常微分方程来描述方程来描述;而连续系统则必须用偏而连续系统则必须用偏微分方程来描述。微分方程来描述。7.1 引引 言言7.1 引引 言言第7章 弹性体振动 3 同一振动系统可以简化为离散同一振动系统可以简
2、化为离散系统和连续系统两种数学模型，连系统和连续系统两种数学模型，连续系统的数学模型可从相应的离散续系统的数学模型可从相应的离散系统当自由度无限增多时的极限过系统当自由度无限增多时的极限过程得到。程得到。多自由度系统线性振动的一些多自由度系统线性振动的一些重要性质和分析方法，可以推广到重要性质和分析方法，可以推广到连续系统中。连续系统中。7.1 引引 言言第7章 弹性体振动 47.2 弦的振动弦的振动 设弦长度为设弦长度为l，单位长，单位长度的质量为度的质量为r r，轴向拉，轴向拉力为力为T，以变形前弦的，以变形前弦的方向为方向为x轴，横向挠度轴，横向挠度u(x,t)设为小量。对于长设为小量。
3、对于长度为度为dx的微元体有的微元体有22sinsinudxTdxTtxr7.2 弦的振动弦的振动TTu第7章 弹性体振动 5微振动时微振动时sintanuxsinsincoscossinsindxxdxdxxxdxx并有并有7.2 弦的振动弦的振动第7章 弹性体振动 6则则22222(,)(,)u x tu x tctx令令Tcr 弦的振动方程，在数学上称为弦的振动方程，在数学上称为一维一维波动方程波动方程。7.2 弦的振动弦的振动则方程变为则方程变为2222uudxTdxTdxtxxr第7章 弹性体振动 77.4 杆的纵向振动杆的纵向振动7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动 假设弹性杆在振动过
4、程中杆的横截面保持假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。设杆长为设杆长为l，轴向坐标，轴向坐标x，坐标原点取在杆的，坐标原点取在杆的左端。杆的轴向刚度为左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为，质量密度为r r，轴，轴向干扰力密度为向干扰力密度为f，轴向位移为，轴向位移为u，轴向内力为，轴向内力为p，它们均依赖于坐标，它们均依赖于坐标x。第7章 弹性体振动 8pr r 在在x处取微段处取微段dx，画出该微段的分离体图，则，画出该微段的分离体图，则
5、运动方程为运动方程为22uAdxtppdxpfdxxr即即22upAftxr7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动ppdxx第7章 弹性体振动 9 利用材料力学中轴向力与轴向变形的利用材料力学中轴向力与轴向变形的关系式关系式得到杆的纵向强迫振动方程得到杆的纵向强迫振动方程upAEAx22(,)()(,)()(,)u x tA xtu x tEA xf x txxr（0 xl）7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 10 若令方程中的若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由等于零，便得到自由振动方程振动方程22(,)(,)()()u x tu x tA xEA xtxxr 对于等截面、均
6、质杆对于等截面、均质杆(均匀杆均匀杆)，E、A均不均不依赖于依赖于x，自由振动方程简化为，自由振动方程简化为22222(,)(,)u x tu x tctx7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 11其中其中 c的量纲与速度的量纲相同。的量纲与速度的量纲相同。显然上述方程也是一维波动方程，显然上述方程也是一维波动方程，c是纵波的传播速率，它等于声波以杆是纵波的传播速率，它等于声波以杆的材料为介质的传播速率。的材料为介质的传播速率。Ecr7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 127.5 轴的扭转振动轴的扭转振动 振动过程中，横截面保持为平面，横截振动过程中，横截面保持为
7、平面，横截面上每一点的位移由绕截面形心轴转动的面上每一点的位移由绕截面形心轴转动的扭转角扭转角 唯一确定，唯一确定，是空间坐标和时间的是空间坐标和时间的函数。以函数。以 为广义坐标建立振动方程。为广义坐标建立振动方程。7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动第7章 弹性体振动 13 在坐标在坐标x处截取微段处截取微段dx，横截面上的扭矩为，横截面上的扭矩为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。微段的自由振动方程微段的自由振动方程22TJdxTdxTtx即即22TJtx7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动第7章 弹性体振动 14代入得代入得PTGJx2221pJr dmr
8、dAr dAJrrr 设设G为杆的剪切弹性模量，为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭为横截面对扭转中心的极惯性矩，转中心的极惯性矩，r r为体积密度。扭矩为体积密度。扭矩T与与扭转角扭转角 的关系可从材料力学中得到的关系可从材料力学中得到7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动注意到注意到22pJGJtxx第7章 弹性体振动 15当当GJp为常量时，方程可写成为常量时，方程可写成（0 xl）22222(,)(,)x tx tctx其中其中 上述方程也为一维波动方程，上述方程也为一维波动方程，c是扭转波是扭转波的传播速率。的传播速率。Gcr7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动第7章 弹性体振动 16 多自由
