1、要点梳理要点梳理1.1.命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的在数学中用语言、符号或式子表达的,能够能够_ _ _ _的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题.其中其中_的语句叫真命的语句叫真命 题题,_,_的语句叫假命题的语句叫假命题.1.21.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识基础知识 自主学习自主学习判断真判断真假假判断为真判断为真判断为假判断为假2.2.四种命题及其关系四种命题及其关系 (1)(1)四种命题四种命题 (2)(2)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系 命题命题表述形式表述形式原命题原命题若若p p,则则q q逆命题逆命
2、题_否命题否命题_逆否命题逆否命题_若若q q,则则p pqp则则若若,pq则则若若,(3)(3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题,它们有它们有_的真假性的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假它们的真假 性性_._.3.3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件 (1)(1)如果如果p pq q,则则p p是是q q的的_,_,q q是是p p的的_;_;(2)(2)如果如果p pq q,q qp p,则则p p是是q q的的_._.4.4.特别注意特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件命题的否命题是既否
3、定命题的条件,又否又否 定命题的结论定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论而命题的否定是只否定命题的结论.相同相同没有关系没有关系充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件基础自测基础自测1.1.有下列四个命题有下列四个命题:“若若x x+y y=0,=0,则则x x、y y互为相反数互为相反数”的逆命题的逆命题;“若若a a b b,则则a a2 2 b b2 2”的逆否命题的逆否命题;“若若x x-3,-3,则则x x2 2+x x-60”-60”的否命题的否命题;“若若a ab b是无理数是无理数,则则a a、b b是无理数是无理数”的逆命题的逆命题.其中真命题是其中真命题是
4、_._.解析解析 正确正确,错错,错错,在在中中,令令 则则a ab b=2=2是有理数是有理数,故故错错.,2,)2(2ba2.2.（20092009靖江调研）靖江调研）“x x1”1”是是“x x2 2 x x”的的 _条件条件.解析解析 x x11x x2 2 x x,x x2 2 x xx x1.1.3.3.(2009(2009苏、锡、常、镇四市模拟苏、锡、常、镇四市模拟)已知集合已知集合A A=x x|x x5,5,集合集合B B=x x|x x a a,若命题若命题“x xA A”是命题是命题 “x xB B”的充分不必要条件的充分不必要条件,则实数则实数a a的取值范围是的取值范
5、围是 _._.解析解析 由题意可得由题意可得A A是是B B的真子集的真子集,故故a a55为所求为所求.a a5|a a-b b|,|,当点当点D D与点与点 B B重合时重合时|a a-x xb b|=|=|a a-b b|,|,反之也成立反之也成立.OAOBODBA充要充要【例例1 1】(2010(2010宿迁调研宿迁调研)判断命题判断命题“若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”的逆否命题的真假的逆否命题的真假.可先写出该命题的逆否命题可先写出该命题的逆否命题,再判断其真假再判断其真假 性性;也可以利用命题间的关系也可以利用命题间的关系,证明其等价命题间
6、的证明其等价命题间的 真假性；还可以利用充要条件与集合的包含关系、真假性；还可以利用充要条件与集合的包含关系、相等关系解决相等关系解决.解解 方法一方法一 写出逆否命题写出逆否命题,再判断其真假再判断其真假.原命题原命题:若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根,逆否命题逆否命题:若若x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,则则a a0,0,典型例题典型例题 深度剖析深度剖析分析分析判断如下判断如下:x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,=1+4=1+4a a0,0,“若若x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,则则a a0”0,0
