1、第六讲 一种纯真追求野性之美主讲教师：孙淑娥目录目录一、分形几何学二、混沌现象三、分形产生的意义四、纯真与野性之美三、数学与数学教育自20世纪以来，人们认识到自然界许多的随机现象已经难用欧氏几何来描述了。如植物的形态、海岸线的长度、山脉、星系分布、云朵聚合、天气模式、肺部支气管分支及血管微循环管道等等，只能用“分形”的工具才能作最好的描述。分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。一、分形几何学描述宇宙的分形几何三、数学与数学教育 一、分形几何学分形图形三、数学与文化素质教育一、分形几何学三、数学与数学教育同一個國家的海
2、岸線長度，竟然有百分之二十的誤差，Lewis Fry Richardson 指出：這種誤差是因為他們使用不同長度的量尺所導致的。同時發現海岸線長度 L 與測量尺度 s 的關係如下，其中，值得注意的是 log(1/s)與 log(L)呈線性關係，其斜率為一定值 d：一、分形几何学历史资料数据dSkL)(1)log(loglog1SdkL24.0,7.3dk?三、数学与数学教育 一、分形几何学英国海岸线长度？瑞典数学家柯赫曲线三、数学与数学教育分形一词译于英文，系分形几何的创始人曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）于 1973年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有破碎、不规则等含义
3、。如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、大层Mandelbrot把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1973年，他创立了分形几何学(Fractal Geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。一、分形几何学分形定义三、数学与数学教育线性分形又称为自相似分形。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。有规分形只是少数，绝大部分分形是统
4、计意义上的无规分形。如科赫曲线（Koch snowflake）、谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）少数。一、分形几何学分形原则三、数学与数学教育 Julia集合：Zn+1=Zn2+C朱利亚集合由一个复变函数生成，其中C为常数。在复平面上任意取一个点Z，其值是复数，将其代入上面方程中进行反复迭代运算，则Z平面上部分区域收敛，部分区域发散，收敛与发散的边界，即为Julia集合的图形。根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合。由上式反复迭代得到的集合称为Mandelbrot集。Zk序列有两种情况：1）自由的朝着无穷大方向扩散，即发散；2）被限制在复平面的某一区域内，即收敛。一、
5、分形几何学数学原理三、数学与数学教育朱利亚集合生成的图形，由于C可以是任意值，所以当C取不同的值时，制出的图形也不相同。一、分形几何学数学原理三、数学与数学教育从朱利亚集的生成过程可以看出：对应于曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利亚集。下图左侧图是曼德勃罗集，右侧是对应于曼德勃罗图形中（x=0.379,y=0.184）处的朱利亚集。一、分形几何学曼德勃罗集与朱利亚集三、数学与数学教育 一、分形几何学曼德勃罗集中不同点对应的朱利亚集三、数学与数学教育曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应一个不同的朱利亚集，朱利亚集（复数c为定值）和曼德勃罗集是有密切关系的。那么，曼德勃罗图形上的每一个点是什么呢
6、？它代表迭代公式中不同的C值。因此，给定一个C，就能产生一个朱利亚集。的确，朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性迭代方法产生的：Zn+1=Zn2+C 一、分形几何学曼德勃罗集与朱利亚集三、数学与数学教育分维，又称分形维或分数维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)(-Df),取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体
7、的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。例如，koch曲线的 Df=lnK/lnL=ln4/ln3=1.26186.一、分形几何学重要原则三、数学与数学教育分数维度是基于分形理论产生的。由于图形拥有自相似性，产生了分数维度。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.25(M)。有了分维,海岸线的长度就确定了。美国物理学大师约翰惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。一、分形几何学海岸线长度不准的原因三、数学与数学教育一般认为非线性、随机性、耗散性是出现分形结构的必要物理条件。非线性是指运动方程中存在非线性项（
