1、3.1 3.1 广义胡克定律广义胡克定律3.2 3.2 各向异性线弹性材料各向异性线弹性材料3.3 3.3 各向同性线弹性材料的弹性常数各向同性线弹性材料的弹性常数3.4 3.4 体积改变定律和形状改变定律体积改变定律和形状改变定律3.5 3.5 线弹性体的应变能函数线弹性体的应变能函数第三章第三章 弹性应力应变关系弹性应力应变关系3.1 广义胡克定律广义胡克定律n应力应变关系属于材料的性能，称为应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程物理方程或或者者本构方程本构方程n复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定n单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过单向拉
2、伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定试验确定xyxxyxE xxxExxE或或（1）单向应力状态单向应力状态的应力应变关系的应力应变关系:泊松比，由试验确定。泊松比，由试验确定。MnGG或G:2(1)EG（2）纯剪应力状态纯剪应力状态的应力应变关系的应力应变关系剪切弹性模量剪切弹性模量a(1)xxxa(1)x2aa1122()421122tgtgtgxxxx1a(1)(1)2()142(1+)a(1+)2tgxx1(1)2(1+)12x(1)(1)xGE2x(1)2xxGE112GEE与与G之间的关系之间的关系1()1()yxxxyyxyyxEEEEEE（3）双向应力状态双向应力状态的应力应变
3、关系的应力应变关系22()1()1xxyyyyxExyxxxyyy1()1()yxxxyyxyyxxyxyEEEEEEG22()1()1xxyyyyxx yx yEG （4）平面应力状态平面应力状态的应力应变关系的应力应变关系yxxyyx1()yxzxxyzEEEE（5）三向应力状态三向应力状态的应力应变关系的应力应变关系1()1()yxzyyxzyzxzzxyEEEEEEEE xyxyyzyzzxzxGGG2(1)EG 引入：引入：xyz 1(11(1)(xxxyzxEE 1()xxyzE 同理同理1(1)yyE 1()yyzxE 1(1)zzE 1()zzxyE 1(1)1(1)1(1)x
4、yxxxyyzyyyzzxzzzxEGEGEG 三向应力状态的应力应变关系三向应力状态的应力应变关系xyz 称为称为体积应力体积应力。从正应力应变关系中可得到从正应力应变关系中可得到:(1)(1)(1)xxyyzzEEE ()1()1212(112)1xxyyzzxyzEEEGGEEEG 由上式则有应力表达式由上式则有应力表达式:xyxyyzyzzxzxGGG从而有从而有体积应力体积应力与与体积应变体积应变之间的关系之间的关系31212EEK 令令K为材料常数为材料常数，：为体积应变。：为体积应变。xyz另一方面由另一方面由(1)(1)(1)xxyyzzEEE (1)-3(12)E则则3K 式
5、中式中 称为称为Lame 常数。常数。31112(1)(12)EEK将将 代入应力表达式有代入应力表达式有3K 223211223211223211222xxxxyxyyyyyzyzzzzzxzxxyzGGKGGGKGGGKGGGG整理最终的应力应变关系是整理最终的应力应变关系是222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGGxyz2ijijijG 由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达：由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达：(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxxyzxyyzzxyyxyzxyyzzxzzxyzxyyzzxyzyzxyzxyyzzxzxzxxyz
6、xyyzzxxyxyxyzxyyzzx 对于弹性体一点的应力取决于该点的应变大小，即对于弹性体一点的应力取决于该点的应变大小，即应力与应变之间存在函数关系。应力与应变之间存在函数关系。3.2 各向异性线弹性材料各向异性线弹性材料 线弹性应力应变关系为线性关系：线弹性应力应变关系为线性关系：1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxccccccccccccccccccccccccccccc56616263646566xyxy
7、xyzyzzxxyccccccc 式中式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的是取决于材料性质的常数常数，共，共36个。个。3.2 各向异性各向异性线弹性材料线弹性材料111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566xxyyzzyzyzzxzxxyxycccccccccccccccccccccccccccccccccccc D D:弹性矩阵弹性矩阵线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达ijijklklC应力应变关系使用张量形式表示有应力应变关系使用张量形式表示有:
