1、第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页第七章第七章 无穷级数无穷级数 7.1 7.1 无穷级数的概念无穷级数的概念 7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 7.3 7.3 正项级数正项级数 7.4 7.4 任意项级数任意项级数,绝对收敛绝对收敛 7.5 7.5 幂级数幂级数 7.6 7.6 泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数 7.7 某些初等函数的幂级数展某些初等函数的幂级数展 开式开式 第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念7.1 无穷级数的概念无穷级数的概念 给定一个数列
2、给定一个数列 u1,u2,u3,un,则由这数列构成的表达式则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为1nnu,即 3211 nnnuuuuu,其中第其中第n项项un叫做级数的一般项叫做级数的一般项.叫做无穷级数叫做无穷级数,简称级数简称级数.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页称为级数称为级数,其中第其中第n项项un叫做级数的一般项叫做级数的一般项.表达式表达式 3211 nnnuuuuu,级数举例级数举例:级数的展开形式级数的展开形式备注备注一般项一般项简写形式简写形式 1 3121111 nnn 1 3
3、121111 nnn 1 3121111 nnn调和级数调和级数 20 nnnaqaqaqaaq )1(1 321211)1(11 nnnnn )1(1 321211)1(11 nnnnn等比级数等比级数 20 nnnaqaqaqaaqaqn-1几何级数几何级数 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnnp级数级数 )1(1 321211)1(11 nnnnn第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页级数的部分和级数的部分和:级数的前级数的前n项的和项的和 nniinuuuuus 3211称为级
4、数1nnu的部分和.级数敛散性定义级数敛散性定义:如果级数1nnu的部分和数列ns有极限 s,即 ssnnlim,则称无穷级数1nnu收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成 3211 nnnuuuuus 如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页余项余项:当级数1nnu收敛时,级数的和 s 与部分和 s n的差值 rns-snun1un2 叫做级数1nnu的余项.例例1 证明级数证明级数 1 2 3 n 是发散的是发散的.证 此级数的部分和为此级数的部分和为 2)1(321 nnnsn2)1(321 nnnsn.显然
5、,nnslim,因此所给级数是发散的.,因此所给级数是发散的.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页其和为qa-1.如果如果q 1,则部分和则部分和 解解:qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn-111 12(3)当当q-1时时,因为因为sn当当n为奇数时等于为奇数时等于a；当当n为偶数为偶数qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn-111 12.例例2 1 讨论等比级数nnaq0(a0)的敛散性.当|q|1 时,因为nnslim,所以此时级数,所以此时级数nnaq0发散.所以 sn的极限不存在,从而这时级数sn的极限不存在,从而这时级数nnaq0也发散
6、.时等于零。时等于零。(1)(2)第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解:因为因为)1(1 431321211 nnsn111)111()3121()211(-nnn提示:111)1(1-nnnnun.例例3 3 判别无穷级数1)1(1nnn的收敛性.111)111()3121()211(-nnn,所以1)111(limlim-nsnnn,从而这级数收敛,它的和是 1.1)111(limlim-nsnnn,从而这级数收敛,它的和是 1.仅当|q|1 时,几何级数nnaq1(a0)收敛,其和为qa-1.因此，因此，当当1q 时，时，几何级数几何级数1nnaq
7、发散发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质11 如果sunn1,则kskunn1.这是因为,设1nnu与1nnku的部分和分别为 sn与n,则)(limlim21nnnnkukuku ksskuuuknnnn lim)(lim21ksskuuuknnnn lim)(lim21ksskuuuknnnn lim)(lim21.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质sn、n、tn,则 性质性质11 如果sunn1,则kskunn1
8、.性质性质22 如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.这是因为,如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu 的部分和分别为)()()(limlim2211nnnnnvuvuvu t)()(lim2121nnnvvvuuu ssnnn)(limssnnn)(lim.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页级数 )1(1 541431 nn也是收敛的.级数 )1(1 43132121110000 nn也是收敛的,7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质3 在一个级数的前面在一个级数的前面加上加上、去掉去掉或改变有限项或改变有限项,级数级数的敛散
9、性的敛散性不变不变.比如,级数 )1(1 431321211 nn是收敛的,性质性质11 如果sunn1,则kskunn1.性质性质22 如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质4 如果级数收敛如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛所成的级数仍收敛,且其和不变且其和不变.应注意的问题应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛如果加括号后所成的级数收敛,则不能断则不能断定去括号后原来的级数也收敛定去括号后原来的级数也收敛.
