1、 学习目标学习目标了解静定结构的位移计算的相关概念。理解并掌握虚功原理、位移计算的一般公式、单位荷载法、图乘法。能够求解结构的位移。了解结构由于温度变化、支座移动引起的位移计算和弹性体系的互等定理。11.111.1静定结构的静定结构的位移概述位移概述11.1.1位移的概念11.1.2计算静定结构位移的目的11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述 工程结构在荷载作用下，形状将发生改变，结构上各点的位置会发生相应的移动。杆件的截面除移动外还会有转动，截面的移动和转动称为位移。其中截面形心移动的距离称为该截面的线位移，截面转动的角度称为该截面的角位移。11.111.1静定静定结构结构的位
2、的位移概移概述述 如图11-1所示，刚架在均布荷载作用下发生如图中虚线所示变形，此时，A点移动到A点，即A点的线位移为AA，记为A。若将AA沿水平方向和竖直方向分解，则分量Ax和Ay分别称为A点的水平线位移和竖向线位移。同时，截面A还将转动一个角度A，这就是截面A的角位移11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述 又如图11-2所示的刚架，在荷载F的作用下发生虚线所示的变形，其中截面A的角位移为A（顺时针），截面B的角位移为B（逆时针），这两个截面的转向相反的角位移之和就是截面A，B的相对角位移，AB=A+B；同理，截面C的水平线位
3、移为C，截面D的水平线位移为D，这两个指向相反的水平位移之和就称为C，D两点的水平相对线位移，CD=C+D。11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述 使结构产生位移的原因除了荷载作用，还有温度改变使材料膨胀或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中发生误差、基础的沉陷或支座产生移动等，如图11-3所示。11.111.1静定静定结构结构的位的位移概移概述述 结构的位移计算是结构设计和施工中常会碰到的问题，进行位移计算的主要目的有以下三点。（1）对结构进行刚度校核。（2）为解决超静定问题打下基础。（3）为生产使用提供依据。11.211.2虚功
4、原理虚功原理11.2.2实功与虚功11.2.3刚体虚功原理11.2.4变形体虚功原理11.2.1功的概念11.211.2虚虚 功功 原原 理理1.功功 功是物体上所作用的力与其作用点沿力方向上位移的乘积。如图11-4所示，设恒力F作用在物体上，并使物体在水平方向上产生位移，则称力F在位移上做了功，其大小为 W=Fcos=Fx11.211.2虚虚 功功 原原 理理1.功功 又如图11-5所示，物体在力偶m=Fd作用下而产生角位移，则力偶在角位移上做了功，其大小为 W=0Fdd=Fd0d=m11.211.2虚虚 功功 原原 理理1.功功 同理也可得出力矩对物体所做的功为 W=M 式中，W为力矩的功
5、；M为力矩；为物体在力矩作用下转过的角度。功是代数量，可正、可负，也可为零。当力与位移方向相同时，功为正；反之，则为负；当力与位移垂直时，功为零。功的量纲为力与长度乘积，单位为Nm或kNm等。11.211.2虚虚 功功 原原 理理2.广义力与广义位移广义力与广义位移 为方便计算，可将功的表达式统一写成 W=F （1-11）式中，F称为广义力，可以是单个集中力、集中力偶或一对力及一对力偶；称为广义位移，可以是线位移或角位移。广义力做功必须与广义位移一一对应。如果广义力是一集中力，则相应的广义位移为线位移；如果广义力是一集中力偶，则相应的广义位移为角位移。11.211.2虚虚 功功 原原 理理 功
6、根据位移产生的原因可分为实功与虚功。实功是指力在其自身所引起的位移上所做的功；虚功是指力在其他因素所引起的位移上所做的功。图11-6（a）所示为简支梁，在静力荷载F1作用下产生的变形如虚线所示，其作用点沿F1方向产生了位移11；此时若F2的作用，F1的作用点沿F1方向又产生了位移12，可分解为图11-6（b），（c）所示两种状态。图11-6（b）所示的状态称为力状态，也叫第一状态；图11-6（c）所示的状态称为位移状态，也叫第二状态。11.211.2虚虚 功功 原原 理理11.211.2虚虚 功功 原原 理理 力F1在第一状态对应的位移11上所做的功，就是F1所做的实功。由于F1为变力，实功为