9、度系统的固有振动，振动形态多自由度系统的固有振动，振动形态(各广义位移的相对大小各广义位移的相对大小)不依赖于时间，不依赖于时间，各广义位移均随时间同步变化各广义位移均随时间同步变化(同时通过同时通过平衡位置，同时达到最大值平衡位置，同时达到最大值)。对于连续体的波动方程，也假设具有对于连续体的波动方程，也假设具有同样的特征，因此可假设系统具有分离变同样的特征，因此可假设系统具有分离变量形式的解：量形式的解：(,)()()u x tx q t7.3 时间与空间变量的分离时间与空间变量的分离7.3 时间与空间变量的分离时间与空间变量的分离第7章 弹性体振动 17代入自由振动的波动方程（以杆振动为
10、例）代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）22()()()()()()d q tddxA xxEA x q tdtdxdxr221()1()()()()()d q tddxEA xq tdtA xx dxdxr即即22(,)(,)()()u x tu x tA xEA xtxxr可得到可得到7.3 时间与空间变量的分离时间与空间变量的分离第7章 弹性体振动 18 上式右端只依赖于空间变量上式右端只依赖于空间变量x，而左端，而左端仅依赖于时间仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等。因此，令等式两边均等于同一常数，记作于同一常数，记作w w2，并假设为均匀杆，并假设为均匀杆，则得到下面两个独立方程：
11、则得到下面两个独立方程：222()()0d q tq tdtw7.3 时间与空间变量的分离时间与空间变量的分离2222()()0dxxdxcw第7章 弹性体振动 19两个方程的解为两个方程的解为()sincosq tCtDtww 这里：这里：(x)称为系统的称为系统的固有振型固有振型，w w为为固固有频率有频率。式中积分常数。式中积分常数A与与B的比值及固有频的比值及固有频率由边界条件确定，而常数率由边界条件确定，而常数C和和D则由初始条则由初始条件确定。固有振型件确定。固有振型(x)有一个常数因子不能有一个常数因子不能确定，这和多自由度系统的情形一样。确定，这和多自由度系统的情形一样。7.3
12、 时间与空间变量的分离时间与空间变量的分离()sincosxAxBxccww第7章 弹性体振动 20固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率 一维波动方程必须与指定的边界条件及一维波动方程必须与指定的边界条件及初始条件一起才能构成定解问题。和多自由初始条件一起才能构成定解问题。和多自由度一样首先需要确定固有频率和振型。度一样首先需要确定固有频率和振型。以杆的纵向振动为例，给出常见的几种以杆的纵向振动为例，给出常见的几种边界条件。边界条件。（1）两端固定：两端的轴向位移均等于零，）两端固定：两端的轴向位移均等于零，边界条件为边界条件为(0,)0,(,)0utu l
13、 t第7章 弹性体振动 21（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，）两端自由：两端的轴向力均等于零，边界条件为边界条件为0(,)(,)()0,()0 xx lu x tu x tEA xEA xxx（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向）左端固定，右端弹簧：右端的轴向力等于弹簧力，边界条件为力等于弹簧力，边界条件为(0,)0ut(,)()(,)|x lx lu x tEA xku x tx 固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 22（4）左端固定，右端集中质量）左端固定，右端集中质量m：右端：右端的轴向力等于惯性力，边界条件为的轴向力等于惯性力，边界条件为 还可以具有其他的边界
14、条件。还可以具有其他的边界条件。通过通过边界条件边界条件就可以就可以确定它们所描述确定它们所描述的的系统系统的固有频率与固有振型。的固有频率与固有振型。(0,)0ut 22(,)(,)()x lx lu x tu x tEA xmxt 固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 23 【例例l】求长为求长为l 的均匀杆两端固定时的的均匀杆两端固定时的纵向振动固有频率与固有振型。纵向振动固有频率与固有振型。解解:两端固定杆的边界条件为两端固定杆的边界条件为 u(0,t)=u(l,t)=0 即即 (0)=(l)=0 代入特征解代入特征解得得0,sin0lBAcw固有振型和固有频率固有振
15、型和固有频率()sincosxAxBxccww第7章 弹性体振动 24A不能等于不能等于0,因此必须满足因此必须满足 此式称为此式称为频率方程频率方程。由此可以解得系统无。由此可以解得系统无穷多个可数的固有频率穷多个可数的固有频率sin0lcw(1,2,)ii ciEillwr 与与w wi对应的固有振型为对应的固有振型为()()sinsin(1,2)iiiixi xxAAiclw固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 25 从固有振型的表达式可以看出，在从固有振型的表达式可以看出，在,(1,21)i xnlnxnili即的点上的点上(i)(x)=0。系统作固有振动时，这。系统
