1、第十一章 无穷级数常数项级数第一节正项级数及其审敛法第二节交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛第三节幂级数第四节第十一章 无穷级数幂级数的应用第六节周期函数的傅里叶级数第七节非周期函数的傅里叶级数第八节函数展开成幂级数第五节常数项级数常数项级数第 一节第一节 常数项级数人们认识事物在数量方面的特性，往往是一个由近似到精确的过程,在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题.例如，约在公元前300年，中国古代经典著作庄子天下篇中提出过如下命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果用数学方式来表示此命题，可以写作此式说明常数1可以用来表示，即无穷多项的连加.第一节 常数项级
2、数又如，计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：作圆的内接正六边形，算出这个六边形的面积a1，它是圆面积A的一个粗糙的近似值.为了比较准确地计算出A的值，我们在这个六边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和a2.那么a1+a2(即内接正十二边形的面积)就是A的一个较好的近似值.同样的，在这个正十二边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二等腰三角形的面积之和a3.那么a1+a2+a3(即内接正二十四边形的面积)是A的一个更好的近似值.如此继续下去，内接正32n边形的面积就逐步逼近圆的面积：第一节 常数项级数Aa1，Aa1+a2，Aa1+a
3、2+a3，Aa1+a2+a3+an.如果内接正多边形的边数无限增多，则n无限增大，a1+a2+a3+an的极限就是所求的圆面积A.这时和式中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子.一般地，我们给出如下定义.第一节 常数项级数定理定理1 1设有序列u1，u2，u3，un，则称u1+u2+u3+un+为无穷级数，简称级数，记为 ，即其中第n项un称为级数的一般项.我们称un是常数的级数为常数项级数.第一节 常数项级数【例例1 1】【例例2 2】第一节 常数项级数【例例3 3】是一个通项为1np的常数项级数，称它为p级数.调和级数、等比级数和p级数是以后经常用到的级数，请注意识记.
4、级数是无穷多项和的形式.怎样理解无限项相加得到的和呢？结合以上计算圆面积的例子，可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，从而便可理解无穷多项相加的含义.先看级数前n项的和 Sn=u1+u2+u3+un，第一节 常数项级数称Sn为级数 的前n项和.当n依次取1,2,3,时，就得到一个数列 S1,S2,S3,Sn,，数列Sn就称为级数 的部分和数列.第一节 常数项级数定义定义2 2如果级数 的部分和数列Sn有极限，即则称级数 收敛，S称为该级数的和，记作第一节 常数项级数如果级数 的部分和数列Sn极限不存在，则称该级数是发散的.当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值.它们的差SSn=rn称
5、为级数的余项，且余项rn=SSn=un+1+un+2+.用级数的部分和Sn作为级数和S的近似值，其绝对误差就是rn.第一节 常数项级数【例例1 1】第一节 常数项级数第一节 常数项级数性质性质1 1第一节 常数项级数性质性质2 2第一节 常数项级数性质性质3 3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.证只证明“改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性”，其他两种情况容易由此结果推出.设有级数(11-1)(11-2)第一节 常数项级数性质性质4 4在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛，且其和不变.第一节 常数项级数若添加括号所得到的级数收敛，则不能断定去括弧后原来的级
6、数也收敛.例如，级数11+11+是发散的，而级数(11)+(11)+却是收敛的.注注第一节 常数项级数推论推论 若加括号后所成的级数发散，则去括后级数也发散.第一节 常数项级数性质性质5 5第一节 常数项级数推论推论 【例例6 6】第一节 常数项级数【例例7 7】第一节 常数项级数第一节 常数项级数因此，这个加括号的级数前(m+1)项的和大于12(m+1)，即当m时，加括号后的级数的前m项和趋于无穷大，从而这个级数是发散的.根据性质4知，调和级数是发散的.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法第 二 节第二节 正项级数及其审敛法设级数u1+u2+u3+un+的每一项都是非负数，即un0，则称此级
7、数为正项级数.显然，正项级数的部分和数列是单调增加的，即 S1S2S3SnSn+1，由数列收敛的准则可知，如果Sn单调有界，则数列Sn一定收敛，即若SnM，则 且有SM.反之，如果正项级数 收敛于S，即 则Sn一定有界.由上面的讨论可得正项级数判别收敛的基本法则.S第二节 正项级数及其审敛法定理定理1 1正项级数 收敛的充分必要条件是它的部分和数列Sn有界.此定理的意义在于，当判断一个正项级数是否收敛时，可以不求部分和Sn及其极限，只要能够判定Sn是否有界就可以了.定理1是判别正项级数是否收敛的基本法则，有关正项级数的其他审敛法都是以这条定理为基础而建立起来的.但是，无论是由定义还是基本法则来