10、例如例如,级数级数(1-1)+(1-1)+收敛收敛,但级数但级数1-1 1-1 却是发散的却是发散的.性质性质11 如果sunn1,则kskunn1.性质性质22 如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.性质性质3 在一个级数的前面在一个级数的前面加上加上、去掉去掉或改变有限项或改变有限项,级数级数的敛散性的敛散性不变不变.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页7.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质推论推论 如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散则原来级数也发散.性质性质11 如果sunn1,则kskunn1.性质
11、性质22 如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.性质性质4 如果级数收敛如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛成的级数仍收敛,且其和不变且其和不变.性质性质3 在一个级数的前面在一个级数的前面加上加上、去掉去掉或改变有限项或改变有限项,级数级数的敛散性的敛散性不变不变.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证证:注意注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛不能因为一般项趋于零就
12、断定级数收敛.（2 2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.设级数1nnu的部分和为 sn,且ssnnlim,则 0limlim)(limlim110-ssssssunnnnnnnnn0limlim)(limlim110-ssssssunnnnnnnnn.推论推论:如果如果lim0,nnu则级数则级数必发散必发散.1nnu 性质性质5 如果如果收敛收敛,1nnu1limlim()nnnnnuss-lim0.nnu则则第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页故0)(lim2-nnnss,矛盾.这矛盾说明级数
13、显然有ssnnlim及ssnn2lim.于是 证 假若级数nn11收敛且其和为 s,sn是它的部分和.证证:但另一方面但另一方面,2121 212121 21112 -nnnnnnssnn2121 212121 21112 -nnnnnnssnn2121 212121 21112 -nnnnnnssnn2121 212121 21112 -nnnnnnssnn,收敛且其和为 s,sn是它的部分和.于是0)(lim2-nnnss.,矛盾.这矛盾说明级数11nn必定发散.解解:因为因为1sin1limlimsinlim101nnnnnunnn所以级数所以级数11sinnnn发散。发散。例例4 判断
14、级数判断级数11sinnnn的敛散性。的敛散性。例例5 证明调和级数证明调和级数nn11是发散的是发散的.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.一、一、正项级数正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的是单调增加的,而单调有而单调有界数列是有极限界数列是有极限.定理定理1(正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件)7.3 正项级正项级数数二二、正项级数敛散性的
15、判别法、正项级数敛散性的判别法第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页定理定理2(比较判别法比较判别法)设1nnu和1nnv都是正项级数,且 unvn(n1,2,).推论推论:设1nnu和1nnv都是正项级数,且 unkvn(k0,nN).若1nnv收敛,则1nnu收敛 若1nnu发散,则1nnv发散.若1nnv收敛,则1nnu收敛 若1nnu发散,则1nnv发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 111(1);(2)2(1)nnn nn=0sin例例1 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性.11,22nnsin解解:
16、(1)因为因为(2)证 因为11)1(1)1(12nnnn,而且而且12nn=0收敛收敛.所以，由比较判别法可知，级所以，由比较判别法可知，级数数01sin2nn收敛收敛.而且而且11nn=1发散发散.所以，由比较判别法可知，级所以，由比较判别法可知，级数数11(1)nn n发散发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解 定理定理2(比较判别法比较判别法)解 当 p1 时,nnp11,而级数所以级数pnn11也发散.nnp11,而级数11nn发散,设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛 若级数un发散,则级数
