1、1热热是人类最早发现的是人类最早发现的一种自然力，是地球一种自然力，是地球上一切生命的源泉。上一切生命的源泉。恩格斯恩格斯2宏观物体是由大量不停地运动的分子组成。宏观物体是由大量不停地运动的分子组成。用牛顿力学求解用牛顿力学求解每个质点的运动每个质点的运动，实际上实际上不可能。不可能。热现象：热现象：与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象研究热现象的性质和规律研究热现象的性质和规律 热学热学实验实验模型模型普遍性和可信性普遍性和可信性 热力学热力学宏观理论宏观理论热力学三大定律热力学三大定律统计统计物理物理微观理论微观理论统计方法统计方法逻辑推理逻辑推理统计规
2、律统计规律揭示本质，受模型局限揭示本质，受模型局限知其然而不知其所以然知其然而不知其所以然涨落涨落31.1.统计规律统计规律-大量偶然事件整体所遵从的规律大量偶然事件整体所遵从的规律.加尔顿板实验加尔顿板实验:单个粒子运动单个粒子运动-偶然事件偶然事件 (落入那个槽落入那个槽)大量粒子运动大量粒子运动-统计规律统计规律(粒子在槽中的分布粒子在槽中的分布)第第2020章章 统计物理学基础统计物理学基础20-1 20-1 统计规律与概率理论统计规律与概率理论一、加尔顿板实验一、加尔顿板实验4单个粒子遵循牛顿定律单个粒子遵循牛顿定律;大量粒子遵从统计规律大量粒子遵从统计规律 -牛顿运动定律无法说明牛
3、顿运动定律无法说明2.2.统计规律特点统计规律特点:(2)(2)是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律.(3)(3)与系统所处宏观条件有关与系统所处宏观条件有关.(4)(4)存在起伏存在起伏(涨落涨落).).实验总观测次数为实验总观测次数为N N,其中出现结果其中出现结果 A A 的次数为的次数为 N NA A 事件事件A A 出现的概率出现的概率 NNANWlim(1)(1)对大量偶然事件有效对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。对少量事件不适用。不矛盾不矛盾3.3.概率的基本性质概率的基本性质5(1)(1)10WW=0W=0为为不可能事
4、件不可能事件;W=1;W=1为为必然事件必然事件.(2)A,B(2)A,B为为互斥事件互斥事件,不可能同时出现不可能同时出现,则出现则出现A A或或B B的总概率的总概率:BAWWW-概率叠加原理概率叠加原理归一化条件归一化条件:对所有可能发生的事件的概率之和必定为对所有可能发生的事件的概率之和必定为1.1.1lim11NNNNNNWiiniNnii或或1dw(3)J,K(3)J,K为为相容事件相容事件(可同时出现可同时出现 ），则同时发生），则同时发生J J和和K K的概率的概率.JKWWW-概率乘法定理概率乘法定理6热力学系统热力学系统宏观量宏观量 表征系统整体性质的物理量（如体积、压强表
5、征系统整体性质的物理量（如体积、压强)微观量微观量广延量：广延量：有累加性有累加性(如质量、体积如质量、体积)宏观量是微观量的统计平均值宏观量是微观量的统计平均值外界外界热力学所研究的具体对象热力学所研究的具体对象系统边界以外的部分，系统边界以外的部分，环境环境描写单个微观粒子运动状态的物理量（如分描写单个微观粒子运动状态的物理量（如分子速度、能量子速度、能量)强度量：强度量：无累加性无累加性(如温度、压强如温度、压强)孤立系统、闭合系统、开放系统孤立系统、闭合系统、开放系统20-2 20-2 温度与温度与压强压强7平衡态平衡态任何一个孤立系统，只要经过足够任何一个孤立系统，只要经过足够长的时
6、间，必然将达到一个平衡态长的时间，必然将达到一个平衡态稳定态稳定态 平衡态平衡态驰豫时间驰豫时间状态参量状态参量描述系统平衡态的宏观参量描述系统平衡态的宏观参量状态方程状态方程状态参量之间的函数关系状态参量之间的函数关系0),(TVPf一组态参量一组态参量一个平衡态一个平衡态描述描述对应对应热力学参量：热力学参量：在不受外界影响的条件下，系统宏观性质不在不受外界影响的条件下，系统宏观性质不随随时时间改变的状态间改变的状态热动平衡热动平衡81)1)思路思路:压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生；压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生；建立理想气建立理想气体微观模型体微观模型利用牛顿运动定律处理
