1、差分方程差分方程一、差分方程的基本概念一、差分方程的基本概念二、一阶常系数线性差分方程二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用三、差分方程的简单应用)()1(1tftfyyyttt 1.差分的定义差分的定义定义定义1 设函数设函数(),0,1,2,.tyf ttn我们称我们称为函数为函数的的一阶差分一阶差分；ty一、一、差分方程的基本概念差分方程的基本概念 称称2()ttyy 1ttyy 211()()ttttyyyy212tttyyy为函数为函数ty的的二阶差分二阶差分.为为三阶差分三阶差分.同样，称同样，称32()ttyy )(1tntnyy 依此类推，函数的依此类推，函数的 n
2、 阶差分定义为：阶差分定义为：且有且有二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分.)1(0 niintiintnyCyCba,ttzy,1()0;C 2()();ttCyCy 3()()();ttttaybzaybz 114();tttttttttty zzyyzyzzy 11115.ttttttttttttttyzyyzzyyzzz zz z 性质性质1 当当 是常数，是常数，是函数时，是函数时，有以下结论成立：有以下结论成立：例例1 求求22(1)tt21,t2()tyt 222()()tyt ()ty (21)t 2(1)1(21)tt2,32()()ttyy
3、(2)220.22232(),(),().ttt2,tyt 则则解解 设设(01),ttyaa ).(ty 例例2 设设求求解解 1()tttyaa(1).ta a定义定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方方程就称为程就称为差分方程差分方程.例如例如1(,)0,ttt nF x yyy(,)0.ntttG x yyy差分方程的不同形式之间可以相互转化差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差数称为差分方程的阶差分方程的阶.是一个二阶差分方程，是一个二阶差分
4、方程，如果将原方程的左边写为如果将原方程的左边写为则原方程还可化为则原方程还可化为例如，例如，可以化为可以化为2123ttttyyy21223.ttttyyy 2111()()ttttttyyyyyy 2,ty 23.tty又如：又如：,3212ttttyyy 可化为可化为 ,32221 ttttyyy.322tttyy 定义定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中其中A为任意常数为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的恒等，则称此函数为差分方程的解解.122ttytAyy 例：是差分方程的解，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，我们往往要根据系
5、统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件初始条件.满足初始条件的解称之为满足初始条件的解称之为特解特解.如果差分如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的分方程的阶数，则称它为差分方程的通解通解.1212ttytyy 例如，是差分方程的特解，122ttytAyy 是差分方程的通解，其中其中A为任意常数为任意常数.1111()t nt nntntya yaya yf x 12,na aa()0f t ()0f t 11110.t n
6、t nntntya yaya y 3.常系数线性差分方程及解的性质常系数线性差分方程及解的性质 的差分方程称为的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程，其中，其中为常数，且为常数，且为已知函数为已知函数.时，差分方程时，差分方程(1)称为称为齐次的齐次的，对应的对应的齐次差分方程齐次差分方程为为(2)定义定义4 形如形如(1)当当否则称为否则称为非齐次的非齐次的.当当时，与差分方程时，与差分方程(1)0,()naf t 12,kC CC 定理定理1 设设的的k个特解，则线性组合个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中也是该差分方程的解，其中是是n阶常系数齐次线性差分方程阶常
7、系数齐次线性差分方程为任意常数为任意常数.1122()()()()kky tC y tC y tC yt11110(2)t nt nntntya yaya y 12(),(),()ky ty tyt的的n个线性无关的解，则方程个线性无关的解，则方程 的通解为的通解为 nCCC,21其中其中为任意常数为任意常数定理定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个个线性无关的特解若线性无关的特解若12(),(),()ny ty ty t1122()()(),nnYC y tC y tC y t是方程是方程11110t nt nntntya yaya y 定理定理3 n