7、,方程方程x x2 2+x x-a a=0=0的判别式的判别式=4=4a a+10,+10,方程方程x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根,故原命题故原命题“若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”为真命题为真命题.又因原命题与其逆否命题等价又因原命题与其逆否命题等价,所以所以“若若a a00，则，则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”的逆否命题为真的逆否命题为真命题命题.,041 a方法三方法三 利用充要条件与集合的包含、相等关系判断利用充要条件与集合的包含、相等关系判断.命题命题p p:a a0,0,q q:x x2 2+x x-a
8、a=0=0有实根有实根,p p:A A=a aR R|a a00,q q:B B=a aR R|方程方程x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根=a aR R|a a .即即A AB B,“,“若若p p则则q q”为真为真,“若若p p,则则q q”的逆否命题的逆否命题“”“”为真为真.“若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”的逆否命题为真的逆否命题为真.41 pq 则则若若,方法四方法四 设设p p:a a0,0,q q:x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根,则则 p p:a a0,0,q q:x x2 2+x x-a a=0=0无实根
9、无实根,p p:A A=a aR R|a a0,0,q q:B B=a aR R|方程方程x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根=a aR R|a a .B BA A,“”“”为真为真,即即“若方程若方程x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,则则a a0”00且且a a1)1)在其定义域内是减函数在其定义域内是减函数,则则logloga a2 2 0”00且且a a1)1)在定义域内不是减函数在定义域内不是减函数【例例2 2】指出下列命题中】指出下列命题中,p p是是q q的什么条件的什么条件(在在“充分充分 不必要条件不必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充
10、要条充要条 件件”、“既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件”中选出一种作答中选出一种作答).).(1)(1)在在ABCABC中中,p p:A A=B B,q q:sin:sin A A=sin=sin B B;(2)(2)对于实数对于实数x x、y y,p p:x x+y y8,8,q q:x x22或或y y6;6;(3)(3)非空集合非空集合A A、B B中中,p p:x xA AB B,q q:x xB B;(4)(4)已知已知x x、y yR R,p p:(:(x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=0,=0,q q:(:(x x-1)(-1)(y y-2)=0.
11、-2)=0.首先分清条件和结论首先分清条件和结论,然后根据充要条件的然后根据充要条件的 定义进行判断定义进行判断.分析分析解解 (1)(1)在在ABCABC中中,A A=B Bsinsin A A=sin=sin B B,反之反之,若若sin sin A A=sin=sin B B,因为因为A A与与B B不可能互补不可能互补(因为三因为三角形三个内角和为角形三个内角和为180180),),所以只有所以只有A A=B B.故故p p是是q q的充要条件的充要条件.(2)(2)易知易知,p p:x x+y y=8,=8,q q:x x=2=2且且y y=6,=6,显然显然 的充分不必要条件的充分
12、不必要条件,由原命题和逆否由原命题和逆否命题的等价性知命题的等价性知,p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)(3)显然显然x xA AB B不一定有不一定有x xB B,但但x xB B一定有一定有x x A AB B,所以所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(4)(4)由已知得由已知得p p:x x=1=1且且y y=2,=2,q q:x x=1=1或或y y=2,=2,所以所以p pq q但但q pq p,故故p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.pqq 是是即即,ppq 但但,跟踪练习跟踪练习2 2 (2010(2010扬州模拟扬州模拟)指