16、作固有振动时，这些点是不动的，这样的点称为些点是不动的，这样的点称为节点节点。第第i阶固有振动具有阶固有振动具有i1个节点个节点，这是带有普，这是带有普遍性的规律。遍性的规律。固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 26 【例例2】左端固定，右端自由的均匀杆长左端固定，右端自由的均匀杆长度为度为l，在自由端带有集中质量，在自由端带有集中质量M，求该系，求该系统纵向振动的固有频率与固有振型。统纵向振动的固有频率与固有振型。解解:左端固定左端固定,边界条件为边界条件为u(0,t)=0，即，即(0)=0，得，得B0 右端的轴向力等于集中质量的惯性力，右端的轴向力等于集中质量的惯性力，
17、边界条件为边界条件为利用利用22(,)(,)x lx lu x tu x tEAMxt(,)()(sincos)u x tx CtDtww固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 27得关于固有振型的边界条件得关于固有振型的边界条件2()()EAlMlw代入特征解代入特征解及及B0，得频率方程，得频率方程tan其中其中,AllEMrrw固有振型和固有频率固有振型和固有频率()sincosxAxBxccww第7章 弹性体振动 28 频率方程频率方程 tan 是超越方程，其解是超越方程，其解必须用数值方法或查表得到。当依次计算出必须用数值方法或查表得到。当依次计算出正根正根 i(i1
18、,2,)后，即可计算出固有频率后，即可计算出固有频率和相应的固有振型和相应的固有振型:iiicEllwr()()siniiixxAl固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 29讨论：讨论：（1）Mr rAl时，时，很小，很小，也很小，频率方程变为也很小，频率方程变为2tanAlMr固有频率为固有频率为cEAlMlw 这表明：若不计杆的质量，可视为一个无这表明：若不计杆的质量，可视为一个无质量的，刚度为质量的，刚度为EA/l的弹簧，连接质量为的弹簧，连接质量为M的的单自由度振动系统。单自由度振动系统。固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 31 T7-8 一杆右端
19、固定，左端附有一集中质一杆右端固定，左端附有一集中质量量M，在，在M上受到弹性系数为上受到弹性系数为k的弹簧和阻尼的弹簧和阻尼系数为系数为c的粘性阻尼约束，试写出杆纵向振动的粘性阻尼约束，试写出杆纵向振动的边界条件。的边界条件。解解:右端固定，杆的边界条件为右端固定，杆的边界条件为 u(l,t)=0，即即(l)=0;而左端的轴向力等于集中质量的惯性力而左端的轴向力等于集中质量的惯性力+弹性力弹性力+阻尼力，则边界条件为阻尼力，则边界条件为2200(,)(,)(,)(,)xxu x tu x tu x tEAMku x tcxtt固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 32得边界
20、条件得边界条件22(0)()()()(0)(0)()(0)dEAq tdxd q tdq tMkq tcdtdt利用利用(,)()()u x tx q t 作业作业：T7-3固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 33振型函数的正交性振型函数的正交性一维波动方程一维波动方程振型函数的正交性振型函数的正交性 和离散系统类似，一维波动方程的振型函数和离散系统类似，一维波动方程的振型函数也有正交性。也有正交性。2iiiddEAAdxdxw r 2jjjddEAAdxdxw r 2222()()0dxxdxcw 以杆的振动为例，一般情况下第以杆的振动为例，一般情况下第i，j阶振型阶振型
21、函数满足函数满足第7章 弹性体振动 34振型函数的正交性振型函数的正交性 分别用分别用 j，i左乘上式两端，并积分左乘上式两端，并积分020lijlijiddEAdxdxdxAdxw r 00020lljliijjiljijddEAdxEAEAdxdxdxAdx w r 00lljiijEAEAdx 第7章 弹性体振动 35振型函数的正交性振型函数的正交性考虑杆端为固定或自由的情况，此时考虑杆端为固定或自由的情况，此时00ljiEA 220()0lijijAdxww r 两式相减得：两式相减得：即：即：00lijAdx r ij时：时：0liiiAdxM r 第7章 弹性体振动 36振型函数的
22、正交性振型函数的正交性利用前面的式子利用前面的式子则：则：ij时：时：200llijijiddEAdxAdxdxdxw r 00lijddEAdxdxdx2200lliiiiiiiddEAdxAdxMdxdxw r w 第7章 弹性体振动 37一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解1.振型叠加法振型叠加法 和离散系统类似，一维波动方程的响应求和离散系统类似，一维波动方程的响应求解也用振型叠加法解也用振型叠加法1(,)()()iiiu x tx q t2.标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化