8、阶非齐次线性差分方程阶非齐次线性差分方程 的通解与它自己本身的一个特解之和，的通解与它自己本身的一个特解之和，1111()t nt nntntya yaya yf t 它对应的齐次方程它对应的齐次方程11110t nt nntntya yaya y 即通解等于即通解等于1122*()()(),()nnYC y tC y tC y ty t其中其中*()y t是它自己本身的一个特解是它自己本身的一个特解.以上三个定理揭示了以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识重要的基础知识在
9、本书中在本书中我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法1()ttyayf t ，0a ()f t()0f t 10ttyay (0)a ()0,f t (3)为常数，为常数，为已知函数为已知函数.时，称方程时，称方程(4)则则(3)称为称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中其中当当为为一阶常系数齐次线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程.若若差分方程差分方程.二、二、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程10(4)ttyay (1)迭代法求解迭代法求解：一般地一般地，对于一阶
10、常系数齐次线性差分方程对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法通常有如下两种解法.1.常系数齐次线性差分方程的通解常系数齐次线性差分方程的通解0y设已知，则1nnyay 2()na ay 22na y 11nay 0,na y 0(0,1,2,).ttya yt10(4)ttyay (2)特征方程法求解特征方程法求解：设：设(0)tY (4)(4)是方程的解，代入，得化简得：化简得：即即10(0)tta，0,a.a 分别称为方程分别称为方程和和是方程是方程(4)的解的解.ttya 再由解的结构及通解的定义知：再由解的结构及通解的定义知：的的特征方程特征方程和和特征根特征根.10(4)t
11、tyay(ttyCa C 是齐次方程的通解是齐次方程的通解.为任意常数为任意常数)10tta a 故故120ttyy 210,1.2 例例4 求求的通解的通解.从而特征根为从而特征根为于是原方程的通解为于是原方程的通解为其中其中C为任意常数为任意常数.解解 特征方程为特征方程为,)21(ttCy 1()ttyayf t 的右端项为某些特殊形式的函数时的特解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程考虑差分方程(c为任意常数为任意常数),()()f tc 一则差分方程为则差分方程为1(5)ttyayc ，1)采用迭代法采用迭代法求解：求解：有迭代公式有迭代公式0y，给定初值给定初值1tt
12、acyy 2tca ayc 221tyaca 321tayacac 3321tacaay 0211.ttacaaya 00,1,1,1.1tttyctayay acaa 2)一般法求解：一般法求解：设差分方程设差分方程).11;01(*sasaktyst时取时取时取时取的特解的特解.;1*ackycakkt 即即.)1(ckcakttk 即即1(5)ttyayc*(5),tyk 令令代代入入方方程程得得：1a 具有形如具有形如(1)当当时，时，1a *(5),tykt 令令代代入入方方程程得得：(2)当当时，时，例例5 求差分方程求差分方程 的通解的通解.231 ttyy解解 对应齐次差分方程
13、的通解为对应齐次差分方程的通解为 由于由于,13 a故可设其特解为故可设其特解为：,*kyt 代入方程，解得代入方程，解得：,1 k故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：.13*tttAyYy3,tYA)6(1tttcbayy 设差分方程设差分方程(6)具有形如具有形如).1;0(*sabsabbktytst时取时取时取时取的特解。的特解。得得代入方程代入方程时，令时，令当当,)6(,)1(*ttkbyab ,)(1cabkcbakbkbttt 即即于是于是*.ttcybba ()(1)tf tcbcb 二、为常数，则方程为得：得：代入方程代入方程时，令时，令当当,)6()2(*ttktby
14、ab tttcbaktbbtk 1)1(,)1(caktbtk 即即解得解得.ack 于是于是.1*tttctbtbacy的的通通解解分分别别为为：时时，方方程程和和当当)6(abab .1tttAactby tttAababcy 和和例例6 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。tttyy 25211解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.21tAY 由于由于,25,21baba 故可设其特解为：故可设其特解为：.*ttkby 代入方程，解得代入方程，解得：,21 abck故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：.252121*ttttAyYy 设差分方程设差分方程(7)具有
