1、1近似方法近似方法-微扰微扰&变分变分华中师范大学物理学院华中师范大学物理学院2010级基地班级基地班易渊易渊 韩硕韩硕 赵腾赵腾 曹杰曹杰 林成俊林成俊 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：简单问题。如：（1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题；（2 2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题；（3 3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题；（4 4）氢原子问题。）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际物理问题，物理问题，Schr
2、odinger Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton Hamilton 量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。显得特别重要。近似方法近似方法-微扰微扰&变分变分体系体系 Hamilton Hamilton 量不是时间的显函数量不是时间的显函数定态问题定态问题 1.1.定态微扰定态微扰 2.2.变分法。变分法。定态微扰理论(非简并
3、)可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系做微扰体系。假设体系 Hamilton Hamilton 量不显含时间，而且可量不显含时间，而且可分为两部分：分为两部分：VHH)0(nnnEH)0()0()0()0(nnnnEH)2()1()0()0()1()1()0(nnnnnnnnEEEE0)()0()0()0(nnnEH)0()1()1()0()0()()(nnnnnVEEH)0()2()1()1()2()0()0()()(nnnnnnnEVEEH)1()0()2()0()0()1(nnnnnnVEVE各级能量修正各级近似
4、下的能量本征方程一级近似)0()1(m)1(mmnc)0()0()1()0()1()0()0()()(mnnmmmnnVEcEH)0()0()1()1()0()0()(nmmnmnmnnmnmVVVEcEE)0()0()1(nnnnnVVEnm时，)0()0()1(mnmnmEEVcnm时，二级近似nmmnmnnnnEEVVE)0()0(2)1()0()2()1()0()1(nnnc)1()1()0()1()1()0()0()0()1()0(nnnnnnnnnnnnn0)*1()1(nncc)0()0()0()1(mnmmnmnnEEVEVHH)(0mmmc)0(mmkkmmmmmmmccEE
5、EcVEckm)0()0(k)0()0()0(V)()(得：再左乘把能量和系数展开nmccccccEEEEmnmmmm,0,1n,)0()0()2()1()0()2()1()0(时观察零级项有个本征值及其本征函数求第当k=n时nnnVE)1(mmkkknncccEEE)0(km)1()0()0()0()1(V)(当kn时 )0()0()1(knknkEEVc而 还没有确定，且 必须在含有一级小项的情况下归一化，得到：)1(nc)1()0(nnn0)1(nc)0()0()0()1(mnmmnmnnEEVmmmkkkknnncccccEEEE)(V)()1()0(km)2()1()0()0()0(
6、)1()2(当k=n时 nmmnnmmmnmnEEVcVE)0()0(2)1()2(当kn时 )(1)0()0()0()0()0()0()2(knnnknmmnmnkmknkEEVVEEVVEEc而 还没有确定，且 必须在含有二级小项的情况下归一化：)2(nc)2()1()0(nnnn)0(2)0()0(2)0(2)0()0()0()0()0()0()0()2(2)0()0(2)1()1()0()2()2()0()2()2()0()1()1()0()1()1()0()0()0()(21)()()(21211nmmnmnnmmnnnmnmmkmnknknmknnmmnmnnnnnnnnnnnnn
7、nnnnnnnEEVEEVVEEEEVVEEVc简并态微扰klmnmlnknkfkknkafEE)0()0()0(k)0()0()0(,且重简并)1()1()0()0()0()1(k)1()0()1()1()0()0()()()(nknkfknnkaVEVEEH左乘0)()1(kkkkkkaEV这是 E(1)的 fk 次方程由V 的厄米性方程有fk个实根knfE,2,1,)1(0)()1(kkkkkkaEVkknfkaE,2,1,)1(对应的解记为每一个对应的新的零级波函数为kfkkkna)0()0(对应的能量为)1()0(nnEE若这若这k个根都不相等，那末一级微扰就可个根都不相等，那末一级