23、01liiiAdxM r 第7章 弹性体振动 38一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解3.对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为设初始条件为00(,)()tu x tu xt0(,0)()u xux将其按标准振型展开将其按标准振型展开001(,0)()iiiu xuxq001(,0)()iiiu xuxq第7章 弹性体振动 39一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解用用r rA j左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应00001(,0)lljijijiAu xdxqAdxqrr 00001(,0)lljijijiAu xd
24、xqAdxqrr 00()cossiniiiiiiqq tqttwww第7章 弹性体振动 40一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解物理坐标下的响应物理坐标下的响应001(,)()cossiniiiiiiiqu x txqttwww响应求解步骤：响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。第7章 弹性体振动 41
25、【例例7-4-1】左端固定，右端自由的均匀杆，左端固定，右端自由的均匀杆，在自由端作用一轴向拉力在自由端作用一轴向拉力P。在时间。在时间t=0时，突时，突然将然将P力卸除，试求系统对此初始条件的响应。力卸除，试求系统对此初始条件的响应。解：解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为(21)2iiElwr(21)()sin2iiixxCl一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 42（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci0(21)(21)sinsin122liiixixCA Cdxllr01liiAdxr求得求得2iCAlr2(21)(
26、)sin2iixxAllr所以所以一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 43（3）初始条件。按题意，）初始条件。按题意，t0时的位移为杆在轴向时的位移为杆在轴向力力P作用下产生的静位移，初始速度为零，因此作用下产生的静位移，初始速度为零，因此变换到标准坐标下变换到标准坐标下0(,0),0tPxuu xEAt000012()2(1)lliiiiiPxqAux dxAdxEAPAlrrrw 一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解000()0liiqAux dxr第7章 弹性体振动 44（4）主坐标下的响应）主坐标下的响应（5）广义坐标下的响应）广义坐标下的响应00(
27、)cossiniiiiiiqq tqttwww122(1)cosiiiPtAlwrw 1(,)()()iiiu x tq tx12121(21)(1)cossin2iiiiPixtAllwrw一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解作业：作业：7-20第7章 弹性体振动 45一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解4.对外激励的响应对外激励的响应（1）分布干扰力）分布干扰力 设干扰力密度为设干扰力密度为f(x,t),前面已经得到杆的纵前面已经得到杆的纵向强迫振动方程向强迫振动方程 将分离变量解将分离变量解 代入上代入上式得式得1(,)()()iiiu x tx q t(,)uEAf x
28、 txx22uAtr（0 xl）第7章 弹性体振动 46一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解用用 j乘上式并积分，利用正交性得乘上式并积分，利用正交性得11()(,)iiiiiidAqqEAf x tdxr0011()lliijijiiidqAdxqEAdxdxr00()lliiiiiidqAdxqEAdxdxr20(,)liiiiiiM qMqf x tdxw第7章 弹性体振动 47一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解 若对若对 i标准化，则标准化，则Mi1，即得到标准坐，即得到标准坐标下的解耦方程标下的解耦方程20(,)liiiiqqf x tdxw 利用杜哈美积分得利用杜
29、哈美积分得001(,)sin()ltiiiiqf xtd dxww 响应为响应为001(,)(,)sin()ltiiiiiu x tf xtd dxww第7章 弹性体振动 48一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解（2）集中荷载）集中荷载 设在设在xx1处受集中力处受集中力F(t),这时可以用这时可以用d d函数函数表示为分布形式：表示为分布形式：F(x,t)dxd d(x-x1),方程变为方程变为2110(,)()()()liiiiiqqF x txxdxx F twd响应为响应为10()()()sin()tiiixq tFtdww101()()(,)()sin()tiiiiixxu