13、出下列各组命题中指出下列各组命题中,p p是是q q的什么条件？的什么条件？(1)(1)p p:(:(x x-2)(-2)(x x-3)=0;-3)=0;q q:x x-2=0.-2=0.(2)(2)p p:四边形的对角线相等四边形的对角线相等;q q:四边形是平行四边形四边形是平行四边形.解解 (1)(1)(x x-2)(-2)(x x-3)=0 -3)=0 x x-2=0,-2=0,x x-2=0-2=0(x x-2)(-2)(x x-3)=0,-3)=0,p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(2)(2)四边形的对角线相等四边形的对角线相等 四边形是平行四边形四边形是平行四边
14、形,四边形是平行四边形四边形是平行四边形 四边形的对角线相等四边形的对角线相等.p p是是q q的既不充分又不必要条件的既不充分又不必要条件.【例例3 3】(2009(2009江苏江苏)设设和和为不重为不重合的两个平面合的两个平面,给出下列命题给出下列命题:若若内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线分别平行于内的两条直内的两条直 线线,则则平行于平行于;若若外一条直线外一条直线l l与与内的一条直线平行内的一条直线平行,则则l l和和 平行平行;设设和和相交于直线相交于直线l l,若若内有一条直线垂直于内有一条直线垂直于 l l,则则和和垂直垂直;直线直线l l与与垂直的充分必要条件是垂直
15、的充分必要条件是l l与与内的两条内的两条 直线垂直直线垂直.上面命题中上面命题中,真命题的序号真命题的序号_(_(写出所有真命题的写出所有真命题的 序号序号).).解析解析 命题命题是两个平面平行的判定定理，正确是两个平面平行的判定定理，正确;命命题题是直线与平面平行的判定定理是直线与平面平行的判定定理,正确；命题正确；命题中中在在内可以作无数条直线与内可以作无数条直线与l l垂直垂直,但但与与只是相交只是相交关系关系,不一定垂直不一定垂直,错误错误;命题命题中直线中直线l l与与垂直可推垂直可推出出l l与与内两条直线垂直，但内两条直线垂直，但l l与与内的两条直线垂直内的两条直线垂直推不
16、出直线推不出直线l l与与垂直，所以直线垂直，所以直线l l与与垂直的必要不垂直的必要不充分条件是充分条件是l l与与内两条直线垂直内两条直线垂直.跟踪练习跟踪练习3 3 (2009(2009广东改编广东改编)给定下列四个命题给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个那么这两个 平面相互垂直平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的
17、交线那么一个平面内与它们的交线 不垂直的直线与另一个平面也不垂直不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中其中,为真命题的是为真命题的是_._.解析解析 当两个平面相交时当两个平面相交时,一个平面内的两条直线一个平面内的两条直线 可以平行于另一个平面可以平行于另一个平面,故故不对不对;由平面与平面垂由平面与平面垂 直的判定可知直的判定可知正确正确;空间中垂直于同一条直线的空间中垂直于同一条直线的 两条直线可以相交也可以异面两条直线可以相交也可以异面,故故不对不对;若两个平若两个平 面垂直面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直只有在一个平面内与它们的交线垂直的直 线才与另一个平面垂直线才与另一
18、个平面垂直,故故正确正确.答案答案 【例例4 4】(14(14分分)已知抛物线已知抛物线C C:y y=-=-x x2 2+mxmx-1-1和点和点A A(3,0)(3,0),B B(0,3).(0,3).求证求证:抛物线抛物线C C与线段与线段ABAB有两个不同交点的有两个不同交点的 充要条件是充要条件是33m m 此类问题的证明应从两方面进行此类问题的证明应从两方面进行,即证明充即证明充 分性与必要性分性与必要性.解解 必要性必要性 由已知得线段由已知得线段ABAB的方程为的方程为y y=-=-x x+3(0+3(0 x x33).).由于抛物线由于抛物线C C和线段和线段ABAB有两个不
19、同的交点有两个不同的交点,所以方程组所以方程组 (*)有两个不同的有两个不同的 实数解实数解.2.2分分 )(30312xxymxxy分析分析.310消元得消元得x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4+4=0(0=0(0 x x3).3).设设f f(x x)=)=x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4+4,则有则有解之得解之得33m m 6 6分分 充分性充分性当当33m m 时时,321004139304004412mmffm)()()()(.310310 8 8分分 所以方程所以方程x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4+4=0=0有两个不等的实根有两个不等