7、单个粒子的运动利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 ；利用统计规律处理大量粒子的行为利用统计规律处理大量粒子的行为 ；得到理想气体压强公式得到理想气体压强公式tnvnmp32312(1)(1)气体分子看成质点；气体分子看成质点；(2)(2)除碰撞外除碰撞外,忽略其它力；忽略其它力；(3)(3)完全弹性碰撞；完全弹性碰撞；(4)(4)分子的运动遵从经典力学规律分子的运动遵从经典力学规律 压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁单位面积压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁单位面积上的平均冲量。上的平均冲量。理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体分子微观模型理想气体分子微观模型：9步骤步骤1 1
8、：速度为速度为iv的某一个分子与的某一个分子与 dsds 碰撞一次后的动量变化为碰撞一次后的动量变化为,2ixmvvviv vivi=2vixv vivvidsx xv vi idsdsx xv vixixdtdt步骤步骤2 2：求求 dtdt 时间内时间内,iv的所有分子施于的所有分子施于dsds 的冲量。的冲量。速度为速度为,dtvdsnixi步骤步骤3 3：求求dtdt 时间内时间内 ,各种速度分子对各种速度分子对 dsds 的总冲量。的总冲量。iixiiiixvixiixdsdtvmndsdtnmvdtvdsnmvdIix2202212该分子施于该分子施于 dsds 的冲量为的冲量为.
9、2ixmvdtdt 时间内时间内,能与能与 dsds 相撞的只能是位于底面积为相撞的只能是位于底面积为 dsds,高为高为 v vixixdtdt 的斜柱体内的分子的斜柱体内的分子,该分子数为该分子数为这些分子作用于这些分子作用于 dsds 冲量为：冲量为：,2dtvdsnmvixiix2)2)公式推导公式推导10步骤步骤4 4：代入代入压强公式压强公式iixivmndtdsdIp2,22nvnviixixtnvmnvnmp3221323122221vmt为分子的为分子的平均平动动能平均平动动能dtdt内各种速度分子对内各种速度分子对dsds 的总冲量为的总冲量为:iixiiiixvixiix
10、dsdtvmndsdtnmvdtvdsnmvdIix2202212222231vvvvzyx又2xvnmP 其中其中n=N/V n=N/V 分子数密度分子数密度 步骤步骤5 5：求统计平均值求统计平均值113)3)推导中关于分子集体的统计性假设推导中关于分子集体的统计性假设:每个分子运动速率各不相同，而且通过碰撞不断发生变化每个分子运动速率各不相同，而且通过碰撞不断发生变化 ；讨论讨论:平衡态时，每个分子的位置处在容器内空间任何一点的概平衡态时，每个分子的位置处在容器内空间任何一点的概率是一样的，或者说，率是一样的，或者说，分子按位置的分布是均匀的。分子按位置的分布是均匀的。222231vvv
11、vzyx 在平衡状态时，每个分子指向任何方向的概率都是一样的，在平衡状态时，每个分子指向任何方向的概率都是一样的，或者说，或者说，分子速度按方向的分布是均匀的分子速度按方向的分布是均匀的压强公式将宏观量压强公式将宏观量 p p 和微观量和微观量 的统计平均值联系在一起。的统计平均值联系在一起。tn,tnvmnvnmp3221323122VNdVdNn122.2.气体分子平均平动动能与温度关系气体分子平均平动动能与温度关系RTMPV温度是气体分子平均平动动能的量度温度是气体分子平均平动动能的量度 ,具有统计意义具有统计意义 。tnP32nkTP kTt23玻尔兹曼常数气体普适常数；阿伏伽德罗常数
12、；：气体摩尔质量气体总质量,1038.1,31.8,1002.6.,.,:12311123JKNRKKmolJRmolNmNNmMMAAA13 例例 在容积在容积 V=4V=41010-3-3 m m3 3 的容器中，装有压强的容器中，装有压强p=5p=510102 2 pa pa 的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总和为多少？和为多少？解：解：)(31041052323232332JpVRTMkTNMEAk14例例 下列各式中那一式表示气体分子的平均平动动能？下列各式中那一式表示气体分子的平均平动动能？.23)(,23)(,23)(,23)(pVM
