1、引 言一、研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。二、研究模型：1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例：研究卫星的轨道时，卫星被视作质点；研究卫星的自转时，卫星被视作刚体；刚体作平动时，该刚体可视作质点。2.刚体：由无数个相互间保持距离不变的质点组成，又称为不变质点系。三、内力和外力、主动力和约束力质点系内各质点之间相互作用的力是内力，质点系以外的物体体作用于质点系内质点的力是外力。可推知，质点系的内力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。质点系所受的力分为主动力和约束力。应注意，约束力随运动动状态的改变而改变。四、动力学的两类量一是表征质点系运动状态的物理量，如速度、加速度、
2、动能等等，一是表征力系对质点系机械作用效应的量，如主矢、主矩和功等等。五、动力学分类质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。六、动力学的基本问题大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。问题导入：当需要对物体的机械运动进行全面分析，还应研究物体的运动与作用于物体的力之间的关系，这就是动力学的问题。图所示载重汽车紧急刹车至停车所经过的距离如何求解是很重要的，应如何进行呢？mgv第一节 质点运动微分方程第二节 刚体绕定轴转动微分方程 与转动惯量第三节 力的功第四节 动能定理 第一节 质点运动微分方程第一定律（惯性定律）不受力作用
3、的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）该定律的数学表达式为：Fa m第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。一、动力学基本方程在重力场中，物体均受重力作用。物体在重力作用下自由下落所获得的加速度称为重力加速度，用g表示。由第二定律有gGm在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取米、千克和秒；力的单位是导出单位，为牛顿。即：2s/m8.9g其中，)sm(1)kg(1)N(12ma=F称为质点的运动微分方程。此方程表明质点受力与运动之间有如下关系：1）质点受力与加
4、速度的瞬时性。如果质点受力F，则一定产生相应的加速度a。应注意该力为合力。2）作用于质点的外力方向和加速度方向的一致性。加速度方向永远与外力方向相同。3）质量是质点惯性大小的量度。在相同的外力作用下，则质量大的质点产生的加速度小，质点的惯性大。反之，质点的惯性小。)()(2222运动方程为质点直角坐标形式的式中tyytxxFdtydmdtdvmmaFdtxdmdtdvmmayyyxxx二、直角坐标形式的质点运动微分方程yxFF、是质点受到的所有外力在x轴和y轴上投影的代数和。将动力学基本方程 ma=F 等式的两端分别在相应坐标轴上投影，就可以得到直角坐标形式或自然坐标形式的质点运动微分方程。三
5、、自然坐标形式的质点运动微分方程nnFvmmaFdtsdmma222式中s=s(t)为质点的弧坐标形式的运动方程，Fx、Fy分别为所有外力在自然轴系、n轴上投影的代数和。当质点的运动轨迹未知，采用直角坐标形式的运动微分方程当质点的运动轨迹已知，采用自然坐标形式的运动微分方程解题步骤和要点：正确选择研究对象（选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析，画出受力图(在一般位置进行分析)。正确进行运动分析。建立坐标系，选择并列出适当形式的质点运动微分方程。求解未知量。第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）四、质点动力学的基本问题例 设质量为m的质点M在Oxy平面内运动如图所示，
6、其运动方程为x=acoskt，y=bsinkt，式中a、b、k都是常数。试求作用于质点上的力F。xyxyMvO解：（1）求质点的轨迹，消去时间t22221xyab（2）求质点的加速度2222dcosdxxak aktk xt 2222dsindyyak bktk yt xyxyMFvO（3）求作用于质点上的力222ddxxmmk xFt 222ddyymmk yFt xkax2ykay2于是，力F的大小为222222xyFFFmkxymkOM力F的方向余弦为OMxOMmkmxkFFxx22,cos FOMyOMmkmykFFyy22,cos F显然，力F指向原点O。例 桥式起重机跑车吊挂一重为
7、G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 v0，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：选重物(抽象为质点)为研究对象受力分析如图所示运动分析，沿以O为圆心,l为半径的圆弧摆动。1 sin ,GdtdvgGFma2 cos ,2GTlvgGFmann列自然形式的质点运动微分方程为变量。其中v,max,0,1TT 时因此式知重物作减速运动由)1(20maxglvGT求解未知量,)(cos 22glvGT式得由一、刚体绕定轴转动微分方程第二节 刚体绕定轴转动微分方程与转动惯量2zi iJmr称为刚体对轴z的转动惯量。22()zzzdMFJJdt22)