30、x tFtdww第7章 弹性体振动 49 【例例】左端固定，右端自由的均匀杆，突然左端固定，右端自由的均匀杆，突然受到强度为受到强度为F0的纵向均布荷载作用，求响应。的纵向均布荷载作用，求响应。解：解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为(21)2iiElwr(21)()sin2iiixxCl一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 50（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci0(21)(21)sinsin122liiixixCA Cdxllr01liiAdxr求得求得2iCAlr2(21)()sin2iixxAllr所以所以一维波动
31、方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 51（3）计算响应）计算响应一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解001(,)sin()ltiiiiqf xtd dxww00012(21)sinsin()2ltiiixFtd dxAllwwr0002(21)sinsin()2ltiiFixdxtdAllwwr303382(1cos)(21)iF ltiEAlrwr第7章 弹性体振动 52则则一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解303318212(21)sin(1cos)(21)2iiF lixtEAliAllrwrr1(,)iiiu x tq20331161(21)(21
32、)sin1cos(21)22iF lixEitAEillr第7章 弹性体振动 53 【例例】左端固定，右端自由的均匀杆，在自左端固定，右端自由的均匀杆，在自由端受到大小为由端受到大小为F0的集中荷载作用，求响应。的集中荷载作用，求响应。解：解：利用前面的结果，带公式求解利用前面的结果，带公式求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解101()()(,)()sin()tiiiiixxu x tFtdww00112(21)2(21)sinsinsin()22tiiiixilFtdAllAllwwrr102218(1)(21)(21)sin1cos(21)22iiF lixEitAEillr作
33、业：作业：7-7第7章 弹性体振动 547.6 梁的横向振动梁的横向振动7.6 梁的横向振动梁的横向振动 仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。运动微分方程运动微分方程(P203)在梁的主平面上取坐标在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左，原点位于梁的左端截面的形心，端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移设梁在振动过程中，
34、轴线上任一点的位移u(x,t)均沿均沿z轴方向。轴方向。第7章 弹性体振动 55 设梁的长度为设梁的长度为l，弯曲刚度为，弯曲刚度为EI，质量密度，质量密度为为r r，单位长度梁上的横向干扰力为，单位长度梁上的横向干扰力为f。EI、r r、f均是坐标均是坐标x的函数。的函数。7.6 梁的横向振动梁的横向振动u第7章 弹性体振动 56 取微段梁取微段梁dx，截面上的弯矩与剪截面上的弯矩与剪力为力为M和和Q，其正，其正负号的规定和材料负号的规定和材料力学一样。力学一样。22QuQQdxfdxAdxxtr 则微段梁则微段梁dx沿沿z方向的运动方程为：方向的运动方程为：7.6 梁的横向振动梁的横向振动
35、第7章 弹性体振动 57即即22QuAfxtr 利用材料力学中的关系利用材料力学中的关系MQx7.6 梁的横向振动梁的横向振动22uMEIx222222uuEIAfxxtr 得到梁的弯曲振动方程得到梁的弯曲振动方程第7章 弹性体振动 58边界条件边界条件(P204)和一维波动方程一样，要使弯曲振和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。边界条件和初始条件。梁的每一端必须给出两个边界条件梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为）固定端：挠度和转角为0，即，即0(,)(0,)0,0 x
36、u x tutx7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 59（2）简支端：挠度和弯矩为）简支端：挠度和弯矩为0，即，即220(,)(0,)0,0 xu x tutEIx（3）自由端：弯矩和剪力为）自由端：弯矩和剪力为0，即，即222200(,)(,)0,0 xxu x tu x tEIEIxxx其它边界条件用类似的方法给出。其它边界条件用类似的方法给出。7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 60梁弯曲自由振动的解梁弯曲自由振动的解(P204)令振动方程中的干扰力为令振动方程中的干扰力为0，得到，得到222222uuEIAxxtr 7.6 梁的横向振动梁的横向振动对于均
