1、1力 学2本次课内容力学基础 质点运动的描述质点运动的描述 质点运动学基本问题质点运动学基本问题3物体大小和形状的变化对其运动的影响可物体大小和形状的变化对其运动的影响可忽略时的理想模型忽略时的理想模型一参考系质点一参考系质点 为描述物体运动而选的标准物为描述物体运动而选的标准物1 1参考系参考系2质点质点 物体能否抽象为质点，视具体情况而定物体能否抽象为质点，视具体情况而定地地日平均间距：日平均间距：1.5 108 km地球半径：地球半径：6.37 103 km太阳太阳地球地球4二二 位置矢量运动方程位移位置矢量运动方程位移kj yi xrz 1位置矢量位置矢量rr*Pxyzxzyo方向：方
2、向：，rxcosrzcos，rycos222zyxr大小：大小：5ktjtyitxtr)()()()(z )(txx)(tyy)(tzz 分量式分量式 从上式中消从上式中消去参数去参数 得质点得质点的的轨迹方程轨迹方程txzyo)(tr)(tx)(ty)(tz2运动方程运动方程P6ABrrr 3位移位移rjyyixxABAB)()(平面平面运动运动:三维三维运动运动:kjyyixxrABABAB)()()(zz ，jyixrAAA ，jyixrBBBxyBBrArAroABxx AByy AxBx74 路程路程()s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1tr1P)(2tr2PxyO
3、z从从P1到到P2：路程路程21PPs s s(3)位移是位移是矢量，矢量，路程是路程是标量标量位移与路程的区别位移与路程的区别(1)两点间位移是唯两点间位移是唯一的一的r(2)一般情况一般情况 sr81r1P2r2PrxyOzr注意注意kj yi xrz 212121z yx222222z yxr222zyxr的意义不同的意义不同rrr，9三速度三速度1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 时间内，质点时间内，质点位移为位移为tr)(ttrB)(trAxysoj yi xtrvjtyitxjiyxvv102瞬时速度（简称瞬时速度（简称速度速度）trtrtddlim0vjtyitxdd
4、ddvjiyxvv若质点在若质点在三维三维空间中运动，其速度空间中运动，其速度kjiyxzvvvvxyovyvxv11当当 时时,0ttddets v速度速度方向方向 切线向前切线向前ddstv速度速度大小大小srdd速度速度 的值的值 速率速率v12 一运动质点在某瞬一运动质点在某瞬时位于位矢时位于位矢 的的端点处，其速度大小为端点处，其速度大小为),(yxrtrdd（A）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）讨论讨论注意注意trdd)(trxyotrtrddddyx13（1）求求 时的速度时的速度（2）作出质点的运动轨迹图作出质点的运动轨迹图 例例1 1 设质点的运动方程为
5、设质点的运动方程为 ()()(),r tx t iy t j3st 其中其中，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx式中式中x，y的单位为的单位为m(米米)，t 的单位为的单位为s(秒秒)，14速度速度 的值的值 ，它与，它与 轴之间的夹角轴之间的夹角1sm8.1v解解 (1)由题意可得由题意可得时速度为时速度为vxo3.560.15.1arctanttytxyx5.0dd0.1dd vv，ji5.10.1vs3t已知：已知：，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx15（2）运动方程运动方程/mx/my0轨迹图轨迹图246-6-4-22460ts2ts2ts4t
6、s4t消去参数消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为t0.325.02 xxy，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx16xyoABlv 例例2如图如图A、B 两物体由一长为两物体由一长为 的的刚性细杆相连，刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道两物体可在光滑轨道上滑行如物体上滑行如物体 A以以恒定的速率恒定的速率 向左滑向左滑行行,当当 时时,物物lv60体体B的速率为多少？的速率为多少？17 解解iitxixAvvvddjtyjyBdd vv222lyx两边求导得两边求导得0dd2dd2tyytxxxyoABlv因因选如图的坐标轴选如图的坐标轴18即即txyxtydddd