13、MDnpVCpVMMBpVMmAmolmol解解 气体分子的平均平动动能为气体分子的平均平动动能为)(231232323000mNpVMmpVMNTNRkT答案答案 (A)(A)15例例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：解：222111)1(TVpTVp KTKTVV450177273,300
14、27273,2:2121 由由已已知知12211221233004502pVVpTVTVp 16kTw)(232 J.)(.)TT(kwww2123121210113300450103812323 17例例 一容器中贮有理想气体，压强为一容器中贮有理想气体，压强为0.010mmHg0.010mmHg高。温度为高。温度为27270 0C C，问在，问在1cm1cm3 3中有多少分子，这些中有多少分子，这些分子动能之总和为多少？分子动能之总和为多少？解：解：kTPnnkTP623103001038.133.1VkTPnVN个161021.3分子平均平动动能为分子平均平动动能为kTw23_故故N个分
15、子总动能：个分子总动能：VkTPkTkTNNwN2323_)(1021033.1232366JPV18一一 等概率假设等概率假设处在平衡态的孤立体系处在平衡态的孤立体系,其可能的微观态出现的几率相等其可能的微观态出现的几率相等 -平衡态统计理论的基础平衡态统计理论的基础 如果可能微观态总数为如果可能微观态总数为 ，则系统的任意微观态，则系统的任意微观态出现的概率均为出现的概率均为 1/1/:121 tPtPtP 系统自发趋向于最概然分布系统自发趋向于最概然分布求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路:(1)(1)求将求将N N个粒子按
16、个粒子按 iNNN21,i,21的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2）求求 取最大值的分布取最大值的分布,即最概然分布即最概然分布(3)(3)求在最概然分布下求在最概然分布下,每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数20.320.3麦克斯韦气体分子速率分布律（预备麦克斯韦气体分子速率分布律（预备知识）知识）19能级上每个量子态被占据的概率能级上每个量子态被占据的概率讨论过程中要用到讨论过程中要用到等概率假设等概率假设和和约束条件约束条件约束条件约束条件:孤立体系孤立体系?Ni？）（gNiiifiiiiEiNNN恒量能量守恒恒量粒子
17、数守恒-(1)(1)求将求将N N个粒子按个粒子按 iNNN21,i,21的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2）求求 取最大值的分布取最大值的分布,即最概然分布即最概然分布(3)(3)求在最概然分布下求在最概然分布下,每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数20二二.麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 (M-BM-B分布分布 )经典粒子彼此可以区分经典粒子彼此可以区分,每个量子态中的粒子数不受限制每个量子态中的粒子数不受限制.2 2个经典粒子在个经典粒子在3 3个量子个量子态中的可能分布态中的可能分布（共（共9 9种种)(
18、M-B(M-B分布分布)哈尔滨哈尔滨飞机飞机火车火车汽车汽车飞机飞机火车火车汽车汽车北京北京上海上海共有共有93332种方案种方案（2 2个不同粒子放入个不同粒子放入3 3个盒个盒子，分子，分2 2步完成。）步完成。）2 2个不同色子扔下，先扔个不同色子扔下，先扔1 1个，再扔另个，再扔另1 1个，共个，共6 62 2种状种状态态21(2)(2)个粒子分别占用能级个粒子分别占用能级 的的 个量子态的占据方式为个量子态的占据方式为.,21NNNi.,21i.,21gggiigiNi因而因而iiiNNNNNNNNNNNNNNNCCC!21321211!iNiiiiiNgNiNNiigN N N 个
19、可区分粒子，分为个可区分粒子，分为 个粒子的组合方式为个粒子的组合方式为.,21NNNi(3)(3)(1)(1)i N Ni i个经典粒子分布在个经典粒子分布在 能级的能级的 个量子态上的占据方式为个量子态上的占据方式为gigiNi22(2)为使为使 极大极大,令令0lnBM利用斯特令公式利用斯特令公式)1(ln!lnNNNiii10NiiiiiiiiiiiiiiiiiiBMgNNNNNgNNNgNNNNNlnlnlnln)1(ln)1(lnln!ln!lnln 因而因而iiiiiiBMNNgNln)1(lnln0lniiiiNgN!iNiiiiiNgNiNNiigNy y1ln)ln(ln)