8、微扰就可以将以将 k 度简并完全消除；若度简并完全消除；若En(1)有几个有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。全分裂开来。简并微扰的一些性质(1)新的零级波函数正交归一0)()1(kkkknkkaEV取复共轭0)(,)(,0)(*)1()1(kkkknkkkkkkkkkknkkaEVkkVVaEV求和对两式相减求和对kakakk*0)(*)1()1(kkknnaaEEkkknnaa*)0()0(2)以新的零级波函数 为基底的fk维子空间中 是对角化的 )0(nV)1()1(*)
9、(nkknkkkkkkkkkkkkkkkkknnEaEaVaaVaankVnkaaV0)()1(kkkknkkaEV这个结论并不是偶然，因为简并微扰的第一步就是在该简并能级下的各个简并态所张开的子空间中做一个幺正变换，使得 对角化V14微扰论虽然是量子力学近似最有效的方案之一，但是它也有很多局限性。首先要在哈密顿量中分出H0和微扰项，而且H0的本征值和本征函数也要给定。其次如果要算高阶近似，计算量实际非常大。另外实际计算中，往往出现发散困难，即虽然在计算最低级近似时，微扰论的结果收敛，但在计算高阶修正后，微扰矩阵元的积分发散。二微扰级数的收敛性质是很难证明的。变分法经典力学=哈密顿方程量子力学
10、=薛定谔方程0S1*ddHH在约束条件下的 取极值条件是：0*ddH是约束条件 的拉格朗日不定乘子1*dH是复函数 与 视为独立变量*利用H的厄米性0)()()()(*HHdHHd与 是彼此独立并且任意的可以得出*,HH这也就是S-E，这里的拉个朗日乘子也就是体系的能量本征值也可以反过来证明，凡满足S-E的本征函数，必定能是能量取极值。设1*dEH且显然dHE*让 与 做微小变化*,为了保证归一化条件有0)(*d即dd2*)(能量相应的作如下变化dHEEE)()(*)(*HddEE)*2HddEE用包含H在内的一组力学量完全集的共同本征态 展开k是无穷小量kkkkaa,kkkkkaEaEE22
11、由于上面式子不含变分的线性项，当变分为零的时候 一定取极小值。E也就是说用S-E求出的 与 一定使得能量取得极小值*也就是说变分原理和S-E等价，从应用上讲，变分原理可以用于解决如下情况：根据具体问题的特点，先对波函数做一定的限制，比如数学形式上简单，在物理上也比较合理的试探波函数，然后给出在该试探波函数的形势下求出能量平均值。当能让取得极值的时候也就定出在所取的试探形式下的最好波函数也就是说用变分法求出来的能量的极值总是大于体系的基态能量。即给出了基态能量的一个上限变分法解基态具体做法：(1)试探波函数的选取(2)计算能量平均值(3)将 对 取极小值(4)将得到的 的值带回 和 ，即得到基态
12、能量和波函数的近似值 )(ddHH*)()(H0)(0H)(H变分法解激发态若取第一激发态为 要求其余基态波函数 正交。如果不正交则构造为10),(01011若要求第二激发态则要求试探波函数与已求出的第一激发态和基态波函数都正交。可以看出，用变分法求解基态波函数和能量是比较方便的，而处理激发态就比较麻烦了。而且一般来说近似性也逐渐变差。变分法小结 变分法只能给出能量上限 优点：计算简单 缺点：无法估算误差大小 变分法可采用单参数也可以采用多参数 重点还是在于试探波函数的选取定态微扰习题解答主讲人：李博文例一、设两个“好”的无微扰的零级波函数为：000ab=+其中，和（满足归一化）由书上式6.2
13、2决定。证明：（a）是正交的。0（b）00+-H=0（c）001H=E由书上式6.27决定1、为什么要选择零级近似波函数？2、引入零级波函数到底有什么好处？思考：思考：例二、某能量体系算符为 ，0H有两个能级，二重简并，无简并，受微扰 作用后,能量算符（表象)变成01E（）02E（）0HH(0)1(0)01(0)2EHHHEE（a）用微扰公式求能级（二级近似）；（b）求能级的精确值，再作近似展开，和微扰论结果比较。201222222222222EEHH=H=0H=0 H=H=a,HH=bE1 E=E+H+（0）（0）（0）（0）（a）以、表示H 的正交归一化本征函数，前二者相应于能级，后者相应
14、于能级。由式（1）可知微扰矩阵元为 ，能级无简并，可按非简并态微扰论公式直接写出结果：222221222211221112H+HEE=EEEE E=0E=0EEabab（0）（0）（0）（0）（0）（0）（1）（2）（0）（0）（）能级为二重简并，所以，120E+EHHH（0）（0）注意这三条能级的和为（2），和微扰前一样。其原因为的迹（对角元素之和）为0，和 的迹相等。2211112 E=EE+EEab（0）（0）（0）（0），1122211212221212bHE-EdetH-E=E-E=0E-EE-EE-EE-E-a+b=0 E=E1E+EE-E4(a+b)2（0）（0）（0）（0）（0
15、）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（）的精确本征值由下式决定：（）即：（）（）（）（）解为：和（）2221222222121212222211212214 a+bE-Ea+bE-E+4 a+bE-E+E-Ea+ba+bE=EE+E+E-EE-E（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）（0）如果（）（），可以作近似展开（）（）代入上式即得：，和微扰论得到的结果式一致。224131128xxx 习题6.14找出一维谐振子能级的相对论（最低级的）修正。解：对能量的相对论修正对谐振子谐振子第n态由(注意到只有含相同数目的升降阶算符的项才存在)习题6.24
