1、 学习目标学习目标 1.理解几何组成分析的相关概念。2.掌握几何不变体系的组成规则，掌握几何组成分析与结构静定性间的关系。3.能够运用规则进行体系的几何组成分析。4.14.1几何几何组成组成分析分析的概的概念念 若干根杆件以一定的方式相互联结，并与基础相连，则构成杆件体系。判定杆件体系能否作为结构使用时，需对其进行几何组成分析，以确定几何体系的组成是否合理、体系能否承受荷载作用。若不考虑由于材料的应变所产生的变形，则称为几何不变体系，如图4-1（a）所示；如体系尽管只受到很小的荷载作用，也会发生几何形状或位置改变，则称为几何可变体系，如图4-1（b）所示。4.14.1几何几何组成组成分析分析的
2、概的概念念4.14.1几何几何组成组成分析分析的概的概念念 显然，结构必须是几何不变体系，几何可变体系不能作为结构（几何可变体系可称之为“机构”），因此，在进行结构设计和计算之前，必须确定体系是否为几何不变体系，这一过程称为几何组成分析。4.14.1几何几何组成组成分析分析的概的概念念 对体系进行几何组成分析的目的如下。（1）判别某一体系是否几何不变，以决定是否可以作为结构。（2）研究几何不变体系的组成规律，改善和提高结构的性能，以便设计出合理的结构。（3）根据结构的组成规则确定它是静定结构或是超静定结构，以指导结构的内力计算。4.14.1几何几何组成组成分析分析的概的概念念 体系中任何几何不
3、变的部分都可看作一个刚体，它在平面体系中简称刚片。因此，一根梁、一根链杆或者在体系中已经肯定为几何不变的某个部分，以及支承结构的地基，都可看作一个刚片。4.24.2自由度和约束自由度和约束4.2.1 自由度4.2.2 约束4.2.3 计算自由度4.24.2自由自由度和度和约束约束 确定体系的位置所需的独立坐标的数目，称为自由度，即该体系运动时，可以独立出来的运动方式或独立变化的几何参数的数目。（1）点的自由度。在平面内一个点的位置由两个坐标x和y确定，如图4-2（a）所示，所以在平面上一个点的自由度有两个。（2）刚片的自由度。在平面内刚片位置由其上任一点A坐标x，y和过A点的任一直线AB的倾角
4、确定，如图4-2（b）所示，因此一个刚片的自由度有三个。4.24.2自由自由度和度和约束约束4.24.2自由自由度和度和约束约束1.约束的概念约束的概念 实际结构体系中各杆件之间及体系与基础之间，是通过一些装置互相联系在一起的。这些联结装置使体系内各构件（刚片）之间相对运动受到了限制。能使体系减少自由度的装置称为约束，也称为联系。能使体系减少一个自由度的装置称为一个约束，如果一个装置能使体系减少n个自由度，则称为n个约束。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类工程中常见工程中常见的约束分类的约束分类1)1)链杆链杆2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰3)3)固定铰支座
5、固定铰支座4)4)刚性联结刚性联结4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类1)1)链杆链杆 链杆是指两端铰结于刚片上的杆件。链杆只限制与其相连的两刚片沿链杆方向的运动，即减少了一个自由度，因此一根链杆为一个约束。如图4-3（a）所示，两点A,B用链杆相连后，自由度由四个变为图示的三个；而图4-3（b）所示的两刚片用链杆BC联结后，自由度由六个减为五个。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类1)1)链杆链杆4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰 联结两刚片的铰称为单铰。单铰的作用是使体系自由度
6、减少两个，所以它相当于两个约束。如图4-4（a）所示，两刚片之间由单铰联结，确定刚片的位置需三个独立坐标x、y和。确定刚片的位置后，还需一个坐标来确定刚片绕铰A转动时的夹角，所以体系的自由度为四个，即原两刚片共六个自由度，现减少两个。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰 联结两个以上刚片的铰称为复铰。如图4-4（b）所示，刚片、共用一个铰B联结，若刚片的位置已固定，则刚片和都只能绕铰B转动，从而各减少了两个自由度，两刚片共减少了四个自由度，故此联结三个刚片的铰实际相当于两个单铰的作用。一般来说，联结n个刚片的复铰，相当于（n-1）
