图的嵌入分布单峰点位置的探讨课件.ppt

1、 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第1页页 2009年年7月月图的嵌入分布单峰点位置的探讨图的嵌入分布单峰点位置的探讨 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第2页页 2009年年7月月什么是图的嵌入什么是图的嵌入 闭曲面 一个紧的，连通的，2-维无界的闭流形 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第3页页 2009年年7月月图的嵌入的定义图的嵌入的定义 一个图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个1-1连续映射 ，使得 的每一个连通分支均为一个2-胞腔。:h GS()Sh G 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第4页页 2009年年7月月自然的问题自然的

2、问题(1)图所能嵌入的曲面是多少,有什么样的性质？(2)图在所给定的曲面上有多少不同的嵌入？湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第5页页 2009年年7月月问题一的回答问题一的回答 图能嵌入到最小亏格至最大亏格的任意一个曲面上.Edmons,可定向情形 Saul Stahl,Ringel et.不可定向情形 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第6页页 2009年年7月月图的最大亏格已经完美的解决图的最大亏格已经完美的解决刘彦佩-R.Ringel-Saul Stahl(不可定向最大亏格示性定理)Xuong 刘彦佩-Jugerman(可定向最大亏格示性定理)陈建二，黄元秋,李

3、德明,任韩 等 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第7页页 2009年年7月月图的平均亏格的概念图的平均亏格的概念 如果我们令离散型随机变量X的取值为最小亏格到最大亏格之间的整数，它的概率为所嵌入曲面数除以总的嵌入数，则X的数学期望就称为图的平均亏格.其中不可定向平均亏格的最优界已经得到 目前可定向平均亏格的界仍然值得研究 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第8页页 2009年年7月月 序列的单峰性及单峰点如果存在一个整数 ,使当 时，有 当 时，有 ,则非负序列 称为单峰的.如果有 使 及 成立，则称 为 的单峰点。iaiM1iiaaiM1iiaaMi1iiaa1ii

4、aa iaia 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第9页页 2009年年7月月 是强单峰的，当且仅当 是单峰的而且对所有 总成立 1987年，Gross,Furst等得到了梯图等的嵌入分布，并且证明了它们的单峰性.图的嵌入分布单峰性质表明图在不同曲面上的嵌入数目存在着一定的规律。ia ia211,iiii aa a 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第10页页 2009年年7月月 1994年Stahl 对可定向情形提出比强单峰性更强的猜想:亏格多项式的根是实根.刘莉,王毅等作为一个附带的应用利用Stahl文中一个计算错误的例子否定了上述猜想,后来我们对这进行了更正,之后

5、我们找到了一系列的反例.湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第11页页 2009年年7月月于是我们进一步的提出下一个问题于是我们进一步的提出下一个问题 如果嵌入分布的单峰性猜想成立的话,那么它的单峰点的位置究竟在那里.下面介绍我所做的工作.湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第12页页 2009年年7月月仙人掌图的单峰点位置仙人掌图的单峰点位置 定理:(Y.Chen Y.Liu T.Wang)仙人掌图的不可定向嵌入多项式为:()()()(1)!(1)1Gvv V GI ydy 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第13页页 2009年年7月月仙人掌图的不可定向平均

6、亏格仙人掌图的不可定向平均亏格()1()2()()21GavgGGG 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第14页页 2009年年7月月仙人掌图的嵌入分布的单峰点位置仙人掌图的嵌入分布的单峰点位置().G(G)为偶数时,这时单峰点为2()1()2()()()212GavgGGGG 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第15页页 2009年年7月月(),.G(G)+1(G)-1为奇数时,这时单峰点为或为22()1()()1()2()1()(),2122()1()()212GavgGGavgGGGGGGG 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第16页页 2009年年7

7、月月 定理二:(J.Chen J.Gross)项链图的嵌入分布序列 为强单峰的,其中 满足如下的关系：,r kC,12(21);rrCr2,22(221);rrrCr112 12,11222,1r kkr kkrkr krrrCCCCr 当3 k时;,1,2,1,rrr rCCC 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第17页页 2009年年7月月项链图的平均亏格项链图的平均亏格1(,0)12(4)2232()2(21)rrravgrrrrN 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第18页页 2009年年7月月222,2,1,3,3,2,4,1,1()()()rrrrrrr r

8、r rr rCC CCC CCCC和和成立。3322211,311222rrrrrrrCCCC32212(1)(1)/62(1)/22rrrrr rrrr2312212()/32()2rrrrrrrr项链图的单峰性证明项链图的单峰性证明 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第19页页 2009年年7月月2222,2()2(221)rrrCr24222122(424221)rrrrrrr2432321242(22)2(23)2(2)3rrrrrrrrrrr24322218826102 223333rrrrrrrrr22321231,1,32()(21)/32()(21)2(21)rrr

9、rrC Crrrrrrrr 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第20页页 2009年年7月月24324814102 2(222)13333rrrrrrrr22432211,2,1,3481410()2 22123333rrrrrrrCC Crrrrr 32220,rrr容易证明当时，2,2,1,3()0rrrCC C 故 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第21页页 2009年年7月月4433212,411222rrrrrrrCCCC43212(1)(1)(2)/242(1)(1)/62(1)/2rrrrr rrrr rr r43232242(22)()2()33rrr