8、判定正项级数的收敛性，都涉及部分和的计算，这是相当困难的，为此，下面我们在基本法则的基础上，讨论常用的正项级数的审敛方法.首先看一个例题.第二节 正项级数及其审敛法【例例8 8】第二节 正项级数及其审敛法定理定理2 2第二节 正项级数及其审敛法该审敛法条件中的不等式，也可以从某项开始，即unvn(n=N,N+1,).见推论，请读者自己论证.注注第二节 正项级数及其审敛法推论推论 第二节 正项级数及其审敛法【例例9 9】利用比较审敛法，需要和已知的级数相比较，我们已经有等比级数和调和级数，另一个常用的级数是p级数.第二节 正项级数及其审敛法【例例1010】判别p级数第二节 正项级数及其审敛法p级
9、数收敛性结论在以后级数的收敛性判定中经常会用到，请牢记.注注第二节 正项级数及其审敛法【例例1111】判定下列级数的敛散性.第二节 正项级数及其审敛法利用比较审敛法，常要在讨论不等式上花费很大精力，同时要对所讨论的级数有个大致的估计，才能证明是收敛或是发散.因为我们都是在一般项趋近于零的前提下讨论敛散性，因此我们自然会想，可否通过比较一般项的无穷小的阶来判断其收敛性呢？下面给出比较审敛法的极限形式.第二节 正项级数及其审敛法定理定理3 3第二节 正项级数及其审敛法第二节 正项级数及其审敛法第二节 正项级数及其审敛法【例例1212】第二节 正项级数及其审敛法定理定理4 4第二节 正项级数及其审敛
10、法(11-3)第二节 正项级数及其审敛法(2)当1时，取使得=q1，于是当nN时，第二节 正项级数及其审敛法第二节 正项级数及其审敛法【例例1414】第二节 正项级数及其审敛法【例例1515】第二节 正项级数及其审敛法【例例1616】第二节 正项级数及其审敛法定理定理5 5第二节 正项级数及其审敛法【例例1717】第二节 正项级数及其审敛法【例例1818】第二节 正项级数及其审敛法【例例1919】第二节 正项级数及其审敛法定理定理6 6第二节 正项级数及其审敛法【例例2020】第二节 正项级数及其审敛法【例例2121】交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛第
11、 三 节第三节 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 第二节我们讨论了正项级数的审敛法，那么，对任意项级数我们又该如何来审敛呢？这一节我们首先讨论一种特殊的任意项级数交错级数的审敛问题.一、交错级数及其审敛法设级数u1,u2,u3,un,的每一项都是正数，则称级数 u1u2+u3u4+(1)n1un+或 u1+u2u3+u4+(1)nun+为交错级数.例如，级数 都是交错级数.对于交错级数，我们有下面的莱布尼兹(Leibniz)定理.一、交错级数及其审敛法定理定理7 7一、交错级数及其审敛法证我们就n是奇数或偶数分别考察Sn.设n为偶数，此时Sn=S2m=u1u2+u3u4+u2m1u2m=
12、(u1u2)+(u3u4)+(u2m1u2m).由已知条件(1)可知，S2m的每个括号内的值都大于等于0，因而S2S4S2m.又可将S2m改写成S2m=u1(u2u3)(u2m2u2m1)u2m一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法上式仍是交错级数，也满足定理7的两个条件，所以级数也收敛，且其和|rn|un+1.我们称满足定理1两个条件的交错级数为莱布尼兹型交错级数.例如，级数由于un=1n是单调减小的，且limnun=0，所以该交错级数收敛且为莱布尼兹型交错级数.而级数(1)+2+(3)+4+(5)+(1)nn+虽是交错级数，但却不是莱布尼兹型交错级数.一、交错级数及其审敛法【例例22
13、22】一、交错级数及其审敛法【例例2323】二、绝对收敛与条件收敛前面我们已经讨论了正项级数、交错级数收敛性的判别方法，那么，对于其他的级数又如何来判别呢？下面给出任意项级数的概念.设有级数其中un(n=1,2,)为任意实数，这样的级数称为任意项级数.为了判定任意项级数的收敛性，通常先考察其各项的绝对值所组成的正项级数二、绝对收敛与条件收敛定理定理8 8二、绝对收敛与条件收敛定义定义3 3二、绝对收敛与条件收敛【例例2424】二、绝对收敛与条件收敛定义定义4 4二、绝对收敛与条件收敛【例例2525】二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛若是交错级数首选用莱布尼兹定理
14、.注注二、绝对收敛与条件收敛【例例2626】幂级数幂级数第 四 节一、函数项级数定义定义5 5如果给定一个定义在区间I上的函数序列u1(x),u2(x),，un(x),，那么由此函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数.对于每一个确定的值x0I，函数项级数n=1un(x)成为常数项级数，即如果级数 (x0)收敛，那么称点x0是函数项级数 (x)的收敛点.所有收敛点的全体称为它的收敛域；如果级数 (x0)发散，那么称点x0是函数项级数 (x)的发散点,所有发散点的全体称为它的发散域.一、函数项级数对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数都成为一个收敛的常数项级数