15、形如具有形如)(10*nnsttBtBBty 的特解的特解.).11;01(sasa时取时取时取时取将特解代入差分方程将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数后比较两端同次项系数.,10nBBB确定系数确定系数)()(ncf tct 三为常数，则差分方程为1(7)nttyayct 例例7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。2132tyytt 解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.2tAY 由于由于,12 a故可设其特解为故可设其特解为2*DtCtByt 代入方程，得代入方程，得,3222)1()1(222tDtCtBtDtCB 比较系数比较系数：02 BDCB022
16、CDC32 DD原差分方程通解为原差分方程通解为.36922*ttAyYyttt 解得解得.3,6,9 DCB故方程特解为故方程特解为.3692*ttyt )8()(1tmtttPayy 设差分方程具有形如设差分方程具有形如的特解的特解.综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论：若若()()tmf tPt ()mPtm 其中 为常数为 次多项式，则方程为*(),()tnntyQ tQ tn 为 次多项式当当 时，时，(*)式左端为式左端为 次多项式，要使次多项式，要使 (*)式成立，则要求式成立，则要求a 1 n.1mn t 约去得：*(8),ty将代入方程得：1(1)()(),tttnnm
17、Q taQ tPt(1)()(),(*)nnmQ taQ tPt 01()(0),nnnnQ taa ta ta假设(1)(),nnnQ tQ ta 则和的最高次项系数均为故可设差分方程故可设差分方程（8）具有形如）具有形如tmsttQty)(*的特解的特解.前面三种情况都是差分方程（前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：）的特殊情形：当当 时，取时，取 否则，取否则，取 a ,1 s.0 s.1,0)1(m.0)2(m.1)3(tSttSr,)1(1ttttSrrSSS ,2,1,0 ttS,)1(0SrStt ,2,1,0 t0S例例8（存款模型（存款模型)为为 期存款总额，期存款总额
18、，利率，按年复利计息，则利率，按年复利计息，则与与有如下关系式：有如下关系式：这是关于这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中其中为初始存款总额为初始存款总额.为存款为存款其通解为其通解为设设r三、三、差分方程在经济问题中的简单应用差分方程在经济问题中的简单应用2a,12r1.12224raray 例例9（贷款模型）（贷款模型）设每个月应付设每个月应付x元元(贷款额为贷款额为元）元）,月利率是月利率是第一个月应付利息为第一个月应付利息为可入住可入住,另一半由银行以年利另一半由银行以年利r贷款贷款,均每月付多少元？共付利息多少元？均每月付多少元？共付利息多
19、少元？n年付清，问平年付清，问平设某房屋总价为设某房屋总价为a 元元,先付一半先付一半解解21()212aryxy1(1),1212ttrrxyy (1)0,12r 1.12r 第二个月应付利息为第二个月应付利息为于是依此类推可得于是依此类推可得这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，所以特征根为所以特征根为，其对应的齐次线性差分方程的特征方程为其对应的齐次线性差分方程的特征方程为1(1),1212rrxy.)121(ttrCY ,*Ayt,12)121(rxArA ,Ax .*xyt 其对应的齐次线性差分方程的通解为其对应的齐次线性差分方程的通解为由于由于
20、1 不是特征方程的根，不是特征方程的根，代入原方程，得代入原方程，得即即于是于是故原方程的通解为故原方程的通解为.)121(xrCytt 于是令特解于是令特解242121raary ,12124rxarC xrrxraytt )121(121122当当时，得时，得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.)121()121(12211xrxrratt nyyyyI12321 21211(1)(1)(1)121212nrrrx 于是于是n年利息之和为年利息之和为21211(1)(1)(1)12212121212narrrrnx.121)121(122)121(21212xrr
21、nxarann 212anx ,121)121()121(21212xrrIraInn ,1)121(12)121(21212 nnrrrax1)121(12)121(21212 nnrrrax21)121(12)121(2121212arrranInn 由于上式中由于上式中也是总利息，所以有也是总利息，所以有从而得从而得因此，平均每月付因此，平均每月付元，共付利息元，共付利息元元.该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年年例例10（筹措教育经费模型）（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子