8、式中式中 称为称为弹性张量弹性张量,为四阶常张量为四阶常张量,共有共有81个分量。个分量。ijklC根据应力、应变张量的对称性，根据应力、应变张量的对称性，关于指标关于指标 i和和 j 对称，对称，关于指标关于指标 k 和和 l 也对称，即也对称，即ijklCklklijjikllkijijCCCC故故独立的弹性常数也是独立的弹性常数也是36个个。可以证明可以证明 关于关于i j与与k l也是对称的，故也是对称的，故一一般各向异性弹性材料独立的弹性常数是般各向异性弹性材料独立的弹性常数是21个。个。ijklC C C:弹性张量矩阵弹性张量矩阵线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达线弹性材料的应力应
9、变关系的矩阵表达111111221133111211231131221122222233221222232231331133223333331233233331121112221233121212231231231123222333231223232331311131223xyzyzzxxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC133311231233131xyzyzzxxyCCC1111112211331112112311312211222222332212222322313311332233333312332333311211122212331212122312
10、31231123222333231223232331311131223133311231233131CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566cccccccccccccccccccccccccccccccccccc弹性矩阵与弹性张量矩阵的关系：弹性矩阵与弹性张量矩阵的关系：取取 11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6两个矩阵均为对称矩阵两个矩阵均为对称矩阵。各向异性线弹性材料的特殊情况：各向异性线弹性材
11、料的特殊情况：（1）具有具有一个弹性对称面一个弹性对称面的材料的材料x zyo对称面对称面w-wABx zyo对称面对称面z-zAB当坐标系由当坐标系由x,y,z变变为为x,y,-z时，时，材料的弹性关系保持不变材料的弹性关系保持不变。应变分量应变分量 xz,yz变为变为-xz,-yz,应力分量应力分量xz,yz变为变为-xz,-yz。因弹性关系不变，这要求反号应变前的系数为零。因弹性关系不变，这要求反号应变前的系数为零。（1）具有具有一个弹性对称面一个弹性对称面的材料的材料x zyo对称面对称面w-wABx zyo对称面对称面z-zABAxzAyzuwzxvwzy()()()()BxzByz
12、uwzxvwzy ABxzxzAByzyz ABxzxzAByzyz 根据应力应变关系有：根据应力应变关系有：按上面的分析有：按上面的分析有：1112131621222326313233364142434445515141524253432554554356xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzccccccccccccccccccccccccccccc61626566465366zxxyxyxyzyzzxxyccccccc1415242534350cccccc4151425243530cccccc11121316212223263132
13、33364142434445515251415242534354354556xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxccccccccccccccccccccccccccccc61626566466536xyxyxyzyzzxxyccccccc与原线弹性关系比较有：与原线弹性关系比较有：46560cc64650cc1112131622232633213132536444616263455566xxyzxyyxyzxyzxyzxyyzyzzxzxyzzxxyxyzxycccccccccccccccccccc具有一个弹性对称面的材料的应力应
14、变关系具有一个弹性对称面的材料的应力应变关系 弹性常数共有弹性常数共有13个个。如正长石便具有这种类。如正长石便具有这种类型的对称性。型的对称性。（2）具有三个弹性对称面的材料具有三个弹性对称面的材料213111121322233344556632xxyzyxyzzxyzyzyzzxzxxyxycccccccccccc162636450cccc 弹性常数共有弹性常数共有9个个。具有这种对称性的材料成。具有这种对称性的材料成为为正交各向异性正交各向异性材料。材料。（3）横观各向同性材料横观各向同性材料211111112133331344111424()()xxyzyxyzzxyzyzyzzxzx
15、xyxycccccccccccc112213235566,cccccc 将坐标系绕将坐标系绕z轴转轴转45，因剪，因剪应力关系不变有：应力关系不变有：661112cccyz各向同性平面各向同性平面弹性对称轴弹性对称轴x 弹性常数共有弹性常数共有5个个。具有此类性质的材料如冷轧板。具有此类性质的材料如冷轧板。3.3 各向同性线弹性材料的弹性常数各向同性线弹性材料的弹性常数 物理意义：物体各个方向上的弹性性质完物理意义：物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。全相同，即物理性质的完全对称。数学反映：应力和应变关系在所有方位不数学反映：应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。同
