1、工 程 数 学 第第3 3章章 向量与线性方程组向量与线性方程组3.1n维向量3.2向量组的线性相关性3.3向量组的秩3.4线性方程组的求解3.5非齐次线性方程组3.6盈亏转折分析3.7用MATLAB求方程组的解 3.1 n3.1 n维向量维向量已知一个二元有序数组(x,y)可以确定平面上的一个向量，一个三元有序数组(x,y,z)可以确定空间中的一个向量。对于n元有序数组(x1,x2,xn)，我们引入n维向量的概念。3.1 n3.1 n维向量维向量n维向量的概念3.1.1定义1 一般地，由n个实数组成的有序数组=(a1，a2，an)称为一个n维向量，其中a1，a2，an称为向量的分量(或坐标)
2、，ai称为向量的第i个分量，向量中分量的个数n称为向量的维数。向量通常用黑体希腊字母,来表示。3.1 n3.1 n维向量维向量由定义可知，n维向量有两个基本条件：第一，由n个数组成；第二，这n个数具有确定的顺序.满足这样两个条件，其表现形式可以有两种：由n个实数组成一行 3.1 n3.1 n维向量维向量此外，规定分量全为零的向量为零向量，记作0，即0=(0,0,0)。注意 维数不同的零向量是不相同的。定义2 向量(a1，a2，an)的各分量取相反数所得到的向量称为向量的负向量，记作-，即-=(-a1，-a2，-an)。3.1 n3.1 n维向量维向量n维向量的运算 3.1.21.1.向量的和(
3、差)定义3 如果=(a1，a2，an)，=(b1，b2，bn)，当ai=bi(i=1,2,n)时,称这两个向量相等，记作。定义4 若=(a1，a2，an)，=(b1，b2，bn)，则=(a1b1，a2b2，anbn)称为向量与的和（差）。定义5 若为一实数，(a1，a2，an)，则=(a1,a2,an)称为数与向量的数乘。3.1 n3.1 n维向量维向量2.向量的数乘向量的和(差)及数乘运算统称为向量的线性运算，有如下运算规律：（1）+=+；（2）(+)+=+(+)；（3）+0=，+(-)=0；（4）1=；（5）()=()；（6）(+)=+,(+)=+。其中，表示n维向量，表示实数。3.1 n
4、3.1 n维向量维向量例3.1.1 已知=(-3,3,6,0),=(9,6.-3,18),求满足+3=的。解 因为3=-=（9，6，-3，18）-（-3，3，6，0）=（12，3，-9，18），所以 =(12，3，-9，18)=（4，1，-3，6）31 3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性组合与线性表示3.2.1定义6 设有n维向量组,1,2,s,如果存在一组数k1,k2,ks,使得 =k11+k22+kss成立，则称向量是向量组1,2,s的线性组合，或称向量能由向量组1,2,s线性表示。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性解 由定义6知，能由1，2，3线性
5、表示存在k1,k2,k3使=k11+k22+k33，则 解得k1=1,k2=2,k3=1。因此=1+22+3，能由1，2，3线性表示。例3.2.1 设1=（1,1,1），2=（0,1,1），3=（0,0,1），=（1,3,4），那么能否由1，2，3线性表示？3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关与线性无关3.2.2定义7 设有m个n维向量组成的向量组1,2,m，如果存在m个不全为零的数k1,k2,km,使得 k11+k22+kmm=0 （3.2.1）成立，则称向量组1,2,m线性相关；反之，如果这样的k1,k2,km不存在，也就是说，只有当k1=k2=km=0时,式（3-
6、1）才成立，则称向量组1,2,m线性无关。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性注意 可将式（3-1）看成关于k1,k2,km的齐次线性方程组，则方程组仅有零解向量组1,2,m线性无关；方程组有非零解向量组1,2,m线性相关。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组线性相(无)关的矩阵判定法 3.2.3定理1 设有m(mn)个n维向量 3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论1 m个n维向量组1,2,m线性相关的充要条件是它们构成的矩阵A的秩r(A)n，则m个n维向量组1,2,m必线性相关。推