22、女月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育的教育.并计划并计划20年后开始从投资帐户中每月支取年后开始从投资帐户中每月支取1000元，共计支取元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完年，直到子女完成学业并用完全部资金全部资金.要实现这个投资目标，要实现这个投资目标，20年内共要筹措多年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为利率为0.5%，10年后子女大学毕业用完全部资金年后子女大学毕业用完全部资金.分析分析解解 设从现在到设从现在到20年内共要筹措年内共要筹措 x 元资金，第元资金，第n个月个月 每月存入资金每月存
23、入资金 a 元元.同时同时.投资账户资金为投资账户资金为In元，元，也设也设 20 年后第年后第 n 个月投资帐户资金为个月投资帐户资金为Sn 元，于是，元，于是，20 年后，关于年后，关于Sn的差分方程模型为的差分方程模型为每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元，元，10内用完所有资金内用完所有资金.11.0051000,nnSS.,00120 xSS 10001.0051.005200000,11.005nnnSCC 12012001.0052000000,
24、200000,SCSCx 并且并且解方程解方程(9)，得通解，得通解以及以及（9）12020000020000090073.45.1.005x ,005.11aIInn .200005.1005.11005.111aCaCInnn 从而有从而有从现在到从现在到20 年内，年内，In满足的差分方程为满足的差分方程为(10)解方程解方程(10),得通解得通解，且且.45.90073,02400 II.95.194 a以及以及从而有从而有即要达到投资目标，即要达到投资目标，20 年内要筹措资金年内要筹措资金 90073.45 元，元，平均每月要存入银行平均每月要存入银行 194.95 元元.,45.
25、90073200005.11240240 aCI.020010 aCI在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副产品它农副产品.过一段时间猪肉上市量减少，供不应求过一段时间猪肉上市量减少，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求,价格价
26、格下跌的局面下跌的局面.在没有外界干预的条件下，这种现象将在没有外界干预的条件下，这种现象将一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种现象是永远不可避免的现象是永远不可避免的.由于商品的价格主要由需求由于商品的价格主要由需求例例11(动态经济系统的蛛网模型动态经济系统的蛛网模型)关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，因而价格越低因而价格越低.而下一个时期商品的数量是由生产而下一个时期商品的数量是由生产者者的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越少少.当
27、商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹.这样的需求和供给关系决定了市场经济中商品的价这样的需求和供给关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的格和数量必然是振荡的.有的商品这种振荡的振幅有的商品这种振荡的振幅越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越大，最后导致经济崩溃大，最后导致经济崩溃.现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象上述振荡现象.图图4.1：蛛网模型图：蛛网模型图n,snQ,nP(),snnPf Q).(1ndnPgQ 个时期个时期(假定
28、为一年假定为一年)猪肉的产量为猪肉的产量为价格为价格为产量与价格的关系为产量与价格的关系为这种产销关系可用下述过程来描述：这种产销关系可用下述过程来描述：设第设第决定下一时期的产量，决定下一时期的产量，因此因此本时期的价格又本时期的价格又112233sssQPQPQPsnnQP设设 ),(),(122111PQAPQAss ,),(),(234223PQAPQAss ).,(),(1212kskkkskkPQAPQA o2A1A)(PgQ )(QfP P3A4AQ在图在图4.1中，是以产量中，是以产量Q和价格和价格P 作为坐标系的横轴和作为坐标系的横轴和和纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为和
29、纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型蛛网模型.对于蛛网模型，假定商品本期的需求量对于蛛网模型，假定商品本期的需求量dtQ决定于本期决定于本期,tP即需求函数为即需求函数为的价格的价格),(tdtPfQ 商品本期产量商品本期产量stQ,1 tP决定于前一期的价格决定于前一期的价格即供给函数为即供给函数为),(1 tstPgQ从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示：从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示：1,.dttsttdsttQPQPQQ 其中其中,均为常数且均大于零均为常数且均大于零.蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况.下面只讨论