17、vn发散.例2 讨论讨论 p 级数级数)0(11pnpn的收敛性的收敛性.11pnxn-时,因为当时,有11ppnx所以 11111nnpppnndxdxnnx-=蝌1111(1)pppnn=-2,3,n=L当当第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页p 级数级数)0(11pnpn的收敛性的收敛性：当 p1 时,1)1(111111-pppnnpn(n2,3,),即即而级数1)1(1112-ppnnn收敛,所以级数收敛,所以级数pnn11也收敛.当当 p 1 时收敛时收敛；当当 p 1 时发散时发散.故该级数收敛故该级数收敛.311211nnnnn=邋例如例如3
18、12p p是是的的级数，级数，第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页(2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散 定理定理3(比值判别法比值判别法)用法：常判别含有因子用法：常判别含有因子!nnann或或、的级数敛散性。的级数敛散性。设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果1lim,nnnuu1(1)当当时时,级数收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，比值判别法不能用比值判别法不能用.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解 因为101lim 321)1(321lim lim 1 -nnnuunnnnn 解:所
19、以所以,根据比值根据比值判别判别法可知所给级数收敛法可知所给级数收敛.例例3 证明级数证明级数 )1(3211 3211211111 -n 是收敛的是收敛的.101lim 321)1(321lim lim 1 -nnnuunnnnn101lim 321)1(321lim lim 1 -nnnuunnnnn,第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页所以所以,根据比值判别法可知所给级数收敛根据比值判别法可知所给级数收敛.解 11limlimlim=11nnnnnnnuxnnxxunxn所以当所以当10 x时，级数收敛；时，级数收敛；当当1x时，级数发散时，级数发散.
20、2n1112(1)!2limlimlim 2()=1(1)2!1nnnnnnnnnunnnunnne 解 例例4 判断级数判断级数(0)nxxnn=1的敛散性的敛散性.1,nn=1当当1x时，级数成时，级数成为为它发散它发散.112!nnnnn例例5 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解:因为 111 2111limlimlim=1222nnnnnnnunnunn例例6 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.2cos1,3n2cos322nnnnn 所以 而级数 2nnn=1 满足 因此级数 2nnn=1收敛收敛,从而级数从
21、而级数2cos32nnnn=1收敛收敛.2cos32nnnn=1第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页(2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散 定理定理4(根值判别法根值判别法)用法：常判别含有因子用法：常判别含有因子nann或或的级数敛散性。的级数敛散性。设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果lim,nnnu1(1)当当时时,级数收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，根值判别法不能用根值判别法不能用.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解:因为 11limlim()lim=011(1+)nnnnnnn
22、nune例例7 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.所以 ()(0)1nnaann=1limlim()lim,11nnnnnnnnanauann01a(1)当当时时,级数收级数收敛敛;1a(2)当当时时,级数发散级数发散;1a(3)当当时时,有有1a 所以当所以当时时,级数发散级数发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页7.4 任意项级数任意项级数,绝对收敛绝对收敛一、一、交错级数的定义交错级数的定义 交错级数是这样的级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的它的各项是正负交错的.交错级数的一般形式为-11)1(nnnu,其中0nu.定理定理1(莱布尼兹