8、(iiiiizrmrmFM可以推知，过程略结论：刚体绕定轴转动时，作用在刚体上各外力对转动轴之矩的代数和等于刚体对该轴的转动惯量与其角加速度的乘积。说明：作用于刚体的所有外力对转轴之矩的代数和恒为零，则刚体做匀速转动；所有外力对转轴之矩的代数和为常数，则刚体作匀变速转动。转动惯量可衡量刚体转动惯性的大小。外力一定，当刚体对转轴的转动惯量越大，刚体越不容易改变原有的运动状态。反之，刚体对转轴的转动惯量越小，刚体越容易改变原有的运动状态，即转动惯性越小。2iizrmJ若刚体的质量是连续分布，则dmrJmz2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转
9、动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kgm2 。二、转动惯量.积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）zJ zJ三、转动惯量的计算2222121 mldxlmxJllz202 31 mldxlmxJlz解：例 匀质细直杆长为l,质量为m。求：对z轴的转动惯量 ；对z 轴的转动惯量 。zJ zJ例匀质圆环半径R，质量为m，其对中心轴z的转动惯量为222mRmRRmJiizzORim例匀质圆板半径R，质量为m，其对中心轴z的转动惯量。任取一圆环rdrRmrdrmRmAA2222d,drrRmrmJRoRoz3222d221mRJzrdrzR由所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。mIz2mI
10、z 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。请注意，回转半径并不真实存在。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。2.回转半径3.平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2mdJJzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。刚体对于诸平行各轴的转动惯量，以对于过质心轴的转动惯量为最小。当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若
11、物体有空心部分,则此部分的转动惯量为负。4计算转动惯量的组合法解：例 钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,d。求 JO。OOOJJJ杆盘2113OJml杆设JC为圆盘对于中心C的转动惯量，则 222COdJJml盘22221222ddmml22238mdlld222121338OJmlmdlld四、两类工程问题刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束力。例已知飞轮的转动惯量J=18 10kg.m，在恒力矩M的作用下，由静止开始转动，经过20s，飞轮的转速n达到120r/min。若不计摩擦的
12、影响，试求启动力矩M。解：飞轮作匀变速转动，20s后角速度为 120 rad/s4 rad/s3030n飞轮作匀变速转动的角加速度为2204 rad/s0.2 rad/s20t飞轮的定轴转动微分方程为MJ3418 100.2 N m1.13 10 N m11.3 kN mM 例 如图所示为一提升设备。被吊重物的质量为m1，半径为r的鼓轮质量为m2，且质量分布在轮缘上（可近似为圆环）。不计吊绳的质量，当作用于鼓轮上的力矩为 M0时，试求重物的加速度。在重物和鼓轮组成的物体系统中，重物作直线平动，鼓轮作定轴转动，由运动学知识可知，鼓轮轮缘上任意一点的切向加速度的大小与重物直线运动的加速度的大小相等
13、分析：MOO解：分别取重物和鼓轮为研究对象aar鼓轮的定轴转动的运动微分方程为 22OTOMF rJm r重物的运动微分方程为 11TFm gm a 联立三个方程可得重物的加速度为 112()OMm gramm rMOOMOOTFTFgm1gm2NFa力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功单位：焦耳（J）；222m1N11J一、常力在直线运动中的功第三节 力的功cos WFs力在质点位移方向上的投影与位移大小即路程s的乘积，称为力在这一路程上作的功，记作W。二、变力沿曲线运动的功 变力F在微小段路程ds上所作的功定义为元功，记为dWsFWdcosd力在全路程上作的功为元功之和，即lsF
