1、1.2.21.2.2单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线人教人教B B必修必修4 4xoATy1P1M高一数学高一数学 冯伟冯伟(一一)知识目标知识目标1.1.单位圆的概念单位圆的概念.2.2.有向线段的概念有向线段的概念.3.3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.(二二)能力目标能力目标1.1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念理解并掌握单位圆、有向线段的概念.2.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示弦、正切函数值
2、表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来出来.(三三)德育目标德育目标通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.学习目标学习目标教学重点教学重点 正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值教学难点教学难点 正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值摩天轮摩天轮数学源于生活 我们首先建立下面的坐标系：我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面在观览车
3、转轮圆面所在的平面内，以观览车内，以观览车转轮中心为原点转轮中心为原点，以水平线为以水平线为x轴，以轴，以转轮半径为转轮半径为单位长单位长建立直角坐标系。建立直角坐标系。sinMPxOP设设P 点为转轮边缘上的一点点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，则由正弦函数的定义可知，（1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？cossintanxryryxP(x,y)xyo（2）角）角 的正弦、余弦、正切值与终边上的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？点的位置是否有关？知识链接知识链接(3)数轴上向量的数量（坐
4、标）是如何规定的？数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？(4)从定义看出：角从定义看出：角 的三角函数是两个的三角函数是两个变量的比值。为了简单地计算其正余弦、变量的比值。为了简单地计算其正余弦、正切我们可以使分母为正切我们可以使分母为1。当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件的点构成什么图形？数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，反之取负。AB P(-2,3)MNxyoAB1、单位圆、单位圆 半径为半径为1的圆的圆叫单位圆。叫单位圆。课前预习课前预习设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴
5、的交点分别为轴的交点分别为A(1，0)，A(1，0).而与而与y轴的交点分别为轴的交点分别为B(0，1)，B(0，1).N1B(0,1)A(1,0)MP(cos,sin)yxOA(-1,0)B(0,-1)问题问题2：在单位圆中能不能用一条线段直观地表在单位圆中能不能用一条线段直观地表示角示角的正弦值、余弦值？如的正弦值、余弦值？如 果能，怎样找果能，怎样找 出出这条线段？这条线段？问题问题3：在单位圆中，怎样用一条线段来表在单位圆中，怎样用一条线段来表示示的正切值？的正切值？问题问题1：设角的终边与单位圆交于点设角的终边与单位圆交于点P，则，则p点点的坐标是什么？的坐标是什么？设任意角设任意角
6、的顶点的顶点在原点，始边与在原点，始边与x轴的轴的正半轴重合，终边与正半轴重合，终边与单位圆相交于点单位圆相交于点P(x，y），过），过P作作x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为M；做做PN垂直垂直y轴于点轴于点N，则点则点M、N分别是点分别是点P在在x轴、轴、y轴上的正射影轴上的正射影.2.三角函数线三角函数线根据三角函数的定义有点根据三角函数的定义有点P的坐标为的坐标为(cos,sin)其中其中cos=OM，sin=ON.这就是说，这就是说，角角的余弦和正弦的余弦和正弦分别等于角分别等于角的终边与单位圆的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标交点的横坐标与纵坐标.以以A为原点建立为原点建立y轴与轴
7、与y轴同向，轴同向，y轴与轴与角的终边角的终边(或其反向延长线或其反向延长线)相交于点相交于点T(或或T)，则，则tan=AT(或或AT)我们把轴上的向量我们把轴上的向量分别叫做分别叫做的的余弦线、正弦线和正切线余弦线、正弦线和正切线.,()OM ONATAT 和或问题问题5：角与它的三角函数线之间存在着对应角与它的三角函数线之间存在着对应关系，这种对应关系是不是函数关系？与三角关系，这种对应关系是不是函数关系？与三角函数线的数量之间呢？函数线的数量之间呢？角的三角函数线是三角函数定义的几何表示，角的三角函数线是三角函数定义的几何表示，它的数量等于这个角的三角函数值。它的数量等于这个角的三角函