23、定理莱布尼兹定理)如果交错级数-11)1(nnnu满足条件:(1)un un 1(n 1,2,3,)(2)0limnnu,则级数收敛则级数收敛,且其和且其和s u1,其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn|un 1.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页(1)1111nnunnu(n1,2,),(2)这是一个交错级数这是一个交错级数.解解:由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理,级数是收敛的级数是收敛的,且其和且其和su1 1,余项11|1nurnn.则级数收敛则级数收敛,且其和且其和s u1,其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn|un 1.如果交错级数-11)1(n
24、nnu满足条件:定理定理1(莱布尼兹定理莱布尼兹定理)(1)unun1(n1,2,3,)(2)0limnnu,因为此级数满足因为此级数满足(n1,2,),(2)01limlimnunnn,例 10 证明级数 1)1(11-nnn收敛,并估计和及余项.例例1第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页二、二、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 例如例如:级数-1211)1(nnn是绝对收敛的,级数-111)1(nnn是条件收敛的.若级数若级数1|nnu 收敛收敛,则称级数则称级数1nnu 绝对收敛绝对收敛 收敛收敛,而级数而级数1|nnu发散发散,则称级则称级1nn
25、u 条件收敛条件收敛.若级数若级数1nnu 第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页三、三、绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系 定理定理2 应注意的问题应注意的问题:如果级数1|nnu发散,我们不能断定级数1nnu也发散.1nnu1nnu如果级数如果级数绝对收敛绝对收敛,则级数则级数必定收敛必定收敛.例 11 判别级数12sinnnna的收敛性.例2 解 因为|221|sinnnna,而级数221|sinnnna,而级数211nn是收敛的,所以级数 是收敛的,所以级数 12|sin|nnna也收敛,从而级数,从而级数12sinnnna绝对收敛.解解 第七章
26、第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页定理定理3 解 例例3 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.1!(1)nnnnn-n11(1)!1limlimlim()=1(1)!1nnnnnnnunnnunnne所以级数绝对收敛。所以级数绝对收敛。对任意项级对任意项级数数1l i m|,nnnuur+=1,nnu=如果如果则则 01（1）当）当时，级数绝对收敛；时，级数绝对收敛；1（2）当）当时，级数发散时，级数发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 解 所以所以,当当1x 时，级数绝对收敛；时，级数绝对收敛；当当1x 时，级数发散时，
27、级数发散.11limlimlim=11nnnnnnnuxnnxxunxn例例4 判断级数判断级数nxnn=1的敛散性的敛散性.1(1)(1),nnnn-n=1n=1当当1x-时，级数成为时，级数成为它收敛它收敛.1,nn=1当当1x时，级数成为时，级数成为它发散它发散.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 7.5 幂级数幂级数 形如形如 a0 a1x a2x2 anxn 的级数称为幂级数的级数称为幂级数,其中常数其中常数ai(i 1,2,)叫做幂级数的系数叫做幂级数的系数.幂级数幂级数1xx2x3 xn ,!1 !2112 nxnxx.幂级数举例幂级数举例:
28、说明说明:幂级数的一般形式是幂级数的一般形式是 a0 a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n .这种形式经变换这种形式经变换t x-x0可化为上述定义形式可化为上述定义形式.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 幂级数幂级数 1 x x2 x3 xn 是公比为是公比为x的几何级数的几何级数.因此它的收敛域为因此它的收敛域为(-1,1),11132 -nxxxxx.它在它在|x|1时收敛时收敛,在在|x|1时发散时发散.在收敛域内有在收敛域内有 幂级数举例幂级数举例:第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 如果
29、幂级数如果幂级数anxn当当x x0(x0 0)时收敛时收敛,则适合不等式则适合不等式|x|x0|的一切的一切x使幂级数使幂级数anxn发散发散.注注:|x|x0|x|x0|定理定理1 anxn是幂级数是幂级数0nnnxa的简记形式的简记形式.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 如果幂级数如果幂级数anxn不是仅在点不是仅在点x 0一点收敛一点收敛,也不是在整也不是在整个数轴上都收敛个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数则必有一个完全确定的正数R存在存在,使得使得 当当|x|R时时,幂级数发散幂级数发散 当当x R与与x-R时时,幂级数可能收敛也可能发散