7、 W11=1/2F1W11=1/2F111 力F1在第二状态中对应的位移12上所做的功，就称为F1所做的虚功，即 W12=F112 虚功是相对实功而言的，虚功要求做功的力和位移属于同一体系的两个独立无关的状态，因此做虚功必须具备两种毫不相关的状态。11.211.2虚虚 功功 原原 理理 刚体处于平衡状态的充分必要条件是：外力所作的虚功之和恒等于零。即 W外=0 （11-2）刚体虚功原理常用于以下方面。（1）用虚位移求未知力。（2）用虚荷载法求未知位移。虚位移原理和虚荷载原理统称为虚功原理。11.211.2虚虚 功功 原原 理理 前面讨论的是外力的功，而构件在外力作用下会产生内力，内力在其本身引
8、起的变形上所做的功称为内力实功；内力在其他原因引起的变形上所做的功称为内力虚功。对变形体，外力虚功不再等于零，因为变形内力要做虚功。经证明，变形体处于平衡状态的充分必要条件是：外力在对应的位移上所做的外力虚功总和等于各微段上的内力在其对应的变形上所做的内力虚功总和，即 W外=W内 （11-3）11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式 设结构在一组荷载作用下而发生图11-9（a）中虚线所示的变形，现欲求K点的位移，可应用变形体的虚功原理。将此变形看作实际的位移状态，为了求出K点的位移而虚设一组力状态，即在K点作用一单位荷载P=1，并求出相应的支座反力，如图11-9（b
9、）所示，这两个状态是彼此无关的。现令力状态的力在位移状态的位移上做功。由于支座无移动，支座反力不做功，外力功只有虚设单位荷载P=1在位移上做功，用W外表示外力做的功，其值为 W外=1 （11-4）11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式 W内是虚设力状态的内力FN,FS,M在位移状态的变形上所做的虚功之和。为了求此内力虚功，可在结构杆上任取一微段ds，此微段因实际荷载作用而引起的变形为轴向变形d，剪切变形d，和弯曲变形d。如图11-
10、9（c），（d），（e）所示，其数值为 d=ds，d=ds，d=1/ds 在此微段上，由虚设力引起的内力，在实际荷载引起的变形上，所做的虚功dW内为 dW内=FNds+FSds+M1/ds 由材料力学公式可知 =FNP/EA，=FSP/GA，1/=MP/EI11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式 在整根杆上内力虚功为 考虑到一个结构中有许多根杆，所以整个结构的内力功的总和为（11-5）将式（11-4）（11-5）一并代入式（11-3），得（11-6）11.311.3荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算公算公式式 从推导过程可知，欲求某点沿某一方向的位移，只需
11、在该点上沿所求位移的方向加上一个P=1的单位荷载，作出结构在此单位力作用下的内力图（或内力方程）FN，FS，M，然后代入式（11-6）计算即可。式（11-6）具有普遍性。式（11-6）表面上是计算位移的公式，本质上是计算功的公式。式（11-6）还可以用于计算相对位移。11.411.4荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算的算的实际实际应用应用1.梁和刚架梁和刚架 对于梁和刚架，影响位移的主要因素是弯矩，而轴力和剪力所引起的位移则较小，可略去不计，如果各杆均为直杆，则令dx=ds，故位移计算公式可简化为 （11-7）计算时，应列出各杆的弯矩方程M和MP，以进行积分运算。11.411.4荷载荷
12、载作用作用下结下结构位构位移计移计算的算的实际实际应用应用2.桁架桁架 在桁架中，因各杆只受轴力作用，剪力和弯矩均为零，所以位移计算公式可简化为 又因桁架杆是等截面的，且轴力沿杆长也无变化，所以式可进一步简化为（11-8）11.411.4荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算的算的实际实际应用应用3.组合结构组合结构 组合结构一般为桁架与梁的组合，桁架只考虑轴力的影响，受弯杆件则只考虑弯矩的影响，故位移公式可简化为 （11-9）11.411.4荷载荷载作用作用下结下结构位构位移计移计算的算的实际实际应用应用4.拱拱 因拱轴力较大，所以轴力引起的位移不能忽略，故一般情况下拱的位移公式为 （1
