1、 2常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 1n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程 齐次方程齐次方程 1110Lnnnnnd ydypp ydxdx(2)非齐次方程非齐次方程 111()Lnnnnnd ydypp yf xdxdx(1)微分算子微分算子 2212,nnnndddDDDDDdxdxdxL111()LnnnnP DDp DpDp方程的算子表示方程的算子表示()()P D yf x()0P D y3常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 线性算子线性算子1122()()()()P DyyP D yP D y2解的结构解的结构 方程（方程（1）
2、的通解为：）的通解为：，其中，其中是（是（2）的通解，）的通解，是（是（1）的特解。）的特解。()*()yy xyx()y x*()yx*()()()1,2,L LjjyxP D yfxjm设设是是的的特特解解,则则*()*()()()mmjjjjyxyxP D yfx是是的的特特解解。*1212()()()()()yxiyxP D yf xifx是是的的特特解解的的充充分分必必要要*()()()1,2.jjyxP D yfxj条条件件是是：是是的的特特解解,4常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 3类比对象的确定类比对象的确定特殊情况特殊情况(),(),*()yf xyf
3、 x dxC yf x dx 其其通通解解类似于原函数的概念，定义算子：类似于原函数的概念，定义算子：1()P D1()()()()f xP Df xP D表表示示这这样样函函数数：用用作作用用它它的的结结果果是是，即即1()()()()()()()F xP D F xf xf xF xP D若若函函数数使使得得，则则11()(),()()()nnf xf x dxf xf x dxDD L1()()()()DP Df x dxf xP D将将 与与类类比比，将将与与类类比比5常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 4思维方法思维方法求求导导公公式式积积分分公公式式计算原函数
4、计算原函数导数导数的性的性质及质及求导求导法则法则原函原函数的数的性质性质及积及积分法分法运运算算公公式式的性的性质及质及运算运算法则法则1()P D的性的性质及质及运算运算法则法则()P D运运算算公公式式计计算算特特解解6常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 5n阶导数阶导数的基本性质、运算法则及求导公式的基本性质、运算法则及求导公式1212(1)()()()()nnnDf xfxD f xD fx(2)()()nn kkD f xDD f x0(3)()()()()nnmmn mnmD u x v xCD u xDv x(4)()()u ax bnnnxuu ax b
5、D f ax ba D f u7常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 6算子算子 的基本性质及运算法则的基本性质及运算法则()P D1212(1)()()()()()()()P Df xfxP D f xP D fx1212(2)()()()()()()()P Dp Df xP D f xp D f x121221(3)()()(),()()()()()()()()P DP D P DP D f xP D P D f xP D P D f x则则000(4)()()()()()nnkkmmk mn kn kkkkmpDu x v xpCD u xDv x(5)()()()(
6、)xuu ax bP Df axbP aDf u8常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 7n阶导数阶导数的求导公式的求导公式(1)nxxD ee2(2)sinsin(),sin(1)sin2 nmmnDxxDxx2(3)coscos(),cos(1)cos2 nmmnDxxDxx(4)(1)(1)LnnD xnx 1(1)(1)!(5)ln(1)(1)nnnnDxx9常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 8算子算子 的运算公式的运算公式()P D(1)()()xxP D eeP22(2)()sinsin()P DxxP22(3)()coscos()P D
7、xxP(4)()()()()xxP D ev xePD v x10常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 9算子算子 的的基本性质及运算法则基本性质及运算法则1()PD1212111(1)()()()()()()()f xfxf xfxP DP DP D121221(2)()()(),11111 ()()()()()()()()P DP D P Df xf xf xP DP DP DP DP D则则11常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 10算子算子 的的运算公式运算公式1()PD1(1)()0)()()xxeePP DP2221sin(2)sin()0
8、)()()xxPP DP2221cos(3)cos()0)()()xxPP DP12常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 10算子算子 的的运算公式运算公式1()PD11(4)()()()()xxev xev xP DPD01 (),(0)0,1 ()()(),()()()11Lkkknkkkkfxbb xb xPpfxQD fxQDP DP DDk(5)(5)设设则则其其中中是是按按 升升幂幂排排列列后后去去除除 在在第第步步所所得得的的商商。13常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 11特解的算子解法及例题特解的算子解法及例题 ()()kf xfx1
9、()(0)0,*()()(),()kkkaPyfxQD fxP D当当时时()(0)0,()(),(0)0,1111 *()()()()()()rkkkkrrbPP DD P DPyfxfxQD fxP DDDP D当当时时设设其其中中则则解法解法14常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 11特解的算子解法及例题特解的算子解法及例题22 ()11DD yx例例求求的的特特解解。22222232111 *1(1)11 (1)(1)1 (23)1 33yxxD DDDDDxDxxDxxx解解（）=15常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 11特解的算子解法及
10、例题特解的算子解法及例题 ()()xkf xefx2 (21)xDDyxe2 2 求求例例的的特特解解。11*()()()()xxkkyefxefxP DPD解法解法23221 *(21)11(12113!xxxxyxeDDxexexeDDD（）（）解解16常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 11特解的算子解法及例题特解的算子解法及例题 ()()cos()()sinxxkkf xfx exf xfx ex或或解法解法()()()ixkP D yefx考考虑虑方方程程特特解解的的实实、虚虚部部2 (25)sin2xDDyxex求求例例3 3的的特特解解。2(1 2)(25)i xDDyex解解 考考虑虑的的特特解解(1 2)21*(25)i xyexDD17(1 2)22(1 2)221(12)2(12)5()816(sin2cos2)(cos2sin2)816816 i xi xxexDiDixxeixxxxexxixx21*(cos2sin2)816xxxyexx常系数线性微分方程的算子解法常系数线性微分方程的算子解法 11特解的算子解法及例题特解的算子解法及例题
