1、多元函数积分学习题课一、多元函数积分学内容的复习（略）二、多元函数积分学有关例题例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：Ddyx2)(与与Ddyx3)(其中其中D:2)1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，显然有,1 yx故在故在D内内32)()(yxyx DDdyxdyx32)()(例例2 估计积分大小20,10,)1(yxDdyxID是矩形闭区域：其中解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以由性质所以由性质6得得812Ddyx)(yxyxf ),(D例例3 3解：解
2、：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49.21,1:xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例4解解：（如图）将如图）将D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2,4-122yx 2 yx 1,1 xy)(yx后后先先例例5 5解：解：.10,11:.2 yxD
3、dxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 分析 积分区域可表示为X型区域 D:1y1,1x 0 时,.)(2)(tGtF(03考研)例16解解:(1)因为 ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边对 t 求导,得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF,0)(),0(tF上在.),0()(单调增加上在故tF(2)问题转化为证
4、0)(2)(,0tGtFt时ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,),0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 时,.0)(2)(tGtF因例例17.)1,1()0,0(,:,2一段一段到到从从其中其中求求xyLdsyIL 解解dxxxI)(12102 xy 2.10:2 xxyLdxxx21041 )155(121 22()()2()()()0.9)130h t txy
5、zh th t例14：设有一高度为为时间 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数问高度为厘米的雪堆全部融化需多少时间？sdtdv9.0 解：解：sdtdv9.0 DthDthdxdydzdzdxdyv)(0)(0 )(02)()(21thdzzthth)(43th 22()()2()()()0.9)130h t txyzh th t例14：设有一高度为为时间 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数问高度为厘米的雪堆全部融化需多少时间？例18dxdy
6、zzsDyx 221dxdythyxthyx 2)(222222)()(161rdrrthdthth16)()(12)(02220 12)(132th sdtdv9.0 1013)(dttdhctth 1013)(100 t例例19.计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解:利用轮换对称性,有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的重心在原点)例例20 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故
7、故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa例例21.计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关,故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.解法解法2,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d)(2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1)若L 改为顺时针方向,如何计
8、算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d)(2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0:t332aICoyxABLD sin)cos1(:taytaxLDyaLxo例22计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周,0,)(222yayax提示提示:LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0
9、ax20d0022dsin2tta0:t2a沿逆时针方向.ABABL222222221622ln()(,0)(,0)(0)LyIdxxyxxadyaxLxyaA aBaa例、计算其中是圆周上由点依反时针方向到的弧段)0,(aB )0,(aA22124axyxQ 解：解：2212axyyP dyaxxyxdxxayIl)ln(2 222222 Ddxdy422 a dyaxxyxdxxayl)ln(2 222222 0022 dxxall222222221622ln()(,0)(,0)(0)LyIdxxyxxadyaxLxyaA aBaa例、计算其中是圆周上由点依反时针方向到的弧段例23xyoL
10、ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式,xQP ,0 有有 LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 解解 令令2,0yxeQP ,xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e则则当当022 yx时时,有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L(1 1)当当D)0,0(时时,(2)当当D)0,0(时时,1Drlxy
11、oLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 20222222224320()(),(3)(4)(3)(4)(5,6),(5,6),(5,6),(5,6)LyyxxIdxdyxyxyxyxyLABCD 例、其中 为连接点的矩形路
12、径。dyyxxdxyxyIL2222 解：解：dyyxxdxyxyL2222)4()3(3)4()3(4 yPxQyPxQ 2211 12222yxyxxdyydxI 1)4()3(2222)4()3()3()4(yxyxdyxdxy 4 222222224320()(),(3)(4)(3)(4)(5,6),(5,6),(5,6),(5,6)LyyxxIdxdyxyxyxyxyLABCD 例、其中 为连接点的矩形路径。例27曲线曲线AMO由函数由函数,0,axxaxy 表示表示,解解ONA为为直直线线0 y.LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANM A
13、MOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0,(aANMxxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原积分与路径无关原积分与路径无关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 计计算算 dszyx)(,其其中中 为为平平面面
