1、导数的概念导数的概念(习题课习题课)xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线直线AB的斜率的斜率y=f(x)1.1.平均变化率平均变化率函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:121()()2f xf xxx yx 2.2.平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义：割线的斜率割线的斜率121()()2f xf xxx ykx 3.3.导数的概念导数的概念函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率0000()()()lim xf xxf xfxx 称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=
2、x0 处的导数处的导数,记作记作或或 ,即即0|xxy0()fx导数还可以用下式表示：0000()()()limxxf xf xfxxx4.4.求求函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处处的导数的一般步骤是的导数的一般步骤是:001()()();yf xxf x求求函函数数的的增增量量002()()();求求平平均均变变化化率率f xxf xyxx003()()lim.取取极极限限，得得导导数数xyfxx一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该
3、点处的导数化率，并求出在该点处的导数 题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某处的导数例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某处的导数解：23(1)3x263()xxyx63 x/0(1)limxyfxy(1)(1)fxf263()xxx0lim(63)xx6例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某处的导数解：22(1)(1)(1)(1)xx 2()3xx yx平均变化率3x/0(1)limxyf
4、x0lim(3)xx3y(1)(1)fxf 2()3xxx0001,(),2.2yxxxfxx在处附近有定求例义 且的值:解yx0limxyx 01|,2x xy由000000()()()xxxxxxxxxx 001.xxx 011,22 x得01.x00 xxxx 00,yxxx 0001limxxxx 01,2 x0limx 例例2质量为质量为kg的物体，按照的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，求运的规律做直线运动，求运动开始后动开始后s时物体的动能时物体的动能。21()2Emv200253limlimxxsttvtt 题型：应用题型：应用221110 253125()2
5、2EmvJ0lim(253)25xt 练习练习1.质点按规律质点按规律s(t)=at2+1做直线运动做直线运动(位移单位：位移单位：m,时间单位：时间单位：s).若质点在若质点在t=2时的瞬时速度为时的瞬时速度为8m/s,求常数求常数a的值。的值。a=2练习练习2.质量为质量为5kg的物体按规律的物体按规律 （t的单位：的单位：s,s的单位：的单位：cm）做直线运）做直线运动，求物体受到的作用力。动，求物体受到的作用力。2s=2+3tt0.3N 过一点求曲线的切线方程过一点求曲线的切线方程【典型例题典型例题】1.1.过点过点(-2(-2，0)0)且与曲线且与曲线 相切的直线方相切的直线方程为程
6、为_._.2.2.已知曲线已知曲线 和点和点A(1,0),A(1,0),求过点求过点A A的切线方的切线方程程.xf(x)x 231yx3【解析解析】1.1.设切点为设切点为P(xP(x0 0,y,y0 0)，其中，其中由由=000 xyx2，00000 x 0 xxxxx 2 x2f(x)limx x0002lim(x2)(xx 2)202,(x2)所以，切线方程为所以，切线方程为又点又点(-2(-2，0)0)在切线上，在切线上，所以所以解得解得x x0 0=2,=2,所以所以因此切线方程为：因此切线方程为：x-8y+2=0.x-8y+2=0.答案：答案：x-8y+2=0 x-8y+2=00
7、0200 x2y(x x),x2(x2)00200 x2(2 x),x2(x2)01y,22.2.设切点为设切点为P(xP(x0 0,x,x0 03 3),),则切线的斜率为则切线的斜率为k=f(xk=f(x0 0)=)=所以切线方程为所以切线方程为又因为切线过点又因为切线过点A(1,0),A(1,0),所以所以化简得化简得 解得解得x x0 0=0=0或或13330020 x011(xx)x33limxx，320001yxx(x x)3，3200010 xx(1 x),332002xx0,303x.2当当x x0 0=0=0时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y=0;y=0;当当 时
8、，时，所求的切线方程为：所求的切线方程为：即即9x-4y-9=0.9x-4y-9=0.即过点即过点A A的曲线的切线方程为的曲线的切线方程为y=0y=0或或9x-4y-9=0.9x-4y-9=0.03x2993y(x),842 例例5:设设f(x)在点在点x0处的导数为处的导数为1,求下列各式的值求下列各式的值:000000(1)()()()()lim;lim).22xhf xxf xf xhf xhxh 000()()lim)(1xf xxf xx 原式解：00-0()()limxf xxf xx 0()fx=-100000()()()()lim2hf xhf xf xhf xh000()(
9、)lim.2(2)hf xhf xhh00000-0()()()()1limlim2hhf xhf xf xhf xhh001()()2fxfx0()1.fx练习练习1:设设f(x)在点在点x0处的导数是处的导数是2,求下列各式的值求下列各式的值:000000()()()()(1)lim;(2)limxxxf xf xf xm xf xtxx 2(1)2;(2).mt答案：练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和()()()lim.xaaf xxf af axa表示()()()()()()limlim()()lim()()().:xaxaxaaf x
10、xf aa f xf axa f axaxaf xf aaf aaf af axa解00000000()()()lim.1,.,hf xhf xf xxxhAh xBxhChxDh x 设在处可导，则（）与都有关；仅与 有关与无关；仅与有关与 无关；与都无关B0(1)(1)()lim31(1).3(1)(1(3)32).xfxff xxA fBfCfD f 设可导，则（）.；.；.C练习练习0000000000000000()().|lim()().|lim()().|lim()().|li3mxxxxxxxxxxxxfxxfxA yxfxxfxB yxfxxfxC yxfxfxxD yx 下
11、 列 各 式 正 确 的 是：（）.D课堂练习课堂练习00000000()()lim23()()2()()4.5lim.xhf xxf xxf xf xf xhf xhh 若，则若，则64 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说函数函数yf(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a,b)内就内就构成一个新的函数构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数这个新的函数叫做函数f(x)在区间在区间(a,b)内的内的导函数导函数,记作记作
12、,即即:()()xfxyy或必要时记作00()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数0000(,),()()()(,)()().xa byf xxfxf xa bfxx当时 函数在点 处的导数等于函数在开区间内的导 函 数在点 处的函数值.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxx解：DD=+D-=+D+例例4:证明证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数可导的奇函数的导函数为偶函数.证证:(1)设偶函数设偶函数f(x),则有则有f(-x)=f(x).).()()(lim,)(0 xfxxfxxfxfyx 可可导导函函数数).()()(lim)()(lim)()(lim)(000 xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxx .)(立立是奇函数，从而命题成是奇函数，从而命题成xf (2)仿仿(1)可证命题成立可证命题成立,在此略去在此略去,供同学们在课后练供同学们在课后练 习用习用.