7、个单铰作用，能使体系减少2（n-1）个自由度。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰 联结在两个刚片间不共线的两个链杆延长线的交点为虚铰，虚铰与单铰的作用相同，因此，两个不共线链杆相当于一个单铰。如图4-5所示，两刚片只能绕O点做相对转动，O点也称为两刚片的转动瞬心。由于瞬心位置随两刚片的微小转动而改变，故虚铰又称为瞬铰。两个链杆平行时，如图4-5（b）所示，虚铰在无限远处。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类
8、2)2)单铰、复铰、虚铰单铰、复铰、虚铰4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类3)3)固定铰支座固定铰支座 如图4-6所示，刚片通过固定铰支座与地基相连，刚片只能绕支座转动，只有一个自由度，即自由度减少两个，因此固定铰支座相当于两个约束。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类4)4)刚性联结刚性联结 两刚片之间不能发生任何相对运动的结点称为刚结点。两刚片之间用刚结点联结又称为刚性联结。由刚结点的特征可知，刚性联结使体系自由度减少三个，所以一个刚结点相当于三个约束，即相当于三个链杆的共同作用或一个单铰与一个链杆的共同作用。如图4-7所示，刚片和经刚性联
9、结后，其自由度为三个，两个刚片成为一个刚片。另外，固定端约束也使刚片减少三个自由度，相当于三个约束，如图4-8所示。4.24.2自由自由度和度和约束约束2.约束的分类约束的分类4)4)刚性联结刚性联结4.24.2自由自由度和度和约束约束3.多余约束多余约束 值得注意的是，并不是所有的约束都能减少体系的自由度。如图4-9所示，平面内的一个自由点，自由度有两个。若用两个不共线的链杆与基础相连，或再增加一个链杆，体系的自由度都为零。如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并未减少，则所增加的约束称为多余约束。而把一个体系的自由度减少为零所需的最少约束称为必要约束。4.24.2自由自由度和度和约束约束3
10、.多余约束多余约束4.24.2自由自由度和度和约束约束 一个体系是由若干构件加入一些约束组成的，体系的计算自由度等于各构件的自由度总和减去体系中必要的约束数。当体系的计算自由度大于零时，体系必定是几何可变体系；但当体系的计算自由度小于或等于零时，却不能说明体系是几何不变的。这是因为，有时尽管体系的约束数目足够甚至有多余约束，但由于约束安排得不恰当，使得体系的一部分具有多余约束而另一部分约束不足，则体系仍为几何可变。因此，计算体系的自由度只能作为判定体系几何可变性的条件之一。4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则1.两刚片规则两刚片规则 两刚片用一个铰和一根不通过该铰链
11、中心的链杆联结，或用不全交于一点也不全平行的三根链杆联结，这样组成的体系是几何不变的，并且没有多余约束，这就是两刚片规则。4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则1.两刚片规则两刚片规则 如图4-10（a）所示，若刚片和用一个铰A和一根不通过该铰链中心的链杆CB联结，这样组成的体系是几何不变的，且无多余联系。而在图4-10（b）中，刚片和用三个不交于一点的链杆联结，链杆AD和BC延长线交于 O点，O为一虚铰，则两刚片相当于用一个铰O和一根不通过该铰链中心的链杆EF联结，体系几何不变。4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则1.两刚片规则两刚片规则
12、4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则2.三刚片规则三刚片规则 三刚片用不共线的三个铰两两相连，或分别用不完全平行也不共线的两根链杆两两相连，这样组成的体系是几何不变体系，且没有多余约束，这就是三刚片规则。4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则2.三刚片规则三刚片规则 如图4-11（a）所示，刚片,用不在同一直线上的A，B，C三个铰两两相连，这样组成的体系是几何不变的。而在图4-11（b）中，由于两根链杆的作用相当于一个单铰，故可将任一单铰改为两根链杆所构成的虚铰，只要三个铰（实铰或虚铰）不在同一直线上，组成这样的体系也是几何不变的。4.34