7、jtxyxBddvjBtanvvvtxddxyoABlv 沿沿 轴正向轴正向Bvy当当 时，时，o60，vv73.1B191 平均加速度平均加速度BvBv与与 同方向同方向vaxyOatv四四 加速度加速度AvAAvBv 在在 时间内，质时间内，质点速度增量为点速度增量为tABvvv200dlimdtatt vvktjtitazyxddddddvvv 2(瞬时瞬时)加速度加速度xyzaa ia ja k22ddtr21加速度加速度大小大小222zyxaaaaa加速度加速度方向方向曲线运动曲线运动 指向凹侧指向凹侧直线运动直线运动v/a2v1v1a2a注意：注意：物理量物理量 的共同特征是都具有
8、的共同特征是都具有矢量性矢量性和和相对性相对性a，v，r，r22 例例3有一个球体在某液体中竖有一个球体在某液体中竖直下落直下落,其初速度其初速度 ，它在，它在液体中的加速度为液体中的加速度为 ，问：，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已经过多少时间后可以认为小球已停止运动；停止运动；(2)此球体在停止运动前经历的路程此球体在停止运动前经历的路程有多长？有多长？0vyoj100 vjav0.123t0dd0tvvvvttyedd0vvtyttyded000v解解vtv0.1dda0vyote0vv解得：解得：）（tye110解得：解得：24O/my/st10-1/m s v0vO/st，t0
9、.10e vv）（ty0.1e110 v0/10v0/100v0001/0v00010/0vm/ys/tm10,0 s,2.9ytv25)(ta)(tr()tv求导求导求导求导积分积分积分积分 1由质点的运动方程可以求得质点在由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；任一时刻的位矢、速度和加速度；2已知质点的加速度以及初始速度和已知质点的加速度以及初始速度和初始位置初始位置,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程说明说明 质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题26 解题思路解题思路1.1.运动学的第一类问题，用微分法。运动学的第一类问题，用微分法。要注意描述质
10、点运动的几个物理量的矢量表示方法，分要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分清清|与与r，|与与v。用求导数的方法求出速度和加速度。用求导数的方法求出速度和加速度。根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。2.2.运动学的第二类问题，用积分法。运动学的第二类问题，用积分法。已知已知及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。或或或或vr)(taa)(xaa)(vaa 27在离水面高为在离水面高为h h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率变的速率u u 收绳。收
11、绳。例例 求求当船在离岸距离为当船在离岸距离为x x时的速度和加速度。时的速度和加速度。任意时刻船的位矢任意时刻船的位矢解解设船靠岸的速度为设船靠岸的速度为 huCCxrhxyrOxj hi xriitxjthitxtrxvvdd ddddddv28任意时刻小船到岸边的距离任意时刻小船到岸边的距离x 都满足都满足按题意按题意 是人收绳的速率，因为绳长是人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，随时间在缩短，故故则有则有 （船速方向沿（船速方向沿x 轴负向）轴负向）trhrrhrttxxdddddd2222v22hrxuxhxuhrrx2222vi uxhx22v0ddcos22vvittaxdd