8、迭代）；随机性是反映了系统内在的随机性；耗散性强调系统的开放性，研究熵变的过程和机制，即宇宙的“有序与无序，物质与能量和信息的相互转换的两大循环。”系统产生分形结构充分条件是“吸引子（Attractor）”。不严格地说，一个吸引子就是一个集合，并使附近的所有轨道都收敛到这个集合上。一、分形几何学产生分形之因三、数学与数学教育 分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。分形艺术具有和传统艺术一样的和谐、对称等特征的美学标准。自相似性又揭示了一种新的对称性，是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反应和含有整个系统的性质和信息，是局部与整体的对称。分形图形中那种
9、分叉、缠绕、不规则的边缘和丰富的变换，给人们一种纯真的追求野性的美感，一种未开化的、为驯服过的天然情趣。法国印象派大师雷诺所说的“一览之余则不成艺术”。一、分形几何学分形之美三、数学与数学教育1963年美国气象学家爱德华诺顿洛伦兹提出混沌理论（Chaos）。著名的洛伦兹吸引子方程：分形与混沌动力学之间的联系，是混沌的奇异吸引子都是分形。“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的工具。分形学与混沌理论联手，成为研究复杂世界的锐利武器。正如老子说：“玄而又玄，众妙之门”。二、混沌现象分形与混沌关系3/8/28/)(10/zxydtdzxzyxdtdyyxdtdx三、数学与数学教育 二、混沌现
10、象洛伦兹吸引子三、数学与数学教育世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。分形几何学是混沌理论的一项工具，研究对象是混沌的现象，混沌是相对于欧几里得几何学和线性数学而言的。在非线性系统内，稳定仅是暂时的特例，混沌才是永恒的现象。一个“混沌吸引子”稳定中有不稳定，它由无数个小吸引子组成。一个混沌系统，虽然从局部来看是不可预测的，但从整体来看是有其规律的。二、混沌现象分形与混沌关系三、数学与数学教育设V是一个集合，称为在V上是混沌的，如果：1）f对初始条件的敏感依赖性；2）f是拓扑传递的；3）周期点在V中是稠密的
11、。比如，烟头燃烧，在没有任何外力情况下，烟会自动分解。烟何时分解？分解原因？分解方向可以预测？二、混沌现象混沌定义VVf:三、数学与数学教育逻辑斯蒂映射（Logistic）：x1=kx0(1-x0)首先选定一个在(0,4)区间内的参数k，然后对于任意一个(0,1)区间内的初始值x0，反复迭代，得x1，x2，.。对于取值不太大的k，通过多次迭代发现不管初始值如何，最后结果总是稳定的，而且稳定态不依赖于初始值。但当k超过3时，情况发生变化，稳定态变为两个数值。继续增大k到3.444时，周期2的稳定态也不再出现，出现周期4循环。当增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期达到16，此后便是更
12、快速的32，64，128周期倍增数列。以至到3.5699就结束了，倍周期分岔现象突然中断：周期性让位于混沌。二、混沌现象混沌现象的分析三、数学与数学教育 二、混沌现象混沌三、数学与数学教育 二、混沌现象混沌三、数学与数学教育 二、混沌现象混沌三、数学与数学教育（1）对初始条件的敏感依赖性。（2）极为有限的可预测性。（3）混沌的内部存在着超载的有序。例如，1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内
13、在的哲学魅力。“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。二、混沌现象混沌特征三、数学与数学教育 混沌理论是当今世界最伟大的理论之一。它是社会科学与自然科学最完美结合的理论.它研究如何把复杂的非稳定事件控制到稳定状态的方法，它研究世界如何在不稳定的环境中稳定发展的问题。.混沌方法对于处理复杂多变、动荡不定的重大事件有特殊功效混沌世界是纷繁复杂多变的世界。“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”三、分形产生的意义对混沌研究的作用三、数学与数学教育 我们了解了美妙的曼
14、德勃罗集和朱利亚集图形的产生过程。这种非线性迭代法产生的分形不仅仅以其神秘复杂，变化多姿受到艺术家们的宠爱，数学及计算机爱好者们的青睐，也激励了与此紧密相关的混沌理论及非线性动力学的发展。以至于人们将后者誉为二十世纪之内可与相对论，量子力学媲美的科学的第三次革命。上世纪九十年代，学术各界，包括科技、艺术、社会、人文、几乎每个领域都有涉及分形的研究：股市专家们在市场庞大数据中寻找自相似性，音乐家们要听听，按照分形规则创造的旋律，是否更具神秘感。三、分形产生的意义对科学发展的作用三、数学与数学教育 分形似乎具有某种风韵，是一种狂放不羁的自由、一种未开化的、未驯养过的天然情趣、一种新的审美理想和新的
15、审美情趣；是一种纯真追求野性的美。它令人们充满了想象的自由，却又似乎被某种力量所折服。正像法国印象派大师雷诺所说的“一览之余则不成艺术”。四、纯真与野性之美特征三、数学与数学教育 简单中蕴含着复杂是局部与整体的对称、混乱中的秩序、平衡中寻找动势、普遍的对应与制约“须臾纳永恒”美国诗人布莱克：一沙见世界，一花窥天堂。手心握无限，须臾纳永恒。四、纯真与野性之美本质三、数学与数学教育 分形理论的应用远远超过了理论的发展。“自相似性”分形已经渗透到各个领域。比如，自然分形，社会分形，思维分形，时间分形，诗词分形；应用之广，自然中，物理中，化学中，生物中，地球物理、中医经络、音乐、日常生活等方面的应用，涉及面广，影响众多学科。比如，哲学、数学、物理学、人口学、情报学、天文学、易学、美学、电影学、制图学、经济学等20个学科。四、纯真与野性之美创新应用三、数学与数学教育 美国著名物理学家惠勒说过：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人”回文诗：云边月影沙边雁，水外天光山外树。四、纯真与野性之美创新应用1请问分形几何的特征是什么？并说明分形与混沌的关系。思考题谢谢聆听！