7、论3 n个n维向量组1,2,n线性相关(无关)的充要条件是它们所构成的方阵A是降秩(满秩)矩阵。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论4 设 若n维向量组1,2,m线性无关，则n+1维向量组1,2,m也线性无关。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例3.2.5 判断下列向量组是否线性相关。1=（1,0,1,0），2=（0,1,0,1），3=（0,0,1,1），4=（1,1,0,0）。解 因为所以1，2，3，4线性相关。3.2 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 3.3 3.3 向量组的秩 一个向量组所含向量的个数可能很多，有时甚至有无穷多个，那么如何
8、简练地研究向量组呢？如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；如果一个向量组线性无关，则它的任何部分组也线性无关。然而线性相关向量组的部分组却不总是线性相关的。3.3 3.3 向量组的秩 极大线性无关组3.3.1定义8 设T是n维向量所组成的向量组，在T中选取r个向量1，2，,r，如果满足 (1)1，2,r线性无关；(2)任取T中的一个向量，则总可由1，2,r线性表示。则称向量组1，2,r为向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注意 （1）一个线性无关向量组的极大无关组就是它本身；（2）全部由零向量组成的向量组不存在极大无关组；（3）只要一个向量组中含有非零向量就一
9、定存在极大无关组。3.3 3.3 向量组的秩 根据定义，可接如下步骤求一个向量组的极大无关组。首先从所给向量组中剔除零向量，然后将第一个非零向量保留，若第二个非零向量与第一个非零向量线性相关，则剔除，否则就保留（两个向量线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例），接着考虑下一个非零向量，若能由前面保留下来的非零向量线性表示，则剔除，否则保留.重复这个过程，直到最后一个向量，所有被保留下来的向量所构成的部分组即为一个极大无关组。3.3 3.3 向量组的秩 例3.3.1 求向量组的极大无关组。解 向量组1,2,3线性无关，并且4=1+2，5=1+2+3，所以1,2,3是已知向量组的一个极大无关组。
10、事实上，1，2，5也是已知向量组的一个极大无关组。3.3 3.3 向量组的秩 向量组的秩3.3.2定义9 一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。如果一个向量组的秩为r，那么，其中任何r个线性无关的部分向量组都是它的极大无关组，而线性无关向量组的极大无关组就是它自身。定义10 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩。定理2 矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩且均等于矩阵A的秩。证明略。3.3 3.3 向量组的秩 定理3 一个向量组线性相(无)关的充要条件是该向量组的秩小于(等于)向量组中向量的个数。引理 矩阵A的初等行变换不改变A的列向量组的线性相关性和线
11、性组合关系。由此可知，求一个向量组的极大无关组与秩时，可以将这些向量作为列向量构造矩阵A，用初等行变换将A化为行最简形矩阵B，则B非零行的行数即为向量组的秩，每一行的首非零元所在的列所对应的原向量组中的向量即构成一个极大无关组。3.3 3.3 向量组的秩 例3.3.3 求下列向量组的秩，并求一个极大无关组。1=（1,1,0,0），2=（1,0,1,1），3=（2,-1,3,3）。解 取于是r（）=2。因此r（1,2,3）=2，且1，2是一个极大无关组，即 3-32+11=0，故3=32-1。3.3 3.3 向量组的秩 引例 某配料公司用6种成分来制造多种调味制品。表3.3.1列出了5种调味制品
12、A，B，C，D，E每包所需各成分的量。3.3 3.3 向量组的秩 一位顾客为避免购买全部5种调味品，他可以只购买其中的一部分并用它配制出其余几种调味品。问这位顾客必须购买的最少调味品的种类是多少？写出所需最少调味品的集合。3.3 3.3 向量组的秩 解 5种调味品各自的成分可用向量来表示，即 3.3 3.3 向量组的秩 一位顾客只购买其中的一部分，用它们来调制出其余几种调味品，相当于是求向量组1，2，3，4，5的一个极大线性无关组。由矩阵秩的求法，有 3.3 3.3 向量组的秩 故r()=r（B）=3，B中5个列向量反映了5种调味品经过某种混合后的状态，其中两种调味品可用其他3种调味品配制出来