10、rrrrrrr432228282 2()3333rrrrrrrr 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第22页页 2009年年7月月243222,2,428282 2()(221)3333rrrrrC Crrrrrrr265432432416288142112 282()33333333rrrrrrrrrrrr222(1)rrr 223212,3()2 4()/32()2rrrCrrrrr232124102 2233rrrrrr2654324321616444010016402 2(8)9393933rrrrrrrrrr222 4rr 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第

11、23页页 2009年年7月月2,3,2,4()rrrCC C2643243224261694881038112 2(3222)393933333rrrrrrrrrrrrrrrr644242623(613)0,399rrrrr当时，4322810381132223333rrrrrrrrr32211(45)(9 238)(3 211)2333rrrrrrr02,3,2,4()rrrCC C 因此:湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第24页页 2009年年7月月下面证明2,1,14)r kr kr kCCC当rk时，(成立。11212,11121121222(1)!(1)!222!(1)

12、!(1)!(2)!(2)!(2)!22(1)(2)(1)2(1)!(2)!2!(r kkr kkrkr krrrr kr krr kr kr kCCCCrrrk rkkrkkrkrrrkk rk kk rkrk rk 2(1)(234)2(1)2)!r krrkk k 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第25页页 2009年年7月月23,1!2(1)(237)2(1)(2)(1)!(3)!r kr kr krCrrkkkkrk 1,1!2(1)(231)2(1)(1)!(1)!r kr kr krCrrkkkkrk 22222223,222(!)()(1)(234)(1)(234)

13、2(1)(!)(2)!)rkr kr krCrrkrrkk kkrk 224222(1)rkkk 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第26页页 2009年年7月月,1,122222312242(!)(1)(237)(231)(1)!(1)!(1)!(3)!2(1)(2)(1)(231)2(1)(1)(237)2(1)(2)(1)r kr krkr kr krkCCrrrkrkkkrkrkkkrrkkk rrkkkkk 222222(1)(3)(1)(234)(2)(1)(231)(237)9(2)(1)(3)(1)(234)(3.1)krkrrkk rkrrkrkk rkrrrrk

14、 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第27页页 2009年年7月月2242222422422242(1)(3)2(1)(2)2(1)(2)(1)2(1)(1)(3)(1)(2)(2)2(1)(1)(1)rkrkrkrkkrkkkk rkkkkkkkkrkkrkkkkkr 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第28页页 2009年年7月月311(1)(3)(1)(234)2(1)(2)(1)24(1)(2)(231)(1)(237)2(1)4(1)(3)(234)(1)4(2)(1)(2)(231)(2)(1)(237)r kr kr kkrkrrkk kk rkrkkrk

15、kkrkrkkrkrkkrkkkrkrkkkrk 12222343222(1)24622510932281248011864(3.3)r krkk rk rkrk rkrkkkrrk 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第29页页 2009年年7月月2,1,1222222222421222234322!(1)!(2)!(3)!()2(!)9(2)(1)(3)(1)(234)2(1)(1)(1)2(1)246225109322812480r kr kr krkrkr kk krkrkCCCrk rkrrrrkkkkrrkk rk rkrk rkrkkkrr 11864k(3.1)(3.

16、2)由式和可得 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第30页页 2009年年7月月224212222343222(1)(1)(1)2(1)24622510932281248011864rkr kkkkrrkk rk rkrk rkrkkkrrk 132222343222(1)2(1)(1)24622510932281248011864(3.4)r kr krkkkkk rk rkrk rkrkkkrrk 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第31页页 2009年年7月月322(1)(1)(1 1)2(1)(1)(2)(1)1(2)2(1)(1)2r kr kkkkkkkrk

17、rkrkkkk 3223232534234232325423423226(2)(1)()(2558)()2255558822555578(3.5)rkrkrkkkrkrkrkkkr kr kkkrkrkrkrkkkkkr kr kkrkrkrkrkkkkk 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第32页页 2009年年7月月取式中一部分，由不等式可得32222343222(1)(1)24622510932281248011864r kkkkk rk rkrk rkrkkkrrk 23543422223222108244211042976248011064r kkrkrkkk rk rk

18、rkrkkrrk 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第33页页 2009年年7月月323223()8()2()21()23()76()24()80()64(3064)krkkrkrkkrkr rkkkrk rkr krkrkkrk3322()()822123762480rk krkkrkkrkkr32232()()2()21()2(31)24()(5280)()()2()21()24()rk krkkkrk rkkkkrkrk krkkkrk rkkr 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第34页页 2009年年7月月23222()22124()(2)(2124)0rkk

19、kkrkkkk2,1,1()0r kr kr kCCC故所以项链图为强单峰的.湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第35页页 2009年年7月月单峰点的位置单峰点的位置312,1(2)!2(21)(1)2(1)(1)!(1)!nnn nnCnnnnnn2122,2,2(2,3,4.)(2)!2(21)(434)2(1)!(22)!n kn kr kn krnnnCCnnkk kknk 当其中时312,23212,3(2)!2(21)(2)2(2)(1)(2)!(2)!2(21)(5)2(2)(3)(3)!(1)!nnn nnnn nnCnnnnnnnCnnnnnn 湖南大学数学院湖南