30、幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间收敛半径与收敛区间 推论推论 正数正数R通常叫做幂级数通常叫做幂级数anxn的收敛半径的收敛半径.从从-R到到 R的的区区间间叫做幂级数叫做幂级数anxn的收敛区间的收敛区间.注注:若幂级数只在若幂级数只在x 0收敛收敛,则规定收敛半径则规定收敛半径R 0 若幂级若幂级数在数在(-,)内收敛内收敛,则规定收敛半径则规定收敛半径R.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页定理定理2(收敛半径的求法收敛半径的求法)如果|lim1nnnaa,则幂级数0nnnxa的收敛半径 R为:解解:因为因为 1|lim 1nnnaa,所以
31、收敛半径11R.11lim 111lim|lim 1nnnnaannnnn11lim 111lim|lim 1nnnnaannnnn11lim 111lim|lim 1nnnnaannnnn.例 1 求幂级数-11)1(nnnnx的收敛半径与收敛域.1,0,00,R 当 x1 时,幂级数成为-111)1(nnn,是收敛的 -111)1(nnn,是收敛的 第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页解解:因为因为 0)!1(!lim !1)!1(1lim|lim 1nnnnaannnnn0)!1(!lim !1)!1(1lim|lim 1nnnnaannnnn0)!1
32、(!lim !1)!1(1lim|lim 1nnnnaannnnn,所以收敛半径为所以收敛半径为R,从而收敛域为从而收敛域为(-,).例 2 求幂级数0!1nnxn的收敛域.当 x-1 时,幂级数成为-1)1(nn,是发散的.-1)1(nn,是发散的.因此因此,收敛域为收敛域为(-1,1.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页解:因为因为!)!1(lim|lim 1nnaannnn!)!1(lim|lim 1nnaannnn!)!1(lim|lim 1nnaannnn,所以收敛半径为所以收敛半径为R 0,即级数仅在即级数仅在x 0处收敛处收敛.例 3 求幂级数
33、0!nnxn的收敛半径.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 注注:此级数缺少奇次幂的项此级数缺少奇次幂的项,前述求收敛半径的方法不能前述求收敛半径的方法不能直接应用直接应用.2222)1(221)1()12)(22()!()!2()!1()!1(2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn2222)1(221)1()12)(22()!()!2()!1()!1(2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn.解:这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.幂级数的一般项为nnxnnxu22)!()!2()(.因为
34、21|4|)()(|limxxuxunnn,例 4 求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径.因为因为所以所以1()lim()nnnuxu x所以收敛半径为21R.当当4|x|21即即|x|1即即|x|21时级数发散时级数发散,第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页解解:令 tx-1,上述级数变为12nnnnt.因为 21)1(22|lim 11nnaannnnn21)1(22|lim 11nnaannnnn21)1(22|lim 11nnaannnnn,所以收敛半径所以收敛半径R 2.当 t2 时,级数成为11nn,此级数发散 当 t-2 时,级数成
35、为-1)1(nn,此级数收敛.所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为-1,3).即即-2 x-12,或或-1 x3,因此收敛域为因此收敛域为-2 t2,11nn,此级数发散-1)1(nn,此级数收敛.例 5 求幂级数-12)1(nnnnx的收敛域.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页幂级数的性质幂级数的性质:设幂级数设幂级数anxn及及bnxn分别在区间分别在区间(-R1,R1)及及(-R2,R2)内收敛内收敛,则在则在(-R1,R1)与与(-R2,R2)中较小的区间内有中较小的区间内有减法减法:加法加法:(an-bn)xn.(an bn)xn,anxn-