14、5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例3131积积分分曲曲面面：yz 5,解解投影域投影域：25|),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例32.计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解:Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式 计计算算 xdS,其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平
15、面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3333解解 321 其其中中1：0 z,2：2 xz,3：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS,01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时,将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片）3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx,xdS 00.解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz
16、,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr xozy113解解,0,)(yxRQxzyP ,0,0,zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113 201030)sin(dzzrrdrdzyxo,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧,提示提示:以半球底面0原式=3323R032R0zyxddd3
17、0ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有例36计算为辅助面,利用xyzoh xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.|),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxh
18、dSzyx)()coscoscos(2222221 .214h 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 例例38.计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考:本题 改为椭球面1222222czbyax时,应如何计算?提示提示:在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧,然后用高斯公式.2121I例例39.设 是曲面9)1(16)2(5
19、122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解:取足够小的正数,作曲面取下侧 使其包在 内,2为 xoy 平面上夹于之间的部分,且取下侧,1与21ozyx取上侧,计算,)0(z则21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得29 (,)(,)u x y zv x y z例设函数和在闭区域上具有一二阶连续偏导数，证明,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu 沿沿 外外法法线线方方向向的的方方向向导导数数，这这 里里 是是 的的 整整
20、 个个 边边 界界 曲曲 面面,),(zyxvnv为为函函数数 222222zyx 符号符号证证明明：因因为为方方向向导导数数 coscoscoszvyvxvnv cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量 的的方方向向余余弦弦.29 (,)(,)u x y zv x y z例设函数和在闭区域上具有一二阶连续偏导数，证明例40dSzvyvxvudSnvu)coscoscos(dSzvuyvuxvu cos)(cos)(cos)(利用高斯公式利用高斯公式dxdydzzvuzyvuyxvuxdSnvu)()()(,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu
21、解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分.则则1,1,131 nzxyo n 即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 xyxyDDdxdydxdy6332.29 )23(zyx上上在在xyD23 yx21 yx2222222231()(1),51LIx yzdxxy dyxydzLxyzzxyoz 例、计算：其中为球面与旋转抛物面的交线，从轴正向看去为顺时针。2122zyxL解：解：2sincoszyxL dI0)1sin(coscossincos20222 2 2222222231(
22、)(1),51LIx yzdxxydyxydzLxyzzxyoz 例、计算：其中为球面与旋转抛物面的交线，从轴正向看去为顺时针。例42222220032(1)(1)(1)(1)1(2)1 21(3)1 21Axx z iyx z jzx z kzxyzMM例、设向量求向量场通过由锥面与平面所围闭曲面外侧通量；在点（，）的散度；在点（，）的旋度；RdxdyQdxdzPdydzQ)1(解解 vdv3 32 Adiv）（)1()1()1(3222zxzzxyzxxzyxkjiArot ）（432，222220032(1)(1)(1)(1)1(2)121(3)121Axx z iyx z jzx z
23、kzxyzMM例、设向量求向量场通过由锥面与平面所围闭曲面外侧通量；在点（，）的散度；在点（，）的旋度；例43422423302()()(,)(,).xAxy xyix xyju x yu x y例、确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求 )(,)(224224yxxQyxxyP 解解：yuxugradu,QP，QyuPxu ,yxuyPxyuxQ 22，yPxQ 1 ),()0,1(2422),(yxyxdyxxydxyxu.arctan20242cxycyxdyxy 422423302()()(,)(,).xAxy xyixxyju x yu x y例、确定常数，使在右半平
24、面上的向量为某二元函数的梯度，并求例44xzoy例例45.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面2zyx上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD由斯托克斯公式Dyxyxdd)6(2Dxyo11D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(,2:1:yxD(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是例46地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机
25、能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求(2)在yzxo解解:如图建立坐标系.,54cos8.0arccosR25.1R3T的时间内,卫星监视的地球表面积是多少?多少?(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为yzxoR25.1R02201dsindRS)cos1(22R252R(2)在2S2025234RSR3T时间内监视的地球表面积为54cos点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为yzxoR25.1R02201dsindRS)cos1(22R252R(2)在2S其中盲区面积200d2S202dsinR)sin1(42R258R256R3T时间内监视的地球表面积为54cos2025234RSR