37、匀梁，振动方程为对于均匀梁，振动方程为其中其中422420uuaxtEIaAr第7章 弹性体振动 61假定有分离变量形式的解存在，令假定有分离变量形式的解存在，令(,)()()u x tx q t代入方程得到代入方程得到2222222()()()()dxd q taq txxdxdt 写为写为22222222()1()()()adxd q txxdxq tdtw 7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 62则有则有222()()0d q tq tdtw7.6 梁的横向振动梁的横向振动444()()dxxdx其中其中242aw（称为特征方程）（称为特征方程）第7章 弹性体振动 63方
38、程的通解为方程的通解为56()sincosq tCtCtww7.6 梁的横向振动梁的横向振动1234()sincosshchxCxCxCxCx 由特征方程，利用边界条件即可求出振由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数型函数(x)和频率方程，进一步确定系统的和频率方程，进一步确定系统的固有频率固有频率w wi。用四个边界条件只能确定四个。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。积分常数之间的比值。第7章 弹性体振动 64 【P205 7.6.1】求简支梁弯曲振动的固有频率与求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。固有振型。解解：边界条件为边界条件为挠度和弯矩为挠度和弯矩为0220(0)0,
39、0 xddx22()0,0 x ldldx1234()sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解22122234()sincosshchxCxCxCxCx 以及以及7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 65240,CC得到得到2213sinsh0ClCl以及以及224()0CC则则240CC13sinsh0ClCl则则30C 以及频率方程以及频率方程sin0l由此解得由此解得,(1,2)iiil7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 66所以固有频率所以固有频率振型为振型为()()sinsiniiixCxCxl2222,(1,2)iiiEI
40、ailAwr 第第i阶振型有阶振型有i1个节点。节点坐标个节点。节点坐标kixkl即即,(1,21)kklxiki7.6 梁的横向振动梁的横向振动212EIlAwr2224E IlAwr2329EIlAwr第7章 弹性体振动 67 【P206 7.6.2】求求两端固定两端固定梁弯曲振动的固梁弯曲振动的固有频率与固有振型。有频率与固有振型。解解：边界条件为边界条件为挠度和转角为挠度和转角为0(0)0,(0)0()0,()0ll代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到7.6 梁的横向振动梁的横向振动240,CC以及以及13()0CC1234sincosshch0ClClClCl1243cossin
41、shch0ClClClCl第7章 弹性体振动 68化简后得到频率方程化简后得到频率方程cosch1ll求得求得31CC 241sinshchc sllCCClol 7.6 梁的横向振动梁的横向振动求出求出 后得到固有频率后得到固有频率22,(1,2)iiiEIaiAwr第7章 弹性体振动 69振型为振型为1234()sincosshchxCxCxCxCx1111sinshsincoschcossinsinhshchchcosllCxCxllllCxCxllsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 70 【例例】求求左左端固
42、定、端固定、右右端用刚度为端用刚度为k的弹簧支的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。承的均匀梁弯曲振动的频率方程。(0)0,(0)0解解：左端的：左端的边界条件为边界条件为挠度和转角为挠度和转角为07.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 71右端的右端的边界条件边界条件：弯矩为：弯矩为0，剪力等于弹性力，剪力等于弹性力()0l33()x ldMdQEIqqkldxdx1234()sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及22122234()sincosshchxCxCxCxCx 1243()cossinshchxCxCxCxCx7.6 梁的横向振
43、动梁的横向振动第7章 弹性体振动 7233123334()cossinchshxCxCxCxCx 240,CC将边界条件代入得到将边界条件代入得到13()0CC1234sincosshch0ClClClCl33331234(cossinchsh)EIClClClCl1234(sincosshch)k ClClClCl求得求得31CC 241sinshchcosllCCCll 7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 73进一步化简后得到频率方程进一步化简后得到频率方程3chcos1chsincosshkllEIllll 求出求出 后得到固有频率后得到固有频率22,(1,2)iiiEI