30、一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求下面只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求即当市场由于受到干扰偏离原有的即当市场由于受到干扰偏离原有的曲线斜率的绝对值曲线斜率的绝对值.均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点点.假设假设,在第一期由于某种外在原因的干扰在第一期由于某种外在原因的干扰,如恶劣的如恶劣的eQ减少为减少为气候条件，实际产量由均衡水平气候条件，实际产量由均衡水平,1Q曲线，曲线，消费者愿意支付消费者愿意支付根据需求根
31、据需求1P的价格购买全部的的价格购买全部的产量产量,1Q于是，实际价格上升为于是，实际价格上升为,1P.根据第一期较高根据第一期较高的价格水平的价格水平.2P,2Q在第二期，生产者为了出售全部的产量在第二期，生产者为了出售全部的产量接受接受于是，实际价格下降为于是，实际价格下降为,2P.根据第二期的较低的价格水平根据第二期的较低的价格水平生产者将第三生产者将第三,3P在第三期，消费者愿意支付在第三期，消费者愿意支付,3Q的价格购买全部的产量的价格购买全部的产量.3P于是，实际价格又上升为于是，实际价格又上升为,3P根据第三期较高的价格水平根据第三期较高的价格水平如此循环下去如此循环下去(如图如
32、图4.2所示所示)，实际实际,2P消费者所愿意支付的价格消费者所愿意支付的价格,3Q期的产量减少为期的产量减少为.4Q生产者又将第四生产者又将第四期的产量增加为期的产量增加为产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡,1P按照供给曲线，生产者将第二期的按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为产量增加为.2Q所代表的水平所代表的水平.e点点图图4.2 收敛型蛛网收敛型蛛网1Q2Q3Q4QQsdOP1P2P3PePeeQe 由此可见，图由此可见，图4.2中的平衡点中的平衡点所代表的平衡状态是所代表的平衡状态是后，经济制度中存在着自发的后，经济制
33、度中存在着自发的也就是说，由于外在的原因，当价格和产量也就是说，由于外在的原因，当价格和产量稳定的稳定的.),(eeQP偏离平衡点偏离平衡点因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态.产量和产量和蛛网模型蛛网模型名称的由来名称的由来.价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是据统计，某城市据统计，某城市2001年某种鲜鱼的产量为年某种鲜鱼的产量为30万吨，万吨，举例说明举例说明：价格为价格为6.00元元/公斤公斤.2002年生产该鲜鱼年生产该鲜鱼25万吨，价格为万吨，价格为8.00元元/公斤公斤.已知已知200
34、3年的鲜鱼产量为年的鲜鱼产量为25万吨，并假定万吨，并假定若维持目前的消费水若维持目前的消费水鲜鱼产量鲜鱼产量与价格之间是线性关系与价格之间是线性关系.问若干年以后的产量与价格是否会趋于问若干年以后的产量与价格是否会趋于稳定？稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格若稳定请求出稳定的产量和价格.平与生产方式，平与生产方式，,1x,1y,2x,2y)(xfy )6,30(1A)8,25(3A),3,2,1(5218 nxynn 设设2001年鲜鱼的产量为年鲜鱼的产量为鲜鱼的价格为鲜鱼的价格为猪肉的产量为猪肉的产量为猪肉的价格为猪肉的价格为依此类推依此类推.根据根据线性线性是一条直线，且是一条直线，且和
35、和在直线上，因此得需求函数为在直线上，因此得需求函数为（11）2002年年假设，需求函数假设，需求函数供给函数供给函数)(ygx 也是一条直线，且也是一条直线，且)6,25(2A和和)8,28(4A在直线上，因此得供给函数为在直线上，因此得供给函数为),3,2,1(23161 nyxnnnx,53431nnxx ).()53(1211xxxxkkk （12）的差分方程的差分方程 （13）将将(11)式代入到式代入到(12式得关于式得关于利用迭代法解方程利用迭代法解方程(13),于是有于是有所以所以,)53()()(11112111 nknkkkknxxxxxx从而从而,)53(530)53()(11111211 nkknkknxxxxny,)53(26)53()(11111211 nkknkknyyyy25.7858531126lim1 nny875.2625.7类似于上述推导过程，得到关于类似于上述推导过程，得到关于的表达式的表达式于是于是，（元（元/公斤）公斤）.（万吨），稳定的价格为（万吨），稳定的价格为（元（元/公斤）公斤）.若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量为为于是，于是，875.2682155311530lim1 nnx（万吨）（万吨）.