12、ddvvtxhxxhuuxhxttaxxdd)(dddd222222v322xhuixhuiaax32230 运动学第二类问题解法总结运动学第二类问题解法总结 初始条件：初始条件：1.1.匀变速直线运动匀变速直线运动 a常量常量 taddv00,0vv xxttaddv)()(00ttatvvttxd)(dv20000)(21)(ttattxxvxaddvv)(20202xxavv312.2.加速度是时间函数加速度是时间函数3.3.加速度是坐标函数加速度是坐标函数ttxd)(dv)(taa ttad)(dvttxd)(dvttttat0d)()(0vvttttxtx0d)()(0v)(xaa
13、xxad)(dvvtxxd)(dvxxxxax0d)(2)(202vvxxxxtt0)(d0v324.4.加速度是速度函数加速度是速度函数欲求速度与时间关系欲求速度与时间关系欲求欲求速度与距离关系速度与距离关系)(vaa tad)(dvvttxd)(dvvvvv0)(d0attttttxx0d)(0vxad)(dvvvvvvvv0)(d0axxtxxd)(dvxxxtt0)(d0vv331.4 圆周运动34一一 自然坐标自然坐标质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。自然坐标中自然坐标中 ，不是恒矢量不是恒矢量,其方向随质点在轨迹上的其方向随质点
14、在轨迹上的位置而变化。位置而变化。)(tss netenetesPteneoteneP35二二 圆周运动的角速度圆周运动的角速度角坐标角坐标)(t角位移角位移角速度角速度tttddlim0 xyorAB单位：单位：rads-1自然坐标中的速度：自然坐标中的速度：tddetsv36 速率速率)()(trtvtttddereetsvv 速度速度trtsttlimlim00vxyorABte37ro三三 圆周运动的切向加速度和法向加速度圆周运动的切向加速度和法向加速度ttere vvteetddddttvvtaddvrtrtaddddtv质点作质点作变速率圆周运动变速率圆周运动时时1v1 te2v1
15、v2te1 te角加速度角加速度2v2te 角加速度角加速度t ddA单位：单位：rads-2381 te2tetero1v1 te2v2te切向单位矢量的时间变化率？切向单位矢量的时间变化率？nddet tetlimt0teddt法向单位矢量法向单位矢量ntddeetavv法向法向加速度加速度切向切向加速度加速度neA39ntddeetavv切向加速度切向加速度(速度速度大小变化大小变化)tttdderetav法向加速度法向加速度(速度速度方向变化方向变化)n2n2nnddereretavvro1v1 te2v2tev1v2vtvnvntvvv注：注：neA40 一般一般圆周运动圆周运动加速
16、度加速度2n2taaa大小大小ntaaatn1tanaa方向方向vtenexyon2tereraatanaA 推广推广-一般曲线一般曲线运动运动加速度加速度41 线量和角量的关系线量和角量的关系ABRdsddRs RtRtsddddvd 22nRRavRtRtaddddtvxyo421匀速率圆周运动匀速率圆周运动四四 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动t02nt0raa，n2nnereaa常量，常量，如如 时时,0t0故故，t dd由由有有，t dd可得：可得：432匀变速率圆周运动匀变速率圆周运动tdd常量，常量，tdd如如 时时,0t00，常量，常量，2ntr
17、ara，故故20021ttt0)(20202可得：可得：又又，t dd44与匀变速率与匀变速率直线运动直线运动类比类比20021ttt0)(20202匀变速率匀变速率圆周运动圆周运动at0vv20021attssv)(00ssa222vv45oABAvBvr 例例 一歼击机在高空一歼击机在高空 点点A时的水平速率为时的水平速率为1 940 kmh-1,沿近似圆弧曲线俯沿近似圆弧曲线俯冲到点冲到点B，其速率为，其速率为2 192 kmh-1,经历时间为经历时间为3 s,设设 的半径约为的半径约为 3.5 km,AB飞机从飞机从A到到B过程视为匀变速率圆周运动，不过程视为匀变速率圆周运动，不计重力