20、ln(ln!ln|111NNNxxxxxdxxdxdxNNNN)0(iiiiNN这里1 1 2 2 3 3x xxylnNNln2ln1ln!lny23由宏观约束条件由宏观约束条件0iiNN0iiNiEiiiiiBMNgNEN0lnlnNNNNi 21,NNiiiiiiBMgNln)1(lnln0lnNiiiigN!iNiiiiiNgNiNNiigN0lniiigNegNiii（3 3）由宏观约束条件确定由宏观约束条件确定 ,由拉格朗日乘子法原理由拉格朗日乘子法原理个为任意变量中有)2(24最后可得最后可得egNkTiii/egNfKTiiii1)(kT1egiiiN由由可得可得0lnlnNi
21、iiiBMgN!iNiiiiiNgNiNNiigNegNiii,经典粒子按能级经典粒子按能级的最概然分布的最概然分布M-BM-B分布分布理论和实理论和实验证明验证明egiiiiiiiNE2520.4 20.4 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律1.1.麦克斯韦分子速度分布律麦克斯韦分子速度分布律 利用利用M-BM-B分布可导出在没有势场情况下，分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。理想气体按速度的分布规律。对理想气体，在温度对理想气体，在温度T T的平衡态下的平衡态下:分子速度在分子速度在zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv的概率的概率zyxvvvkTm
22、dvdvdvekTmNdNdWzyx222223226egNkTiii/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdN3/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdNN3/32/1222hdpdpdpedxdydzNezyxmkTpppzyx3233222/)2(/222hmkTNVhdpedpedpeNVezmkTpymkTpxmkTpzyxdxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(dxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(zyxkTmvmvmvdvdvdvekTmNdNzyx22322
23、2)2(zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNdWzyx2222232dxex2利用利用附近中 pV的粒子272.2.麦克斯韦分子速率分布律麦克斯韦分子速率分布律如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,由由2222zyxvvvvzyxdvdvdvdddvvsin2并对并对由由积分由20,0 在在T T的平衡态下，理想气体分子速率在的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dvv-v+dv 范围范围 内的概率内的概率dvvekTmNdNdWkTmv2223224速率分布函数速率分布函数 NdvdNvf-概率密度概率密度麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率
24、分布函数满足归满足归-化条件化条件:10dvvfo ov vz zv vx xv vy yv v )1)(00NNNdNdvvf*2223224)(vekTmvfkTmvdvv24扩大为扩大为28 NdvdNvf 222/3224vekTmvfkTmv dvvekTmdvvfNdNkTmv222/32240 0v vf(v)f(v).。T银蒸汽银蒸汽真空真空 麦克斯韦速率分布实验麦克斯韦速率分布实验银相对厚度银相对厚度29 222/3224vekTmdvdWNdvdNvfkTmvv vv v2 2v vp p vv+dvvv+dv f f(v vp p)o o f f(v v)v v1 1讨论