36、bnxn anxn bnxn 第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页-1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R),性质性质1 幂级数幂级数anxn的和函数的和函数s(x)在收敛域在收敛域I上连续上连续.幂级数的和函数的性质幂级数的和函数的性质 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质性质2 幂级数幂级数anxn的和函数的和函数s(x)在收敛域在收敛域I上可积上可积,并且有逐项积分公式并且有逐项积分公式 性质性质3 幂级数幂级数anxn的和函数的和函数s(x)在收敛区间在收敛
37、区间(-R,R)内可导内可导,并且有逐项求导公式并且有逐项求导公式 01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页幂级数的和函数的求法幂级数的和函数的求法 一般情况下一般情况下,不容易不容易并求出这个新级数的和函数并求出这个新级数的和函数,然后再对此和然后再对此和函数函数进行进行 求幂级数求幂级数0nnna x(),s x的和函数的和函数直接求出直接求出.数数(或积分或积分),这时要利
38、用幂级数在收敛区间内可逐项求导这时要利用幂级数在收敛区间内可逐项求导得出一个容易求和的新级数得出一个容易求和的新级数(如几何级数如几何级数),相反的远算就得到原级数的和相反的远算就得到原级数的和和函数和函数.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页解解:例 6 求幂级数011nnxn的和函数.求得幂级数的收敛域为求得幂级数的收敛域为-1,1).显然显然S(0)1.因为因为 xnnnndxxnxnxxs001011111)(xnnnndxxnxnxxs001011111)(设幂级数的和函数为 s(x),即011)(nnxnxs,x-1,1).)11()1ln(11
39、000-xxdxxdxxxxnn)11()1ln(11000-xxdxxdxxxxnn)11()1ln(11000-xxdxxdxxxxnn,所以,当1|0 x时,有)1ln(1)(xxxs-.由和函数在收敛域上的连续性,2ln)(lim)1(1-xSSx.提示提示:)1|(11132 -xxxxxxn.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页(一)泰勒公式泰勒公式 7.6 泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数泰勒中值定理泰勒中值定理:()f x如果函数如果函数在在0 x的某邻域内具有各阶导数的某邻域内具有各阶导数,则则在该邻域内有在该邻域内有 )(!2)()(
40、)()(200000 -xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn-,其中10)1()()!1()()(-nnnxxnfxR(介于 x 与0 x之间).等式右端的多项式当其项数趋于无穷时等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数将成为幂级数,这个幂级数就称为这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数的泰勒级数.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页(二二)泰勒级数泰勒级数 如果函数如果函数f(x)在点在点x0的某邻域内具有各阶导数的某邻域内具有各阶导数,则幂级数则幂级数称为函数称为函数f(x)的泰勒级数的泰勒级数.麦克劳林级数麦克劳林级数
41、 在泰勒级数中取在泰勒级数中取x0 0,得得 此级数称为此级数称为f(x)的麦克劳林级数的麦克劳林级数.)(!3)()(!2)()()(300200000 -xxxfxxxfxxxfxf !)0(!2)0()0()0()(2nnxnfxfxff,第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 显然显然,当当x x0时时,f(x)的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题是需回答的问题是:除了除了x x0外外,f(x)的泰勒级数是否收敛的泰勒级数是否收敛?如果收敛如果收敛,它是否一定收敛于它是否一定收敛于f(x)?!)0(!2)0()0()0()(2nnx
42、nfxfxff.)(!3)()(!2)()()(300200000 -xxxfxxxfxxxfxf.泰勒级数泰勒级数 麦克劳林级数麦克劳林级数 定理定理:设函数设函数f(x)在点在点x0的某一邻域的某一邻域U(x0)内具有各阶导数内具有各阶导数,则则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰的泰勒公式中的余项勒公式中的余项Rn(x)当当n0时的极限为零时的极限为零,即即)(0)(lim0 xUxxRnn.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页函数展开成幂级数的步骤函数展开成幂级数的步骤(直接展开法直
43、接展开法)第一步第一步 求出求出f(x)的各阶导数的各阶导数:f (x),f (x),f(n)(x),第二步第二步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在x 0 处的值处的值:f(0),f (0),f (0),f(n)(0),第三步第三步 写出幂级数写出幂级数第四步第四步 考察在区间考察在区间(-R,R)内时是否内时是否Rn(x)0(n).如果如果Rn(x)0(n),则则f(x)在在(-R,R)内有展开式内有展开式 !)0(!2)0()0()0()()(2 nnxnfxfxffxf(-RxR).!)0(!2)0()0()0()(2 nnxnfxfxff,并求出收敛半径并求出收敛半径R 7.7