13、.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则2.三刚片规则三刚片规则4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则3.二元体规则二元体规则 用两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的装置即为二元体。如图4-12所示，刚片原有三个自由度，增加一个点A将增加两个自由度，而这两个自由度恰好为新增加的两根不共线的链杆约束所减去。因此，在一个平面体系上增加（或拆除）若干个二元体，不会改变原体系的几何组成性质，这一规则为二元体规则。4.34.3几何几何不变不变体系体系的基的基本组本组成规成规则则3.二元体规则二元体规则4.44.4瞬瞬 变变 体体 系系 用4.3节中的规则分析
14、体系的组成时，曾提出了一些限制条件，如要求联结两刚片的三根链杆不交于一点且不完全平行，联结三刚片的三个铰不在一条直线上，二元体结构中的两根杆不共线等。当体系的组成不满足这些限制条件时，体系将发生如下变化。4.44.4瞬瞬 变变 体体 系系 如图4-13（a）所示，两刚片用交于一点O的三根杆相连，此时两刚片可以绕O点做相对转动，体系是几何可变的。一个几何可变体系发生微小位移后若能成为几何不变体系，则称为瞬变体系。如图4-13（b）所示，刚片和之间由三根不等长但相互平行的链杆1,2,3相联结，两刚片可以发生相对移动，体系在这一瞬间是几何可变的，但经微小水平位移后，三根杆不再互相平行，体系就成为几何
15、不变的，即瞬变体系。但如果互相平行的三根杆等长，两刚片发生相对移动后，三杆仍然平行，体系仍为几何可变的。4.44.4瞬瞬 变变 体体 系系 图4-13（c）表示由位于同一直线上的三铰A,B,C相联结的三个刚片,。设刚片固定不动，则刚片和做相对运动时，应分别绕B点及C点转动，此时A点将沿在以BA和AC为半径的两个圆弧的公共切线上做微小的移动。但在发生一微小运动后，三个铰就不再位于同一直线上，公切线也不再存在，体系即成为几何不变体系，因此该体系也是一个瞬变体系。4.44.4瞬瞬 变变 体体 系系4.44.4瞬瞬 变变 体体 系系 瞬变体系不能作为结构，不仅如此，对于接近于瞬变体系的几何构造在实际结
16、构布置时也不容许出现，这在设计中必须注意。如图4-14所示，根据结点C的平衡条件，杆件的内力FN=F/2sin，当很小时，FN将很大；当趋近零时，内力FN将趋近于无穷大。因此，瞬变体系是不能承担荷载的体系，不能作为结构。4.54.5几何几何组成组成分析分析的示的示例例 【例4-1】、【例4-2】、【例4-3】、【例4-4】、【例4-5】和【例4-6】的详细问题和解答过程请参照课本相关内容。4.54.5几何几何组成组成分析分析的示的示例例 通过示例分析，可以不断总结出几何组成分析规律，有的体系只有一种组成方式，有的体系有几种组成方式，在进行几何组成分析时，必须根据三个基本规则灵活运用。注注 意意
17、4.64.6几何几何组成组成与静与静定性定性的关的关系系 在静力学部分所研究的问题中，用平衡方程就能把所有的未知量全部求解出来，这类问题称为静定问题，对应的结构称为静定结构。而工程实际中，为了提高构件的承载能力或满足构件使用要求，对构件或结构增加支承约束，故使约束反力数目超过静力平衡方程的数目，这类问题称为静不定问题，亦称超静定问题，对应的结构称为静不定结构或超静定结构。那些超过维持平衡所必需的约束，称为多余约束，其对应的支反力称为多余反力。4.64.6几何几何组成组成与静与静定性定性的关的关系系 图4-21（a）所示的简支梁是无多余联系的几何不变体系，三根支座链杆对梁有三个支座反力。取梁AB
18、为隔离体，可以建立三个相应的平衡方程Fix=0,Fiy=0和M=0以确定三个支座反力，并进一步由截面法确定任一截面上的内力。因此，简支梁是静定的。而图4-21（b）所示的连续梁是有一个多余联系的几何不变体系。四根支座链杆对梁有四个支座反力，但取梁AB为隔离体，仍然只能建立三个相应的平衡方程。不能求出全部约束反力，所以连续梁是超静定的。4.64.6几何几何组成组成与静与静定性定性的关的关系系 综上所述，无多余约束的几何不变体系是静定的，或者说静定结构的几何组成特征是几何不变且无多余联系的。有多余约束的几何不变体系是超静定的，或者说超静定结构的几何组成特征是几何不变且有多余联系，有几个多余联系，即几次超静定。2.32.3平面平面力系力系的简的简化化知知 识识 拓拓 展展 平面体系的几何组成分析