25、讨论:(1)(1)f f(v)(v)曲线下面积的物理意义曲线下面积的物理意义 寛度为寛度为dvdv的窄条面积的窄条面积:曲线下总面积曲线下总面积:NdNdvvfv)(NNNdNdvvfvvvvvv212121)(1)(00NNNdNdvvfV V1 1-V-V2 2区间的面积区间的面积:30（3 3）最概然速率最概然速率（最可几速率）（最可几速率）-f(v)-v-f(v)-v曲线极大值所对应的速率曲线极大值所对应的速率 v vp pv vp p 的物理意义：的物理意义：v vp p 附近概率密度最大附近概率密度最大（同样速率间隔（同样速率间隔dvdv,速率在速率在 v vp p-v vp p+
26、d v+d v 的分子数最多的分子数最多)由由0)(dvvdf及及pVdvvfd可得0)(22v vv v2 2vv+dvvv+dvo o f f(v v)v v1 1（2 2）由由NdNdvvfv)(2121)(vvvvdvvNfN0)(dvvvfNdNvNvdNv同理，同理，022)(dvvfvvpv)(pvf31vo f(v)3 3 三种速率三种速率 222/3224vekTmvfkTmv 平均速率平均速率 mkTdvvvfv 80 方均根速率方均根速率MRTMRTmkTdvvfvv73.133)(022 最概然速率最概然速率MRTMRTmkTvp41.122 pvvv 2vpMRTMR
27、T60.18 2vv可以看出可以看出kTvm23212 231vnmP kTvm23212 nkTP 前面前面说明说明kT1是合理的是合理的32玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式外力场中外力场中,粒子在粒子在dxxxdyyydzzz速度在速度在xxxdvvvyyydvvvzzzdvvv的分子数的分子数3/202kpEEkTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkT对所有速度积分对所有速度积分,dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTEEpk2/30)2(由速度分布由速度分布函数的归一函数的归一化条件化条件,得得dxdydzendNkTEp0得体积元得
28、体积元dxdydzdxdydz内的总分子数内的总分子数:12222223zyxvvvkTmdvdvdvekTmzyx气体分子按能量的分布规律气体分子按能量的分布规律（玻尔兹曼能量分布律）玻尔兹曼能量分布律）33dxdydzendNkTEp0用空间粒子数密度表示用空间粒子数密度表示:kTEpendxdydzdNn0n n0 0为为 E Ep p =0 =0 处的粒子数密度处的粒子数密度重力场中重力场中mghEp重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布kTmghenn0kTmghkTmghepkTennkTp00ppgMRTppmgkTh00lnln-恒温气压公式恒温气压公式34mn nm
29、gdhgdhdP1nkTP kTmghenn0kTdndP dhkTmgndnnmgdhkTdn dhkTmgndnhnn00kTmghnn0ln空气密度空气密度气体压强气体压强P可以看作单位面积上空气柱重量可以看作单位面积上空气柱重量由由dhhPdPPh重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布kTmghenn0另一种推导方法：另一种推导方法：35 20.5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能自由度自由度:气体分子：气体分子：单原子单原子（看作质点）（看作质点）3 3个平动自由度个平动自由度双原子双原子 3 3个平动自由度个平动自由度(质心质心),),2 2个转动自
30、由度个转动自由度(联接方式联接方式)刚性刚性 5 5个自由度（无振动）个自由度（无振动）非刚性非刚性 6 6个自由度个自由度(1(1个振动自由度个振动自由度)确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数ox yzC(x,y,z)多原子多原子3 3个平动自由度个平动自由度,3,3个转动自由度，若干个振动自由度个转动自由度，若干个振动自由度ox yzC(x,y,z)36能量均分定理能量均分定理:在温度为在温度为 T T 的平衡态下的平衡态下,分子每一个可能的自由分子每一个可能的自由度都占有相同的能量度都占有相同的能量 kT/2.kT/2.设分子有设分子有 t t 个