15、，因而有一个确定的和s.这样，在收敛域上，函数项级数的和s可以看成是x的函数s(x)，称此函数为函数项级数的和函数，这个和函数的定义域就是级数 (x)的收敛域，并写成s(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)+函数项级数的前n项和，称为函数项级数的部分和，记作sn(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)则在收敛域上有limnsn(x)=s(x),且称rn(x)=s(x)-sn(x)为函数项级数的余项，于是有limnrn(x)=0.二、幂级数的定义【例例2727】二、幂级数的定义定理定理9 9二、幂级数的定义给出的幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)又有发散点.如果从原点沿着数轴向右走，最
16、初只遇到收敛点，然后只遇到发散点，这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点.从原点沿着数轴向左方走情形也是如此.由定理9可以证明左右分界点到原点的距离是一样的，如图11-1所示.在图11-1中，R(R0)是分界点.图 11-1二、幂级数的定义推论推论 如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当|x|R时,幂级数发散;当x=R 与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散正数R通常称为幂级数的收敛半径，(-R，R)称为幂级数的收敛区间再由幂级数在x=R 与x=-R处的收敛性就可以决定它的收敛域是(-R，R)，-R，R)，(-R，R
17、，-R，R这四个区间之一.二、幂级数的定义规定：(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0，收敛区间x=0;(2)幂级数对一切x都收敛,R=，收敛区间为(-，)如何求幂级数的收敛半径?我们有下面定理：二、幂级数的定义定理定理1010二、幂级数的定义二、幂级数的定义二、幂级数的定义【例例2828】二、幂级数的定义二、幂级数的定义【例例2929】三、幂级数的运算性质性质1 1三、幂级数的运算性质性质2 2 幂级数 的和函数s(x)在收敛区间(-R，R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续三、幂级数的运算性质性质3 3三、幂级数的运算性质性质4 4幂级数 的和函数s(x)在收敛区间(-R，R)内可导,并可
18、逐项求导任意次.即逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.三、幂级数的运算【例例3030】三、幂级数的运算【例例3131】三、幂级数的运算【例例3232】函数展开成幂级数函数展开成幂级数第 五节第五节 函数展开成幂级数我们已经讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质.但是在许多应用中，我们经常会遇到一类相反的问题，即已知函数f(x)，要考虑它是否能在某个区间内展开成幂级数，也就是说，是否能找到这样的一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是所给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数，我们说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数，或者简单地说，函数f(x)能展开成幂级数，而该级数在其收
19、敛区间内表示函数f(x).我们先看n阶泰勒公式.若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶导数，则在该邻域内函数f(x)的n阶泰勒公式为第五节 函数展开成幂级数来近似表示，并且其误差等于余项的绝对值Rn(x).显然，如果Rn(x)随着n的增大而减小，那么，我们就可以用增加多项式项数的办法来提高精度.如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x0),f(x0),f(n)(x0),，这时我们可以设想多项式Pn(x)的项数趋向无穷而成为幂级数这个幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.第五节 函数展开成幂级数(1)函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数；(2)当n时，余项Rn(x)0
20、(在x0的邻域内).第一个条件保证我们能作出以f(n)(x0)n!为系数的幂级数，第二个条件是保证这个级数在x0的邻域内收敛于f(x)，所以这两个条件是缺一不可的.现在存在这样一个问题.若函数f(x)能够表示为x的幂级数f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn+它与f(x)的麦克劳林级数是否一致？下面我们将证明，若函数f(x)能展开为x的幂级数，则它的展开式是唯一的，且这个唯一的展开式就是f(x)的麦克劳林级数.第五节 函数展开成幂级数事实上，若函数f(x)可以展开成x的幂级数第五节 函数展开成幂级数第三章中我们已给出了几个常用的初等函数的麦克劳林公式，在此不再赘述.根据上面的讨论