20、的实根x x1 1,x x2 2,且且00 x x1 1 x x2 23,3,方程组方程组(*)有两组不同的实数解有两组不同的实数解.综上综上,抛物线抛物线y y=-=-x x2 2+mxmx-1-1与线段与线段ABAB有两个不同交点的有两个不同交点的充要条件是充要条件是33 b b，则，则acac2 2 bcbc2 2(a a,b b R R)”)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命真命 题的个数为题的个数为_个个.解析解析 若若a a b b,c c2 2=0,=0,则则acac2 2=bcbc2 2.原命题为假原命题为假.若若acac2 2 bcbc2
21、 2,则则c c2 200且且c c2 20,0,则则a a b b.逆命题为真逆命题为真.又又逆命题与否命题等价逆命题与否命题等价,否命题也为真否命题也为真.又又逆否命题与原命题等价逆否命题与原命题等价,逆否命题为假逆否命题为假.若一个数的平方是正数若一个数的平方是正数,则它是负数则它是负数2 24.4.(2009(2009天津改编天津改编)设设x xR R,则则“x x=1”=1”是是“x x3 3=x x”的的 _条件条件.解析解析 当当x x=1=1时时,x x3 3=x x成立成立.若若x x3 3=x x,x x(x x2 2-1)=0,-1)=0,得得x x=-1,0,1;=-1
22、,0,1;不一定得到不一定得到x x=1.=1.5.5.(2010(2010徐州模拟徐州模拟)已知命题已知命题p p:关于关于x x的方程的方程x x2 2-ax ax +4=0 +4=0有实根有实根;命题命题q q:关于关于x x的函数的函数y y=2=2x x2 2+axax+4+4在在3,3,+)+)上是增函数上是增函数.若若p p或或q q是真命题是真命题,p p且且q q是假命题是假命题,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 命题命题p p等价于等价于=a a2 2-160,-160,a a-4-4或或a a4;4;命题命题q q等价于等价于 a a-12.-1
23、2.p p或或q q是真命题是真命题,p p且且q q是假命题是假命题,则命题则命题p p和和q q一真一假一真一假.实数实数a a的取值范围为的取值范围为(-4,4)(-,-12).(-4,4)(-,-12).,34 a充分不必要充分不必要(-4,4)(-,-12)(-4,4)(-,-12)6.6.(2009(2009安徽改编安徽改编)“a a+c c b b+d d”是是“a a b b且且c c d d”的的 _条件条件.解析解析 由于由于a a b b,且且c c d d a a+c c b b+d d,而而a a+c c b b+d d a a b b且且c c d d,所以所以“a
24、 a+c c b b+d d”是是“a a b b且且c c d d”的必要不充分条件的必要不充分条件.必要不充分必要不充分7.7.(2010(2010青岛模拟青岛模拟)“a a0”0”是方程是方程“axax2 2+2+2x x+1+1=0 =0 至少有一个负数根至少有一个负数根”的的_条件条件.解析解析 当当a a00,0,由韦达定理知由韦达定理知x x1 1x x2 2=0,=0,故此一元二次方程有一个正根和一个负根故此一元二次方程有一个正根和一个负根,符合题意符合题意;当当axax2 2+2+2x x+1+1=0=0至少有一个负数根时至少有一个负数根时,a a可以为可以为0,0,因为当因
25、为当a a=0=0时时,该方程仅有一根为该方程仅有一根为 ,所以所以a a不一定小于不一定小于0.0.由上述推理可知由上述推理可知,“,“a a0”0”是方程是方程“axax2 2+2+2x x+1+1=0=0至少至少 有一个负数根有一个负数根”的充分不必要条件的充分不必要条件.充分不必要充分不必要a121 8.8.(2009(2009广东汕头二模广东汕头二模)已知命题已知命题p p：方程：方程a a2 2x x2 2+axax-2-2 =0 =0在在-1,1-1,1上有解上有解;命题命题q q:只有一个实数只有一个实数x x满足不满足不 等式等式 x x2 2+2+2axax+2+2a a0