31、平动自由度个平动自由度,r r 个转动自由度个转动自由度,s,s 个振动自个振动自由度由度,由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能 2 2 份能份能量量,该分子的平均能量为该分子的平均能量为:kTik2理想气体理想气体(刚性分子刚性分子),S=0,),S=0,则则单原子单原子双原子双原子多原子多原子kTk2/3kTk2/5kTk3(i=t+r+2s)常温下常温下kTvmk23212例：粒子的平均平动动能例：粒子的平均平动动能37理想气体内能理想气体内能:kTiNNEk21mol1mol理想气体分子数为理想气体分子数为 NA,内能为内能为:RTikT
32、iNEA22质量为质量为 m m的理想气体内能为的理想气体内能为:RTiMmE2分子的平均能量为分子的平均能量为:kTik2(i=t+r+2s)RTiE238 分子热运动分子热运动 踫撞示意图踫撞示意图20.720.7 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程1.1.分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率udnttudnZ22dddu分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率39 由于分子向各个方向运动的概率相同由于分子向各个方向运动的概率相同,所有两分子运动方向的平均夹角将是所有两分子运动方向的平均夹角将是 0 0至至 180180之间的平均值之间的平均值 9 90 0因此因此vu2nvdZ
33、22所以所以即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞.11091010svvvu2090udnttudnZ22分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率常温常压下常温常压下,数量级为数量级为 vMRT60.1sm3310786.110230031.860.1例：例：H H2 2常温常压常温常压253231010104.22106,102nd402.2.平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程:分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值ndzv221pdkT22将将 p=nkTp=nkT 代入上式得代入上式得nvdudnttudnZ
34、2222分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率10310,10zv米710约为分子直径约为分子直径1010-10-10米的米的10001000倍倍41?)()(11vvdvvfdvvvf物理意义？物理意义？11)()(vvdvvfdvvvf11vvNdNNdNv11vvdNvdN速率大于速率大于V V1 1的速率平均值的速率平均值NdNdvvf)(由由例例1 142v vf(v)f(v)温度温度T T相同，哪个是相同，哪个是H H2 2?哪个是哪个是O O2 2?都个是都个是H H2,2,温度不同，哪个温度高？温度不同，哪个温度高？MTMRTMRTmkTvp 41.122V Vp1p1V Vp2p2
35、0 0例例2 243vvekTmvvfNNkTmv22223)2(4)(2()24()pvvppvvevvmkTvp2MRT2pv用用简化运算简化运算例例3 344例例4 4：求求300K300K时，空气中速率在时，空气中速率在v vp p附近和附近和10v10vp p附近附近单位速率区间单位速率区间)/1(smv 的分子数占总的分子数占总分子数的百分比各是多少？分子数的百分比各是多少？解：解：2()24()pvvppvvevvmkTvp2)/29(molgM空气3102930031.82sm/415%2.04151141 eNNpv%102.0415110044210010 eNNpvMRT2NN45例例5 5已知：已知：N N个粒子的速率分布函数为个粒子的速率分布函数为Cvf)(（C C为待定常数）为待定常数）0)(vf)0(0vv)(0vv 求：求：?v平均速率平均速率1)(00NdNdvvf解：解：由由000)(vCdvdvvf10 CvNvdNv000)(dvvvfNdNv22000vCvCdvv01vC 021vv 46例例6 6一瓶气体由一瓶气体由N N个分子组成。试证不论分子速率个分子组成。试证不论分子速率分布函数如何，总有分布函数如何，总有vv 2证：证：0)(2 vvvvvvvv2)(222vvvv22222vv0vv 2