21、，把函数f(x)展开成x的幂级数，可按下列步骤进行：(1)求出函数f(x)的各阶导数f(x),f(x),f(n)(x),，且以x=0代入，得到f(0),f(0),f(n)(0),.如果发现某阶导数不存在，则该函数不能展开为x的幂级数；(2)写出幂级数第五节 函数展开成幂级数第五节 函数展开成幂级数【例例3333】第五节 函数展开成幂级数【例例3434】第五节 函数展开成幂级数以上两例是直接利用公式，将给定的函数展开为幂级数.这种方法称为直接展开法.用直接展开法把函数展开成幂级数，一方面需要计算高阶导数，另一方面要讨论余项Rn(x)是否趋于零.一般来说，这两方面做起来是不容易的.因此，我们常以一
22、些函数的已知展开式为基础，利用幂级数的一些性质，将函数展开为幂级数，从而避免了高阶导数的计算和余项的讨论.这种方法称为间接展开法.由于函数的幂级数展开式具有唯一性，同一函数用直接展开法或用间接法求出的幂级数是一样的.第五节 函数展开成幂级数【例例3535】第五节 函数展开成幂级数【例例3636】第五节 函数展开成幂级数【例例3737】第五节 函数展开成幂级数【例例3838】第五节 函数展开成幂级数【例例3939】第五节 函数展开成幂级数【例例4040】第五节 函数展开成幂级数【例例4141】第五节 函数展开成幂级数【例例4242】第五节 函数展开成幂级数【例例4343】第五节 函数展开成幂级数
23、幂级数的应用幂级数的应用第 六 节一、欧拉公式之前我们讨论过级数当x为任何实数时，级数的和函数为ex，即收敛域为x+.那么当x为复数时，情况如何呢？考察下列级数其中z=x+yi，x,y为实数，i=1.一、欧拉公式一、欧拉公式因此有eyi=cos y+isin y，这就是欧拉(Euler)公式.同理可得eyi=cosyisin y.将两式分别相加，相减可推出这两个公式也称为欧拉公式.二、幂级数展开式在近似计算上的应用如果函数f(x)有展开式则在区间(x0-R,x0+R)上，有f(x)Pn(x)=a0+a1(xx0)+an(xxo)n.求得多项式Pn(x)的函数值，即为f(x)函数值的近似值.我们
24、可以采取下列步骤来计算某数A的近似值：二、幂级数展开式在近似计算上的应用(4)根据精确度的要求，适当选定n，按计算A的近似值.这里，A与Pn(t1)相差余项|rn+1|称为用Pn(t1)表示A的截断误差.在计算A的值时，还有因四舍五入而产生的舍入误差.因此，求A的近似值时，应使这两种误差之和满足精确度的要求.二、幂级数展开式在近似计算上的应用【例例4545】二、幂级数展开式在近似计算上的应用【例例4646】周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数第 七 节第七节 周期函数的傅里叶级数前面介绍了函数展开为幂级数的条件及幂级数的应用，从中可看出，幂级数无论在理论上还是实际上都具有重要的作用,但它有
25、两个比较苛刻的条件，一是要求函数具有任意阶导数，二是级数的部分和只在某一点的附近才与函数有较为理想的近似,而实际问题中的函数往往比这条件要弱得多(不可导，不连续)，因此在实际应用中幂级数受到较大的限制.如何找到展开条件较弱且更为简单的函数来代替幂级数？这是摆在当时许多数学家面前的一个难题.直到18世纪中叶，法国数学家傅里叶在研究热传导和扩散问题时，发现了周期函数可用一系列正弦函数Ansin(nt+n)组成的级数来表示,这个表示比幂级数展开的条件要弱得多，且它的部分和在连续点与函数吻合得非常理想.因此,傅里叶级数比幂级数在工程中的应用更加广泛.第七节 周期函数的傅里叶级数一、三角函数系的正交性函
26、数系1,cos x,sin x，cos 2x,sin2x,cos nx,sin nx,(11-5)称为三角函数系.三角函数系(11-5)中任意两个相异函数的乘积在区间,上的积分等于零，即cos nxdx=0(n=1,2,3,),sin nxdx=0(n=1,2,3,),sin kxcos nxdx=0(k,n=1,2,3,),coskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,;kn),sinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,;kn).这个性质为三角函数系的正交性.一、三角函数系的正交性在三角函数系(11-5)中，两个相同函数的乘积在区间,上的积分不等于零，即1dx=2，sin2nxd
27、x=(n=1,2,3,)，cos2nxdx=(n=1,2,3,).二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数首先讨论第一个问题：假定f(x)能展成三角级数(11-4)，如何求出系数an,bn?假定f(x)以2为周期，且能展成逐项可积的三角级数(11-6)二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数这个级数称为余弦级数.二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数一个定义在(-，+)上周期为2的函数f(x)，若它在一个周期上可积，则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.但是，函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数f(x)？一般来说，这两个问题的答案都不是