16、解：由6.72式，l=0时 由6.67式，当j=1/2时总能量精细结构部分这与6.82式中方括号内不确定项取1的结果一致变分原理 习题 1.求一维简谐振子的 的最优上限，取以下形式的试探波函数 ，其中 由归一化所决定，是可调函数。解：归一化波函数求 ：得 动能项：gsE22)(bxAxAbA 则哈密顿量为：对可变参数b求导：0|gsgsEH 2.(1)证明下面关于变分原理的推论：如果，则 ，其中 是第一激发态的能量。因此，如果我们找到一个试探函数和严格的基态正交的话，我们就能得到第一激发态的上限。一般来说，很难保证 是 正交的，因为我们并不知道后者。然而，如果势能 是 的偶函数，则基态很可能是
17、偶函数，因此任意试探奇函数将自动满足推论的条件。(2).求一维简谐振子的第一激发态能量的最优上限，使用以下函数为试探函数：解：任意波函数可以用能量本征函数展开为 gsEgs)(xVx2)(bxAxex其中，为基态波函数，由于则有：基态的展开系数为0，则有：于是有 (2).归一化试探函数：参考资料最年轻中国科学院院士小互动为啥选择潘建伟？量子物理和量子信息研究方面成绩斐然多粒子量子纠缠态隐形传输与三旋理论简单介绍 什么是量子纠缠？量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇妙现象，即量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇妙现象，即对一个子系统的测量结果无法独立于对其他子系统的测量对一个子系统的测量
18、结果无法独立于对其他子系统的测量参数。参数。发展历史 50年代，隐变量理论。目的在于对量子力学中不年代，隐变量理论。目的在于对量子力学中不能对某些观测量作出精确预言的事实归结为还不能对某些观测量作出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量。能精确知道的隐变量。1964年年Bell不等式。局域隐变量理论结果满足不等式。局域隐变量理论结果满足Bell不等式，而量子力学的预言将超出不等式，而量子力学的预言将超出Bell不等式的限不等式的限制。一个量违背了制。一个量违背了Bell不等式为量子的，服从为经不等式为量子的，服从为经典的。不服从典的。不服从Bell不等式才与纠缠有关系不等式才与纠缠有关系a
19、bbcac 奥地利奥地利zeilinger小组潘建伟等量子纠缠应用于量子小组潘建伟等量子纠缠应用于量子隐形传态。隐形传态。1997年年12月，潘建伟与奥地利科学家赛林格和荷月，潘建伟与奥地利科学家赛林格和荷兰学者波密斯特等合作，首次实现了量子态的隐兰学者波密斯特等合作，首次实现了量子态的隐形传送，成功地将一个量子态从甲地的光子传送形传送，成功地将一个量子态从甲地的光子传送到乙地的光子上。该成果被誉为到乙地的光子上。该成果被誉为“量子信息实验领量子信息实验领域的突破性进展域的突破性进展”，被公认为量子信息实验领域的，被公认为量子信息实验领域的开山之作，欧洲物理学会将其评为世界物理学的开山之作，欧
20、洲物理学会将其评为世界物理学的年度十大进展，美国年度十大进展，美国科学科学杂志将其列为年度杂志将其列为年度全球十大科技进展。全球十大科技进展。量子态隐形传输即位将原粒子物理特性的信息发向远处的另一个粒子，该粒子在接收到这些信息后，会成为原粒子的复制品 潘建伟教授已实现了五粒子纠缠态以及终端开放的量子态隐形传输 在实验上还演示了一种新的“终端开放”的量子态隐形传输，即在不确定选择某个粒子作为量子态输出终端的情况下，先将一个粒子的量子态隐形传输到另外多个纠缠着的粒子上，尽管这些粒子分别在相距遥远的不同地点，但只要通过适当操作，仍可将输入的量子态在任意选定的一个粒子上读出。这种新颖的量子隐形传输态正
21、是量子纠错和分布式量子信息处理中必须掌握的一项关键技术何为三旋？三旋是决定物性的内禀运动，三旋理论不仅仅是在阐释西方学者所主张的超弦理论，它在一定程度上还超越了西方弦理论家的视野，显示出其独特的创新思维它将闭合的弦(弦圈、环量子)称为类圈体。一维的弦圈，除了超弦理论所说的各种外在运动；还应有三旋理论所说的体旋绕圈面内轴线的旋转，面旋绕垂直于圈面的圈中心轴线的旋转，线旋绕圈体内环状中心线的旋转这三种“内禀”运动 弦圈的“外在运动”决定物理学所观察的粒子的“运动特性”，弦圈的“内禀运动”(三旋运动)则决定粒子的“物性”，或者说，集中地表现在“圈态密码”观念的提出。而基本粒子的不同种类(基本粒子连同赫格斯粒子在内也恰恰有62种)及其各自的性质，则都由不同的三旋状态组合决定；它们还分别对应于一定的流形的固有拓扑性质。三旋理论指出三旋的体旋有二种状态(正、反)，面旋有二种状态(正、反)，线旋中的平凡线旋有二种状态(正、反)，线旋中的非平凡线旋有四种状态(左斜：正、反，右斜；正、反)；按单动(只做一种旋动)、双动(同时做两种旋动)、三动(同时做三种旋动)可以有62种不同的三旋状态组合.。发展前景 会形成超级量子计算机和“万无一失”的密码系统结束语