13、1-10）若拱的曲率半径较小而厚度较大，则剪力的影响也不能忽略。11.511.5图乘法图乘法11.5.1图乘法的计算公式11.5.2图乘法公式的应用11.511.5图乘图乘法法 建筑结构多为梁和刚架，从上述例题中可以看到，直接应用位移公式 由课本相关计算可得，位移计算公式就可写成（11-11）式（11-11）表明：两个图形相乘的积，等于其中一个图形的面积（通常取曲线图形的面积）乘以此图的形心所对应的另一图形（必须是直线图形）的纵坐标yC。这就是位移计算的图乘法公式。11.511.5图乘图乘法法 应用图乘法公式计算时应注意以下几点。必须满足前述的三个条件，若EI为分段常数，应分段计算。面积与yC
14、在杆的同侧时，yC的乘积取正号；反之，yC的乘积取负号。yC必须取自直线图中，而则为另一图形面积。如果某一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段计算。11.611.6温度变温度变化、支座移化、支座移动引起的位动引起的位移计算移计算11.6.1由温度改变而引起的位移11.6.2因支座移动引起的位移11.611.6温度温度变化、变化、支座支座移动移动引起引起的位的位移计移计算算 当温度变化时，静定结构因没有多余约束，所以各截面都不会产生内力，支座也不会产生反力。但静定结构会产生变形，其各截面会产生位移。要计算出任一截面因温度变化引起的位移，必须首先研究在温度变化作用下截面的变形。为了求位移，需引用
15、虚功原理，列出虚功方程即可。（11-12）式（11-12）是温度变化引起的位移计算公式。11.611.6温度温度变化、变化、支座支座移动移动引起引起的位的位移计移计算算 静定结构支座移动并不产生内力也无变形，只是发生刚性位移。应用虚功方程求解时，虚拟状态的选取同前。因为实际杆件并没有发生变形，所以内力虚功为零。虚功方程为 1+RC=0 即 =RC （11-14）式中，表示支座移动所引起的真实位移；R为虚拟状态中的支反力；C表示支座位移。式（11-14）是结构由于支座移动引起的位移表达式。11.711.7线弹性体系的线弹性体系的互等定理互等定理11.7.1功的互等定理11.7.2位移互等定理11
16、.7.3反力互等定理11.711.7线弹线弹性体性体系的系的互等互等定理定理 图11-25（a）所示的简支梁上，先后作用P1和P2两组荷载。并假定P1引起的位移为第一状态，P2引起的位移为第二状态，现讨论这两组荷载按不同次序先后作用于这同一结构上时所做的功。11.711.7线弹线弹性体性体系的系的互等互等定理定理 Piik=Pkki这就是功的互等定理。即在线弹性体系中，第i状态的外力在第k状态的位移上所做的虚功等于第k状态的外力在第i状态的位移上所做的虚功。11.711.7线弹线弹性体性体系的系的互等互等定理定理 现在讨论功的互等定理的另一种特殊情况：设状态和状态中都只有一个荷载P1或P2作用
17、，且P1=1，P2=1。其中21表示单位荷载P1=1引起的P2作用处相应的位移，12表示单位荷载P2=1引起的P1作用处相应的位移，一般情况下，ik=ki （11-19）这就是位移互等定理，此处位移应理解为广义位移。位移互等定理可表述为：单位荷载Pk=1引起的在Pi作用点处沿Pi方向的位移，等于单位荷载Pi=1引起的在Pk作用点处沿Pk方向的位移。11.711.7线弹线弹性体性体系的系的互等互等定理定理 现考察任意两个状态之间由支座单位位移所引起的支座反力之间的关系。用小写字母r表示因支座产生单位位移而引起的支座反力。由功的互等定理可知，第一状态的力在第二状态的位移上做的功，等于第二状态的力在第一状态的位移上所做的功。一般情况下可写成 rik=rki （11-20）这就是反力互等定理，即支座i由于支座k发生的单位位移所引起的反力rik，等于支座k由于支座i发生的单位位移所引起的反力rki。