8、数值。问题问题4：观察思考：三角函数线的方向和符号？观察思考：三角函数线的方向和符号？当角当角的终边在坐标轴上时，它的三角函数线及的终边在坐标轴上时，它的三角函数线及其数量是如何变化的？其数量是如何变化的？例例1：作出：作出PM23 的正弦线、余弦线和正切线。的正弦线、余弦线和正切线。oxyA(1,0)T典型例题典型例题解：在直角坐标系中作单位圆。以解：在直角坐标系中作单位圆。以ox轴方向为轴方向为始边作始边作 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于P点，作点，作PMox轴，垂足为轴，垂足为M，由单位圆与，由单位圆与ox轴正方轴正方向的交点向的交点A作作ox轴的垂线与轴的垂线与OP的反向延长线的
9、反向延长线交于交于T点，则点，则222sin,cos,tan.3332MPOMAT.3MPOMAT 即的正弦线为，余弦线为，正切线为23练习练习1.分别作出分别作出 、的正弦线、余弦的正弦线、余弦线、正切线。线、正切线。4332例例2.比较大小：比较大小：(1)sin1和和sin1.5;(2)cos1和和cos1.5;(3)tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2tan3练习练习2 2 若若 则下列各式中正确的则下列各式中正确的（）5342sincostancostansintancossinsintancosABCDC例例3.已知已知sinx=0
10、.5，求角，求角x的大小的大小.(0 x360)解：由在解：由在y轴上找轴上找到到y=0.5的点，做的点，做x轴的平行线，轴的平行线，交单位圆于点交单位圆于点P和和P两点，由三两点，由三角函数线知角函数线知x1=30,x2=150.变式变式：去掉：去掉 0 xOP 知，知，sin+cos1变式变式：比较比较 与与 1 的关系。的关系。R当时sincosyxPMOA（1，0）例例4：利用三角函数线证明：利用三角函数线证明：若若0,sincos12则解：如图，解：如图，单位圆单位圆O与与 角角的的终边交于点终边交于点P，与，与x 轴的正半轴轴的正半轴交于点交于点A，过，过P作作PM垂直于垂直于x轴
11、于轴于点点M，则由三角函数的定义可知：，则由三角函数的定义可知：sincos1例例5 当当 ，试比较实数，试比较实数，sin ，tan 的大小。的大小。02（，）分析：如图分析：如图单位圆单位圆O与与 角角的终边交于的终边交于点点P，与，与x 轴的正半轴交于轴的正半轴交于点点A，过，过P作作PM垂直于垂直于x轴于轴于M，过，过A作单位圆的切线，交作单位圆的切线，交的终边与点的终边与点T,连接连接AP，则：则：由由 知知 即即 OAPOATSSSOAP扇形111MPAPAT222sintan,sin,tanAPMPATyxTPMOA（1，0）1、下列四个命题中、下列四个命题中(1)一定时，单位圆
12、中的正弦线一定；一定时，单位圆中的正弦线一定；（2）单位圆中有相同正弦线的角相等；（）单位圆中有相同正弦线的角相等；（3）与与+有相同的正切线；（有相同的正切线；（4）具有相同正切线的两个角终边在）具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上。不正确的命题个数是同一条直线上。不正确的命题个数是 （）A：0 B：1 C：2 D：32、已知、已知是第一象限角，则下列等式中可能成立的是是第一象限角，则下列等式中可能成立的是 （）A：sin+cos=1.2 B：sin+cos=-0.9 C：sincos=1.3 D：sin+cos=1.2典型例题典型例题3、在（、在（0，/2）内，使）内，使sinxcos
13、x成立的成立的x的取值的取值范围是范围是 _.sincostan costansintansincos sintancosABCD、4 4、若、若 则下列各式中正确的则下列各式中正确的（）420 00 0A MPOMBOMMPC OMMPDMPOM5 5、如果、如果 和和 OM OM 分别是角分别是角 的正弦线的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（）和余弦线，那么下列结论中正确的是（）MP786、利用三角函数线比较三角函数值的大小利用三角函数线比较三角函数值的大小57（1）sin与sin 4657（2）cos与cos 4657（3）tan与tan 46单位圆单位圆三角函数线三角函数线正弦线
14、正弦线余弦线余弦线正切线正切线1、网络结构、网络结构2、数学思想：数形结合、数学思想：数形结合课堂小结课堂小结（1）给定任意一个角）给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。正弦线、余弦线、正切线。（2）三角函数线的位置三角函数线的位置：正弦线正弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点在的终边与单位圆的交点在y轴上轴上的射影的的射影的有向线段有向线段；余弦线余弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点在的终边与单位圆的交点在x轴轴上的射影的上的射影的有向线段有向线段；正切线正切线在过单位圆与在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，轴正方向的交点的切线上，为有向线段为有向线段AT 3、主要内容、主要内容（3）特殊情况：特殊情况：当角的终边在当角的终边在x轴上时，点轴上时，点P与点与点M重合，点重合，点T与与点点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线为零，而余弦线OM=1或或1。当角的终边在当角的终边在y轴上时，正弦线轴上时，正弦线MP=1或或1余弦线余弦线变成了一点，它表示的数量为零，变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在正切线不存在。P21 A 1.（2）、（）、（4）P22 B 1.（2）课后作业课后作业