14、WW0dcosd1重力的功设一重力为mg的质点，从高度 z1位置沿任意轨迹下降到z2位置。重力在此过程中作的功为重力的功等于质点重量与其重心在运动始末位置高度差的乘积，而且与其质心运动轨迹的形状无关。重心下降，重力作正功，否则作负功。21)(21zzzzmgdzmgW三、常见力的功 2弹性力的功弹簧力F=-k，k为弹性系数，负号表明弹簧力总与伸长方向相反。一端固定的弹簧与一质点连接，使质点由弹簧的自然位置沿弹簧伸长方向产生位移，可推得弹簧力的功为2212()2kW表明弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与弹性力所作用的质点的运动路径无关，与弹簧实际受拉伸还是受压缩无关。变形量减小，弹
15、性力作正功，反之作负功。量和终了变形量。分别是质点的起始变形和式中21 3定轴转动刚体上作用力的功设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力F，计算刚体转过一角度 时力F所作的功，M点轨迹已知。znFFFF2211MzMWF rdM dzWM 当 MZ 是常量时，因此刚体绕定轴转动时，若作用在刚体上的力对转轴的矩为常量，则其功等于该力对转轴的矩乘以刚体所转过的角度。当力矩与转角的转向一致时其功为正，反之为负。若刚体上作用的是力偶，其力偶矩 M为常量，且力偶作用面垂直于转轴，则力偶使刚体转过转角时所作的功为WM 力偶与转角的转向一致时其功为正，反之为负。zWM 四、合力的功质点M 受n个力作用，则合
16、力的功为nWWWW 21iWW即作用于质点上力系的合力在任意一路程中所作的功等于各分力在同一路程上所作的功的代数和。物体的动能是由于物体运动而具有做功的能力，是机械运动强弱的又一种度量。221mvT 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。221iivmT2质点系的动能 1质点的动能 第四节 动能定理一、质点和刚体的动能221PJT（P为速度瞬心）2CCPmrJJ又22222221 21)(212121CCCCPJvmrmJJT22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiJrmvmT平面运动刚体3刚体的动能平动刚体定轴转动刚体
17、二、质点的动能定理Wmvmv2022121。可推导出变为置，速度由位运动到的作用下沿曲线从在力的质量为质点vvMMmM021,F这表明，在任意一路程上质点动能的变化，等于作用在该质点上所有的力在这段路程上所作的功。三、刚体的动能定理22211122iiiieimvmvWW对于质点系来说，作用在每个质点上的力有外力和内力之分，上式中We和Wi分别表示作用于每个质点上所有外力和内力的功。22211122iiiieimvmvWW21eiTTWW或表明质点系在某一段路程上动能的改变，等于作用于该质点系上所有的力在同一段路程上所作的功的总和，这就是质点系的动能定理。对质点mi对于刚体来说，由于刚体上任意
18、两质点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所作的功的和应等于零，所以 21eTTW在工程上，很多约束如光滑固定面、光滑圆柱铰链、绳索等约束的约束力均不作功。约束力作功为零的约束也称为理想约束。所以，在理想约束条件下应用动能定理时，只需计算作用在刚体上的主动力所作的功。21eTTW将上式分别应用到刚体的各种运动中去，可得出以下各式：刚体作平动：刚体绕定轴z转动：刚体作平面运动：2221e1()2Wm vv22e01122zzWJJ2222e212111()()22CCCWm vvJ解题步骤：选择质点系（或质点）研究对象，进行受力分析。分析质点系的运动，计算选定过程起点和终点的动能。分析作用于质点系
19、的力，计算各力在该过程中所作的功。应用动能定理建立方程，求解未知量。例一辆载重汽车如图所示，以速度v=30/h沿水平直线道路行驶，因遇紧急情况而刹车。已知汽车总质量为m，轮胎与地面间的摩擦系数为f=0.6，制动后轮子只滑动不滚动 。求汽车从开始刹车至停车所经过的距离s。mgv解：以汽车为研究对象，画出受力分析图。eWF sf mg s 2112Tmv20T 2102mF s 32130 100()0.6260 60mmgs 5.90sm求得汽车刹车至停车所经过的距离 mgv1NF2NF1F2F汽车重力mg，地面法向约束力 FN1、FN2，摩擦力F=F1+F2，重力与地面法向力作用点没有位移，故
20、不作功，摩擦力作负功，于是外力的总功为例：自动送料机构的小车连同矿石的质量为m1，鼓轮的质量为m2，半径为 r，对其转轴的回转半径为，轨道的倾角为。如在鼓轮上作用一不变的力矩M将小车提升，求小车由静止开始沿轨道上升路程 s 时的速度（摩擦和绳质量略）。解：OMvs1）以小车和鼓轮为研究对象，画出受力分析图。系统中铰链约束、光滑接触面和绳索为理想约束。gm1gm2NFOyFOxF在初始位置时系统动能为 10T 2）计算系统动能OMvsgm1gm2NFOyFOxF当小车上升s时速度为v，鼓轮角速度为，此时系统动能为 222222101211112222TmvJmvm 代入上式又,/rv22212212Tmmvr3）计算主动力作的功设小车上升s时鼓轮的转角为 1sineWMm gsOMvsgm1gm2NFOyFOxF/s r又因为sgmrMsgmrsMWesinsin114）求小车速度，应用动能定理2122122(sin)Mrm grvsm rmOMvsgm1gm2NFOyFOxF22121210sin2Mmmvm gsrr