13、，即 因为考虑问题的实际意义，系数不可能为负，则上式可化为 上面的关系式对原调味品来说，就是 即A，E两种调味品可通过B，C，D调制得到，所以B，C，D三种调味品可作为最小调味品集合。3.4 3.4 线性方程组的求解m个方程n个未知数的线性方程组的一般形式为 若常数项b1，b2，bm不全为零，则方程组为非齐次线性方程组。3.4 3.4 线性方程组的求解在非齐次线性方程组中,将它右端的常数项全换为零所得到的线性方程组 为齐次线性方程组,也称为非齐次线性方程组(3-2)的导出方程组。3.4 3.4 线性方程组的求解 3.4 3.4 线性方程组的求解若x1=k1,x2=k2，xn=kn满足AX=B或
14、AX=0,则称其为方程组AX=B或AX=0的解,由于解可以看成一个n维向量,故称这个向量为方程组AX=B或AX=0的一个解向量。因为零向量就是AX=0的一个解向量，因此齐次线性方程组AX=0总有解，而非齐次线性方程组AX=B则不一定有解。若非齐次线性方程组AX=B有解，那么称该非齐次线性方程组是相容的；否则，称该非齐次线性方程组是不相容的。3.4 3.4 线性方程组的求解解的判定和解的性质3.4.11.齐次线性方程组AX0的解的性质性质1 若1和2是AX=0的两个解，则12也是AX=0的解。证 因为1和2是AX=0的两个解,所以A1=0,A2=0，从而 A(1+2)=A1+A2=0+0=0，即
15、1+2是AX=0的解。性质2 如果是AX=0的解，k为任意实数，则k也是AX=0的解证 因为是AX=0的解，所以A=0，上式两边同乘以k，得kA=A(k)=k0=0，即k是AX=0的解。3.4 3.4 线性方程组的求解定义11 如果1，2，,s是齐次线性方程组AX=0解向量的一个极大无关组，则称1，2，,s是方程组AX=0的一个基础解系。3.4 3.4 线性方程组的求解2.非齐次线性方程组AX=B的解的性质性质3 非齐次线性方程组AX=B的两个解1与2的差是其导出方程组AX=0的一个解。证 由于A1=B,A2=B,从而A(1-2)=A1-A2=B-B=0，即1-2是AX=0的解。性质 非齐次线
16、性方程组AX=B的一个解与它的导出方程组AX=0的一个解的和是非齐次线性方程组AX=B的一个解。证 由于A=B,A=0,从而A(+)=A+A=B+0=B，即+是AX=B的解。3.4 3.4 线性方程组的求解由此可得如下定理。定理4 设0是AX=B的一个解向量(称为特解)，则AX=B的任一解都可以表示为=0+，其中是导出方程组AX=0的一个解向量。3.4 3.4 线性方程组的求解线性方程组的相容性定理3.4.2定理5 若将增广矩阵(AB)用初等行变换转化为(ST)，则AX=B与SX=T是同解方程组。证 设(AB)经过一系列初等行变换转化为矩阵(ST)，由于对矩阵施行初等行变换相当于在矩阵的左边乘
17、上相应的初等矩阵，不妨设存在初等矩阵P1,P2,Pk，使得 PkP2P1(AB)=(ST)。3.4 3.4 线性方程组的求解记PkP2P1=P，显然P可逆。若X1是AX=B的解，即AX1=B，上式两边同时左乘矩阵P，得PAX1=PB，即SX1=T。于是X1也是SX=T的解。反之，若X2是SX=T的解，即SX2=T，上式两边同时左乘P-1，得P-1SX2=P-1T，即AX2=B，从而X2也是AX=B的解。3.4 3.4 线性方程组的求解定理6 如果导出方程组AX=0的系数矩阵A的秩r(A)=rn，则该方程组的基础解系必存在，且基础解系中含有n-r个解向量。证 由于r(A)=rn，则A必可经若干次
18、初等行变换转化为如下行最简形矩阵 3.4 3.4 线性方程组的求解得同解方程组 3.4 3.4 线性方程组的求解其中，后面n-r个方程0=0为多余方程，可删去，从而有效方程组为 3.4 3.4 线性方程组的求解注意 AX=0的基础解系中所含解向量个数自由未知量个数n-r.其中，n为未知量个数，r为系数矩阵的秩。推论 齐次线性方程组AX=0，当r=n时，只有零解；当rn时，有无穷多组解。定理7 非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A)，无解的充分必要条件是r(A)r(A)。3.4 3.4 线性方程组的求解证 设r(A)=r，则非齐次线性方程组AX=B的增广矩阵经若干次初等行