44、aiAwr振型为振型为1234()sincosshchxCxCxCxCxsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 74讨论：讨论：（1）k0时，频率方程变为时，频率方程变为chcos10ll 即为悬臂梁的情况。即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为趋于无穷大时，频率方程变为chsincossh0llll或或tanthll即为左端固定，右端简支的情况。即为左端固定，右端简支的情况。7.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 75 【题题7-28】证明图示悬臂梁在证明图示悬臂梁在xl处的边界处的边界条件为
45、：条件为：202(,)(,)x lx lu x tu x tEIkxx 33(,)(,)x lu x tEIku l tx作业：作业：7-297.6 梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 767.7 剪切变形、转动惯量及轴向力剪切变形、转动惯量及轴向力对梁振动的影响（略）对梁振动的影响（略）7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性 和一维波动方程振型函数的正交性和一维波动方程振型函数的正交性类似。第类似。第i阶特征值满足阶特征值满足22222()()()()iiidxdEI xA xxdxdxw r第7章 弹性体振动 77用用 j左乘上式两端，并积
46、分左乘上式两端，并积分22220222200lijlliijjddEIdxdxdxddddEIEIdxdxdxdxdx7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性22220022220lljiijljiddddEIEIdxdxdxdxddEIdxdxdx第7章 弹性体振动 78 考虑边界条件为简支、自由、固定的情考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则，则对第对第j阶振型进行上面类似的运算得：阶振型进行上面类似的运算得：7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性22220lijddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20li
47、ijAdxw r 22220ljiddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20ljijAdxw r 第7章 弹性体振动 79上两式相减得上两式相减得则则7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性220()0lijijAdxwwr 00()lijAdxijr ij时时0liiiAdxMr 2222222200lliiiiidddEIdxEIdxMdxdxdxw第7章 弹性体振动 807.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应 和一维波动方程一样，用振型叠加法求和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应响应()1(,)()()
48、iiiu x tq tx1.标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化01liiiAdxM r 第7章 弹性体振动 812.对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为设初始条件为00(,)()tu x tu xt0(,0)()u xux将其按标准振型展开将其按标准振型展开001(,0)()iiiu xuxq001(,0)()iiiu xuxq7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 82用用r rA j左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应00001(,0)ll
49、ijiiiiqAdxqAu xdxrr 00001(,0)llijiiiiqAdxqAu xdxrr 00()cossiniiiiiiqq tqttwww7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 83物理坐标下的响应物理坐标下的响应001(,)()cossiniiiiiiiqu x txqttwww响应求解步骤：响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求
50、标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 84 【例例】长为长为l的均匀简支梁初始静止，设在的均匀简支梁初始静止，设在xx1处的微段处的微段d d上有初始速度上有初始速度v，求系统对此初始条，求系统对此初始条件的响应。件的响应。解：解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为2iiEIlAwr()siniii xxCl7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxllr01l