18、加速度的影响，求：计重力加速度的影响，求：(1)飞机在点飞机在点B的的加速度；加速度；(2)飞机由点飞机由点A到点到点B所经历的路程所经历的路程.46解（解（1）tta0tddBAvvvtaABvv t1hkm9401Av1hkm1922Bvra2Bvn而而B点点m105.3s33rt，解得：解得：2n2tsm106sm3.23aa，oABAvBvratana4722n2tsm109aaaont4.12arctanaa（2）矢径矢径 所转过的角度所转过的角度r221ttAm7221212ttatrsAvoABAvBvratana48 解题思路解题思路1.1.第一类问题：已知自然坐标中运动方程第
19、一类问题：已知自然坐标中运动方程s s(t)(t)，求质点运，求质点运动的速度、切向加速度、法向加速度，用动的速度、切向加速度、法向加速度，用求导法求导法。自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。2.2.第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条件，求运动方程，用条件，求运动方程，用积分法积分法。3.3.质点的圆周运动可用质点的圆周运动可用线量线量描述也可用描述也可用角量角量描述。描述。49一质点作半径为一质点作半径为R的圆周运动，其速度随时间变化的规律的圆周运动，其速度随时间变化的规律为为 ，式中
20、，式中v0、b均为正的常量。均为正的常量。t=0时，质点位时，质点位于自然坐标的原点。于自然坐标的原点。例例求求(1)自然坐标中质点的运动方程；自然坐标中质点的运动方程；(2)当加速度的大小为当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？时，质点沿圆周运动了几圈？(1)本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义 解解分离变量分离变量 两边积分两边积分 bt0vvbtts0ddvvtbtsd)(d0 vtstbts000d)(dv2021bttsv50(2)根据加速度的定义根据加速度的定义 由由 解得解得 这时质点运行的圈数为这时质点运行的圈数为 Rb
21、tRa22)(0nvvbtaddtv24022n2t)(Rbtbaaav4022)(1btbRRavbbtbRRa4022)(1vbt0vRsnp2Rbbb2)(21)(2000vvvRb420v511.5 相对运动52一时间与空间一时间与空间在两个作相对运动的参考系中，在两个作相对运动的参考系中，时间时间的测量是绝对的，的测量是绝对的，空间空间的测量也是绝对的的测量也是绝对的,与参考系无关与参考系无关时间和长度的的绝对性时间和长度的的绝对性是经典力学或是经典力学或牛顿力学的基础牛顿力学的基础53物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二二 相对运动相对运动
22、54*yyxxoo0tPP 质点在相对作质点在相对作匀速直线运动的两匀速直线运动的两个坐标系中的位移个坐标系中的位移S系系 基本参考系基本参考系 系系 运动参考系运动参考系)(zyxO)(Oxyz S rPrQDPxxytto otuu y 是是S系相对系相对S系系运动的速度运动的速度u55uvv速度变换速度变换utrtr*yyxxoo0tPP rPrQDPxxytto otuu yDrr位移关系位移关系turr或或56绝对速度绝对速度trddv相对速度相对速度trdd v牵连速度牵连速度uuvvu vv 伽利略速度变换伽利略速度变换 aatu0dd若若加速度关系加速度关系tuttdddddd
23、vv注意：注意：当物体运动速度当物体运动速度接近光速时，速度变换接近光速时，速度变换不成立不成立绝对绝对速度速度牵连牵连速度速度相对相对速度速度57 例例实验者实验者A 在以在以 10 ms-1的速率沿水平轨的速率沿水平轨道前进的平板车上控制道前进的平板车上控制一台射弹器，射弹器以一台射弹器，射弹器以与车前进方向呈与车前进方向呈 斜向斜向上射出一弹丸上射出一弹丸此时站此时站uvvxy yuox60 oA Bvo60在地面上的另一实验者在地面上的另一实验者 B 看到弹丸铅直向上看到弹丸铅直向上运动，求弹丸上升的高度运动，求弹丸上升的高度58xvvytan速度变换速度变换xxu vvyy vv 解解地面参考地面参考系为系为 S 系，平板车系，平板车参考系为参考系为 系系Suvvxy yuox60 oA Bv1sm100uxxvv59弹丸上升高度弹丸上升高度m3.1522gyyvuvvxy yuox60 oA Bvyyvv 1sm3.17yvtanxv60本章小结本章小结如何描述质点运动位移速度加速度常见的运动形式匀速运动圆周运动相对运动