19、变换必可转化为如下行阶梯形矩阵 3.4 3.4 线性方程组的求解得同解方程组 3.5 3.5 非齐次线性方程组解的判定和解的结构3.5.1非齐次线性方程组解的性质：性质1：非齐次线性方程组的两个解的差是它的导出组的解。性质2：非齐次线性方程组的一个解与其导出组的一个解的和是该非齐次线性方程组的解。3.5 3.5 非齐次线性方程组 3.5 3.5 非齐次线性方程组用初等行变换求线性方程组的通解3.5.2 3.5 3.5 非齐次线性方程组 3.5 3.5 非齐次线性方程组 3.5 3.5 非齐次线性方程组 3.5 3.5 非齐次线性方程组 3.6 3.6 盈亏转折分析投入产出理论是研究一个经济系统
20、内各部门在产品的消耗与生产之间的“投入”及“产出”之间数量依存关系的综合平衡的数学模型。它是由1973年诺贝尔经济学奖获得者列昂惕夫（W.Leontief）在20世纪30年代创立的。投入是指进行一项经济活动的各种消耗（如原材料、能源、设备、人的劳动消耗等），而产出是指从事经济活动的结果（如生产出的产品等）。投入产出理论就是以线性代数理论和计算机技术为主要工具，研究各种经济活动的投入与产出之间的数量规律性的经济分析法。3.6 3.6 盈亏转折分析投入产出平衡表3.6.1考察一个具有n个部门的经济系统，各部门分别用1,2,n表示，并做如下基本假设：（1）部门i仅生产一种产品（称为部门i的产出），不
21、同部门的产品不能相互替代；（2）部门i在生产过程中至少需要消耗另一部门j的产品（称为部门j对部门i的投入），并且消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产出量成正比。3.6 3.6 盈亏转折分析根据上述假设，每一个生产部门，一方面，将自己的产品分配给各部门作为生产资料或满足社会的非生产性消费需要，并提供积累；另一方面，每一个生产部门在其生产过程中也要消耗各部门的产品，所以该经济系统内各部门之间就形成了一个错综复杂的关系，这一关系可用投入产出表来表示。利用某一年的统计数字，可先编制出投入产出表，并进一步建立相应的投入产出数学模型。3.6 3.6 盈亏转折分析投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型
22、和实物型两种，在价值型模型中，各部门的投入、产出均以货币单位表示；在实物型模型中，则按各产品的实物单位（如米、千克、吨等）表示。本书只讨论价值型的投入产出模型.因此，后面提到的诸如“产品”、“总产品”、“中间产品”、“最终产品”等分别指“产品的价值”、“总产品的价值”、“中间产品的价值”、“最终产品的价值”等。3.6 3.6 盈亏转折分析首先，可利用某年的经济统计数据编制投入产出表（见表3.6.1）。3.6 3.6 盈亏转折分析其中：xI(i=1,2,n)表示部门i的总产品；yI(i=1,2,n)表示部门i的最终产品；xIj(i,j=1,2,n)表示部门i分配给部门j的产品量，或称部门j在生产
23、过程中需消耗部门i的产品量；vj(j=1,2,n)表示部门j的劳动报酬；mj(j=1,2,n)表示部门j的纯收入；zj(j=1,2,n)表示部门j新创造的价值。它是部门j的劳动报酬vj与纯收入mj的总和。3.6 3.6 盈亏转折分析用双线把投入产出表分割成四个部分：左上、右上、左下、右下，分别称为第、第、第、第象限。在第象限中，反映了总产品中新创造的价值情况，从每一行来看，反映了各部门新创造价值的构成情况；从每一列看，反映了该部门新创造的价值情况。第象限反映总收入的再分配，由于该部分的经济内容比较复杂，人们对其研究、利用还很少，因此，投入产出表中一般不编制这部分内容。3.6 3.6 盈亏转折分
24、析平衡方程3.6.2从表3.6.1的第、第象限来看，每一行都存在一个等式，即每一个部门作为生产部门分配给各部门用于生产消耗的产品，加上它本部门的最终产品，应等于它的总产品，即 这个方程称为产品平衡方程组 3.6 3.6 盈亏转折分析从表3.6.1的第、第象限来看，每一列也存在一个等式，即每一个部门作为消耗部门，各部门为它的生产消耗转移的产品价值，加上它本部门新创造的价值，应等于它的总产值，即 这个方程称为产值构成平衡方程组。3.6 3.6 盈亏转折分析根据前述基本假设（2），记易见aij表示生产单位产品j所需直接消耗产品i的数量，一般称为直接消耗系数。各部门间的直接消耗系数构成一个n阶矩阵矩阵