16、的坐标系中都一样。金属材料：各向同性弹性体，是最常见的金属材料：各向同性弹性体，是最常见的工程材料。工程材料。（1 1）各向同性弹性材料本构方程）各向同性弹性材料本构方程n各向同性材料沿各向同性材料沿 x，y 和和 z 座标轴的的弹性性质相同；座标轴的的弹性性质相同；n弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。111213122222312331443553663000000000000000000000000ccccccccccccDcccccc1122331,cccc1213232,cccc4455663cccc333()31212yzyzzxzxxyxy
17、CCCccc122121333000000000000 xxyyzzyzyzzxzxxyxyccccccccc实际独立弹性常数为c1，c2。12122122122()()()()xxyzxyyzzccccccccccc比较比较(3)(4)(3)(4)式有式有 221232()()cos sin2(cossin)xyxyxyCCCc 222()cos sin(cossin)xyxyxyc 32x yxyC 22332()cos sin2(cossin)xyxyxyCC(1)(2)()31212CCC由各向同性要求由各向同性要求,绕绕z坐标轴旋转时上式仍成立坐标轴旋转时上式仍成立,则则 222()
18、cos sin(cossin)xyxyx yc在在(1)(1)式中用应变表示应力有式中用应变表示应力有yzx将将 代入右式有：代入右式有：x y(3)(4)令3CG2C12CG222xxyyzzyzyzzxzxxyxyGGGGGG结论：结论：各向同性材料，独立弹性常数为各向同性材料，独立弹性常数为2 2个个。222222xxyyzzyzyzzxzxxyxyGGGGGG2ijijijG（2）各向同性线弹性材料的弹性常数各向同性线弹性材料的弹性常数式中式中 称为称为Lame 常数。常数。31112(1)(12)EEK实际独立弹性常数为实际独立弹性常数为2 2个。个。21EGE：为弹性模量为弹性模量
19、G:为剪切弹性模量为剪切弹性模量3K 312EKK：为材料常数为材料常数，：为体积应变为体积应变，xyz23KG所有的剪应力分量均为零；所有的剪应力分量均为零；对应的剪应变分量也为零。对应的剪应变分量也为零。因此，对于各向同性弹性体：因此，对于各向同性弹性体：应力主轴同时又是应变主轴，即：应力主轴同时又是应变主轴，即：应力主方向和应变主方向是重合的应力主方向和应变主方向是重合的。对于各向同性材料的对于各向同性材料的主应力状态主应力状态：3.4体积改变定律和形状改变定律体积改变定律和形状改变定律(1)(1)体积改变定律：体积改变定律：33mmKK 或式中式中12312333mm2ijijSGei
20、jijmijijijmijSe 式中：式中：3.4体积改变定律和形状改变定律体积改变定律和形状改变定律证明如下：证明如下：2ijijijG2ijmijijijijGK 23KG 2()(3)23mmKGG 222()ijmijijmijijmijGGG 2ijijSGe3.5 线弹性体的应变能函数线弹性体的应变能函数(1)(1)一维应变能函数一维应变能函数xxoWdw=xxdxdxxxx002wdw=1122xxxxxxxdEdE w=xxw=xxyyzzxyxyyzyzzxzxijijdddddddd 00w()=wijijijijijdd3.5 线弹性体的应变能函数线弹性体的应变能函数xy
21、zxyxzzxzyyzyxw:单位体积的应变能单位体积的应变能对于线弹性材料应变能只取决于应变状态，这样有对于线弹性材料应变能只取决于应变状态，这样有:w=w()ij，积分与路径无关。，积分与路径无关。w()dw=ijijijd3.5 线弹性体的应变能函数线弹性体的应变能函数xyzxyxzzxzyyzyxwijijw=ijijddwdw=ijijd因因ijijklklC=抖ijklklijssee22ijijklklWWeeee抖=抖抖故故3.5 线弹性体的应变能函数线弹性体的应变能函数xyzxyxzzxzyyzyx=抖ijklijklklijklijCCsseeijijklklC即即ijk
22、lk lijCC=所以所以 是对称的张量。是对称的张量。ijklC()ijijijijWdeese=单位体积的应变能函数：单位体积的应变能函数：()1D D 2ijijTijTTTWddeeeseeeee=D,DDT()121()2TijxxyyzzyzyzzxzxxyxyW +ese=DDTTTT (,)(,)TxyzxyyzzxTxyzxyyzzxsssseeee=2222221(2)()()2()2xyzxyyzxzxyyzxzWGGG 用应变表示的应变能函数用应变表示的应变能函数 1()2xxyyzzxyxyyzyzxzxzW 单位体积应变能函数：单位体积应变能函数：22222212()22(1)()xyzxyyzxzxyyzxzWE 用应力表示的应变能函数用应力表示的应变能函数 泊松比泊松比 恒小于恒小于1 1，所以，所以W 恒大于零。恒大于零。单位体积的应变能总是正的。单位体积的应变能总是正的。