44、 某些初等函数的幂级数展开式某些初等函数的幂级数展开式第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 例例1 将函数将函数f(x)ex展开成展开成x的幂级数的幂级数.解解 显然显然 f(n)(x)ex(n 1,2,),于是得级数于是得级数 f(n)(0)1 (n 1,2,).!1 !2112nxnxx,它的收敛半径它的收敛半径 R.对于任何有限的数对于任何有限的数x、(介于介于0与与x之间之间),有有 而0)!1(|lim 1nxnn,所以 !1 !2112 nxxnxxe(-x).0)!1(|lim 1nxnn,所以0|)(|lim xRnn,从而有展开式 0|)(
45、|lim xRnn,从而有展开式)!1(|)!1(|)(|1|1nxexnexRnxnn)!1(|)!1(|)(|1|1nxexnexRnxnn)!1(|)!1(|)(|1|1nxexnexRnxnn,第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 例例2 将函数将函数f(x)sin x展开成展开成x的幂级数的幂级数.因为)2 sin()()(nxxfn(n1,2,),解解 所以所以f(n)(0)顺序循环地取顺序循环地取0,1,0,-1,(n 0,1,2,3,),于是得级数于是得级数 -)!12()1(!5!312153nxxxxnn,对于任何有限的数对于任何有限的数
46、x、(介于介于0与与x之间之间),有有它的收敛半径为它的收敛半径为 R.)!1(|)!1(2)1(sin|)(|11nxxnnxRnnn)!1(|)!1(2)1(sin|)(|11nxxnnxRnnn)!1(|)!1(2)1(sin|)(|11nxxnnxRnnn)!1(|)!1(2)1(sin|)(|11nxxnnxRnnn0(n).因此得展开式因此得展开式 sin x )!12()1(!5!312153 -nxxxxnn(-x).第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 例例3 将函数将函数f(x)(1 x)m(m为任意常数为任意常数)展开成展开成x的幂级数
47、的幂级数.所以所以 f(0)1,f (0)m,f (0)m(m-1),f(n)(0)m(m-1)(m-2)(m-n 1),于是得幂级数于是得幂级数 解解 f(x)的各阶导数为的各阶导数为f (x)m(1 x)m-1,f (x)m(m-1)(1 x)m-2,f(n)(x)m(m-1)(m-2)(m-n 1)(1 x)m-n,!)1()1(!2)1(12 -nxnnmmmxmmmx.可以证明可以证明 !)1()1(!2)1(1)1(2 -nmxnnmmmxmmmxx(-1x1).第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页幂级数展开式的间接展开法幂级数展开式的间接展开法
48、 例例4 将函数将函数f(x)cos x展开成展开成x的幂级数的幂级数.已知已知 解解 )!12()1(!5!3sin12153 -nxxxxxnn(-x).对上式两边求导得对上式两边求导得 )!2()1(!4!21cos242 -nxxxxnn(-x).注注:逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页5 将函数211)(xxf展开成 x 的幂级数.例5 因为 1112 -nxxxx(-1x1),解解 已知已知 把把x换成换成-x2,得得 )1(1112422 -nnxxxx
49、(提示提示:)1(1112422 -nnxxxx(-1x1).收敛半径的确定收敛半径的确定:由由-1-x2 1,得得-1 x 1.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页 例例6 将函数将函数f(x)ln(1 x)展开成展开成x的幂级数的幂级数.f(x)ln(1 x)解解 xxdxxdxx0011)1ln(上述展开式对上述展开式对x 1也成立也成立,这是因为上式右端的幂级这是因为上式右端的幂级数当数当x 1时收敛时收敛,而而ln(1 x)在在x 1处有定义且连续处有定义且连续.所以展所以展开式成立的范围是开式成立的范围是(-1x 1).xxdxxdxx0011)
50、1ln(-01001)1()1(nnnxnnnnxdxx-01001)1()1(nnnxnnnnxdxx(-01001)1()1(nnnxnnnnxdxx(-1x1).提示:1112 -nxxxx(-1x1).提示:01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs.第七章第七章 无穷级数无穷级数微微 积积 分分 返回返回下页下页上页上页8 将函数341)(2xxxf展开成(x-1)的幂级数.例例7 提示:解解 )411(81)211(41)3(21)1(21)(-xxxxxf)31()1)(2121()1(0322-xxnnnnn)411(81)211(41)3(