25、A称为直接消耗系数矩阵。3.6 3.6 盈亏转折分析直接消耗系数aij具有下列性质：利用直接消耗系数矩阵，可分别将产品平衡方程组（3-4）和产值构成平衡方程组（3-5）表示成矩阵形式。3.6 3.6 盈亏转折分析将xij=aijxj带入产品平衡方程组（3-4）,得 3.6 3.6 盈亏转折分析若记x=(x1,x2,xn)T，y=(y1,y2,yn)T，则产品平衡方程组（3-4）可表示为 x=Ax+y或(E-A)x=y。(3.6.6)将xij=aijxj带入产值构成平衡方程组（3-5），得 3.6 3.6 盈亏转折分析 3.6 3.6 盈亏转折分析则产值构成平衡方程组（3-5）可表示为 x=Dx
26、+z或(E-D)x=z。（3.6.9）3.6 3.6 盈亏转折分析平衡方程组的解3.6.3根据直接消耗系数矩阵A的性质知，矩阵E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A+A2+A3+Ak+，由于A的所有元素非负（称为非负矩阵），由上式可知(E-A)-1（称为列昂惕夫逆矩阵）的所有元素也非负。因此，对产品平衡方程组(E-A)x=y，若已知最终需求向量y（非负），则可求得总产品向量 x=(E-A)-1y，（3.6.10）即x=(x1,x2,xn)T是非负的，这样的解在经济预测和分析中才具有实际意义。3.6 3.6 盈亏转折分析而对产值构成平衡方程组（3-12），因对角矩阵E-D的主对角线元素均为正数，
27、所以E-D可逆，且(E-D)-1非负。于是，如果已知总产品向量x，就可得到新创造价值向量z=(E-D)x；反之，如果已知新创造价值向量z非负，则可求出对应的总产品向量 x=(E-D)-1z。（3.6.11）3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解任意一个线性方程组都可以写成矩阵方程AX=B的形式。其中，A为系数矩阵，X是由未知数组成的列矩阵，B是由常数组成的列矩阵。MATLAB求解矩阵方程AX=B有两种方法，下面分别介绍。3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解利用矩阵除法求解3.7.1在线性代数中，没有除法，只有逆矩阵矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引伸出来的。对于矩阵方程AX=B，
28、若A可逆，则在等式两边同时左乘A-1，可得X=A-1B=AB。在B的左边乘以A-1，MATLAB就记作A，称之为“左除”。根据矩阵乘法可知，A与B的行数相同，因此左除的条件是两矩阵的行数必须相同。类似可得，对于矩阵方程XA=B，其解为X=BA-1=B/A，在B的右边乘以A-1，记作/A，称之为“右除”。右除的条件是两矩阵的列数必须相同。3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解 3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解 3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解MATLAB并未显示出错信息，而是给出解。事实上，此时MATLAB给出的是最小二乘解。MATLAB的除法还可以用来求解方程个数少于未
29、知数个数的情况，此时方程组有无穷多解。MATLAB的除法给出的解是满足方程的，但并不是通解，而是令某个或某些未知量为0所得到的一个特解。3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解利用符号工具箱求解3.7.2符号数学是以符号（如a,b,c,x,y,z等）为对象的数学，区别于以数值为对象的MATLAB中的部分。在MATLAB中，函数syms可以方便地一次创建多个符号变量.在MATLAB的符号数学工具箱中，求代数方程的解由函数solve实现，其调用格式为：s=solve(eq)，求解符号表达式eq=0的根，自变量为默认自变量；s=solve(eq,var)，求解符号表达式eq=0的根，自变量为var；x1,x2,=solve(eq1,eq2,eqn)，求解符号表达式eq1=0,eq2=0,eqn=0组成的方程组，x1,x2,表示需求解方程的变量名。3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解 3.7 3.7 用MATLAB求方程组的解当然对于有无穷多组解的情形，最好通过编写相应的程序来求解。这里不再介绍，有兴趣的读者可参阅相关书籍。Thank You!