20、大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第36页页 2009年年7月月2,12,2311(1)!(2)!2(2)!(2)(21)(1)2(1)2(1)(21)(2)2(2)(1)(21)(1)(6)(1)(2)2nnnnnnnnnnCCnnnnnnnnnnnnnnnn 12,12,23(1)(2)2(1)(2)(21)(1)!(2)!(21)(1)(24)02(2)!nn nn nnnnnnnnnCCnnnn1221nn容易证明当n2时成立。湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第37页页 2009年年7月月2,12,2n nn nCC从而2,22,33 1(3)!(2)!2(2)!nnnnnnn

21、CCn122(3)(2)(1)(21)(2)2(2)(1)2(2)(1)(21)(5)2(2)(3)(2)(1)(21)(116)2(2)(1)(3)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 22nnn 容易证明当时，成立。湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第38页页 2009年年7月月2,22,331(3)!(2)!2(2)!n nn nnnnCCn2222(2)(1)(21)(116)2(2)(1)(3)(2)(1)(21)(116)2(2)(3)(2)(1)311160nnnnnn nnnnnnnnn nnnnnn2,22,3n nn nCC从而 湖南大学数学院湖南

22、大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第39页页 2009年年7月月2,2,12,22,32,22,n kn nn nn nn nn kCCCCCC由于序列具有单峰性且故为序列的单峰点 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第40页页 2009年年7月月223,21,21(2,3,4.)(21)!2(21)(436)2(1)!(23)!n kn kr knkrnnnCCnnkk kknk 当其中时31221,132121,2(21)!2(21)(3)2(1)(1)!(2)!(21)!2(21)2(2)(1)(2)!(1)!nnnnnnnnnCnnnnnnnCnnnnnn 湖南大学数学院湖南大学数

23、学院 陈仪朝陈仪朝 第第41页页 2009年年7月月3321,334121,4(21)!2(21)(3)2(3)(2)(3)!(21)!2(21)(6)2(3)(4)(4)!(1)!nnnnnnnnnCnnnnnnnCnnnnnn21,221,131(1)!(2)!2(21)!nnnnnnnCCn1232(21)2(2)(1)(21)(3)2(1)(21)(3)2(1)nnnnnnnnnnnnnn 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第42页页 2009年年7月月(21)(3)(21)(1)2(21)(1)nnnnnn 21,221,1nnnnCC从而 湖南大学数学院湖南大学数学院

24、陈仪朝陈仪朝 第第43页页 2009年年7月月21,321,232(2)!(3)!2(21)!nnnnnnnCCn12(2)(1)(21)(3)2(3)(2)(3)(2)(21)2(2)(1)(21)(2)(7)6nnnnnnnnnnnnnnnnn n 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第44页页 2009年年7月月21,321,221,321,27(21)(2)(7)60,;8(21)(2)(7)60,;nnnnnnnnnnnn nCCnnnn nCC当2时，从而当时,从而21,321,4331(4)!(3)!2(21)!(4)(3)(2)(1)(21)(3)2(3)(2)2(3

25、)(2)(1)(21)(6)2(3)(4)nnnnnnnnnCCnnnnnnnnnnnnnnnnn 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第45页页 2009年年7月月21222(21)(3)(2)(1)13122(4)(3)(2)(1)(21)(3)(2)(1)1312(21)(4)(3)(2)(1)(21)(3)(2)(1)200nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn21,321,4nnnnCC从而21,21,321,221,37nknnnnnnCnCCC由于序列具有单峰性，当2时，成立，湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第46页页 2009年年7月月2

26、1,221,21,221,321,421,321,8nnnknnnnnnnnnkCCnCCCCC为序列的单峰点；当时，成立，为序列的单峰点；湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第47页页 2009年年7月月由于序列 具有单峰性，故一定存在N,使得 且 。其中 就是该序列的单峰点。利用这一性质,可以计算得如下结果：,|11r kCkr ,1,2,1.rrrNrrCCCC 11N r ,r NC4,215rr krrCC 当2时,为序列的单峰点;5,216rr krrCC当时,为序列的单峰点 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第48页页 2009年年7月月(2,0)(2,0)(4,0)(21,0)(21,0)(3,0)(1,0)(1,0)()22,(2)()3(),()4()()22,(17)()23,(7)()3()()2(),()1(avgnavgavgavgnavgnavgavgavgNnnNNNnnNnnNNN 峰点峰点峰点峰点峰)点项链图的嵌入分布的单峰点位置 湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第49页页 2009年年7月月难道这是一个巧合吗难道这是一个巧合吗 如果单峰性猜想成立,那么它的单峰点跟是否就为平均亏格的上取整或下取整?湖南大学数学院湖南大学数学院 陈仪朝陈仪朝 第第50页页 2009年年7月月谢谢各位!