28、肯定的.再讨论第二个问题：三角级数(11-4)在什么条件下收敛于f(x)？这个问题直到1829年才由狄利克雷完全解决.二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数定理定理1111(收敛定理，狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数.若f(x)满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x).(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数实际上，不论x是函数f(x)的连续点还是间断点，函数f(x)的傅里叶级数均收敛于该点处函数的左、右极限的算术平均
29、值.因为当x是函数f(x)的连续点时，有二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数【例例4747】设f(x)是周期为2的周期函数，它在(,上的表达式为二、以2为周期的函数展开成傅里叶级数【例例4949】设f(x)是周期为2的周期函数，将函数f(x)=x(x)展开成傅里叶级数.三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 上面所讨论的都是以2为周期的函数展开成傅里叶级数的问题，如果函数以2l为周期，又如何展开成傅里叶级数呢？下面的定理回答了这个问题.三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数定理定理1212设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为三、以2l为周期的函数展开成傅里
30、叶级数三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数【例例5151】三、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式在电子技术中，常常使用傅里叶级数的复数形式.设周期为2l的周期函数的傅里叶级数为(11-8)四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数的复数形式【例例5252】设f(x)是周期为2的周期函数，它在1,1)上的表达式为f(x)=ex，试将f(x)展开成复数形式的傅里叶级数.解由公式(11-9)有非周期函数的傅里叶级非周期函数的傅里叶级数数第 八 节第八节 非周期
31、函数的傅里叶级数第七节中所讨论的函数都是定义在(,+)内的周期函数，对于这种函数只要它在一个区间内满足收敛定理的条件，就能将它展开成傅里叶级数.但在波动和热传导问题中，常要将定义在区间a,b上的满足收敛定理条件的非周期函数f(x)展开成傅里叶级数.第七节已介绍了如何将周期函数展开成傅里叶级数，所以要把非周期函数展开，就要对非周期函数进行改造，将非周期函数转化为周期函数，这就是延拓的方法.一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数设f(x)是一个定义在l,l上且满足收敛定理条件的函数,下面来讨论它的傅里叶级数展开的问题.事实上，可在-l,l)或(l,l外补充函数f(x)的定义，使它延拓成周期为
32、2l的周期函数F(x).这种拓广函数定义域的过程称为周期延拓.于是，将F(x)展开成傅里叶级数一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数【例例5353】一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数图图 11-2 11-2一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数【例例5454】一、定义在区间l,l上的函数展开成傅里叶级数二、定义在区间0,l上的函数展开成傅里叶级数设f(x)是一个定义在0,l上且满足收敛定理条件的函数,那么如何将f(x)展开成傅里叶级数呢？事实上，仍可用前面介绍的延拓法，即先在开区间(-
33、l，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(l,l上的函数，再将其延拓为以2l为周期的函数，就可求其傅里叶级数了.在(-l,0)内如何补充定义没有什么限制，但若补充后成为(-l,l)上的奇函数或偶函数，则计算傅里叶级数可以简便一些.因此，下面来讨论展开函数为正弦级数或余弦级数的方法.二、定义在区间0,l上的函数展开成傅里叶级数奇延拓奇延拓函数展开成正弦级数函数展开成正弦级数1.补充f(x)的定义使它在(-l,l)上成为奇函数时，若f(0)0，规定F(0)=0.注注二、定义在区间0,l上的函数展开成傅里叶级数二、定义在区间0,l上的函数展开成傅里叶级数偶延拓偶延拓函数展开成余弦级数函数展开成余弦级数2.三、定义在区间a,b上的函数展开成傅里叶级数三、定义在区间a,b上的函数展开成傅里叶级数【例例5757】将函数fx=10 x(5x15)展开成傅里叶级数.解令t=x10(5x15),则f(x)=f(t+10)=t=F(t)(5t5),补充定义F(5)=5,然后将F(t)作周期延拓(T=10),拓广后的函数满足收敛定理的条件,且展开式在(5,5)内收敛于F(t).于是 an=0(n=0,1,2,),