26、0.若命题若命题“p p或或q q”是假命题是假命题,则则a a 的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 由由a a2 2x x2 2+axax-2=0,-2=0,得得(axax+2)(+2)(axax-1)=0,-1)=0,显然显然a a0,0,x x-1,1-1,1,故故 .axax12 或或,|1112 aa或或|a a|1.|1.只有一个实数只有一个实数x x满足不等式满足不等式x x2 2+2+2axax+2+2a a00,即抛物线即抛物线y y=x x2 2+2+2axax+2+2a a与与x x轴只有一个交点轴只有一个交点,=4=4a a2 2-8-8a a=0,=0,a a=
27、0=0或或a a=2.=2.命题命题“p p或或q q”为真命题时为真命题时,|,|a a|1|1或或a a=0.=0.命题命题“p p或或q q”为假命题为假命题,a a的取值范围为的取值范围为 a a|-1|-1a a00或或00a a1.1.答案答案 -1-1a a00或或00a a119.9.(2010(2010山东聊城模拟山东聊城模拟)设设f f(x x)=)=x x3 3+,+,则对任意实数则对任意实数a a、b b,“,“a a+b b00”是是“f f(a a)+)+f f(b b)0)0”的的_条件条件.解析解析 显然显然f f(x x)=)=x x3 3+为奇函数为奇函数,
28、且单调递增且单调递增.于是若于是若a a+b b00,则则a a-b b,有有f f(a a)f f(-(-b b),),即即f f(a a)-)-f f(b b),),从而有从而有f f(a a)+)+f f(b b)0)0.反之反之,若若f f(a a)+)+f f(b b)0)0,则则f f(a a)-)-f f(b b)=)=f f(-(-b b),),则则a a-b b,即即a a+b b00.故为充要条件故为充要条件.)(log123 xx充要充要)(log123 xx二、解答题二、解答题10.10.(2010(2010镇江模拟镇江模拟)分别写出下列命题的逆命题、分别写出下列命题的
29、逆命题、否命题、逆否命题否命题、逆否命题,并判断真假并判断真假.(1)(1)当当c c0 bcbc,则则a a b b;(2)(2)若若abab=0,=0,则则a a=0=0或或b b=0.=0.解解 (1)(1)逆命题逆命题“当当c c00时时,若若a a bcbc”真命题真命题.否命题否命题 “当当c c00时时,若若acacbcbc,则则a ab b”真命题真命题.逆否命题逆否命题 “当当c c00,0,a a1,1,设设p p:函数函数y y=log=loga a(x x+1+1)在在(0(0，+)+)上上 单调递减单调递减;q q:曲线曲线y y=x x2 2+(2+(2a a-3)
30、-3)x x+1+1与与x x轴交于不同的轴交于不同的 两点两点.如果如果p p且且q q为假命题为假命题,p p或或q q为真命题为真命题,求求a a的取值的取值 范围范围.解解 若若p p为真为真,则则00a a1.00即即(2(2a a-3)-3)2 2-40-40 解得解得 p p且且q q为假为假,p p或或q q为真为真,p p与与q q中有且只有一个为真命题中有且只有一个为真命题.(.(a a00且且a a1)1).2521 aa或或综上所述综上所述a a的取值范围为的取值范围为252521012121251121101 aaaaqpaaaaqp或或真真假假或或假假真真)()()
31、.,(),2512112.12.(2009(2009江苏省徐州六县一区联考江苏省徐州六县一区联考)已知已知m mR R,设设 p p:不等式不等式|m m2 2-5-5m m-3|3;-3|3;q q:函数函数f f(x x)=)=x x3 3+mxmx2 2+(+(m m+)x x+6+6在在(-,+)(-,+)上有极值上有极值.求使求使p p且且q q为真命题的为真命题的 m m的取值范围的取值范围.解解 由已知不等式得由已知不等式得 m m2 2-5-5m m-3-3 -3-3 或或m m2 2-5-5m m-33 -33 不等式不等式的解为的解为00m m5;5;不等式不等式的解为的解
32、为m m-1-1或或m m6.6.所以所以,当当m m-1-1或或00m m55或或m m66时时,p p为真命题为真命题.34对函数对函数f f(x x)=)=x x3 3+mxmx2 2+(+(m m+)+)x x+6+6求导得求导得,f f(x x)=3)=3x x2 2+2+2mxmx+m m+令令f f(x x)=0,)=0,即即3 3x x2 2+2+2mxmx+m m+=0,+=0,当且仅当当且仅当00时时,函数函数f f(x x)在在(-,+)(-,+)上有极值上有极值.由由=4=4m m2 2-12-12m m-160-160得得m m-14,4,所以所以,当当m m-144时时,q q为真命题为真命题.综上所述综上所述,使使p p且且q q为真命题时为真命题时,实数实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1)(4,5(-,-1)(4,56,+).6,+).34,3434 返回返回
