1、函数模型及其应用函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函几类不同增长的函数模型数模型(一一)我们知道，函数是描述客观世界变化规我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？型有哪些呢？一次函数一次函数 二次函数二次函数 反比例函数反比例函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 幂函数幂函数 等等等等 对于实际问题，我们如何选择一个恰对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？当的函数模型来刻画它呢？12222324回顾：回顾：某种
2、细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1个分裂成两个分裂成两 个，两个，两个分裂成个分裂成4个个，一个这样的细胞分裂，一个这样的细胞分裂x次后，得次后，得到的细胞个数到的细胞个数y与与x的函数关系是的函数关系是 。第一次第一次第二次第二次第三次第三次第四次第四次第x次 个y=2x2x 例例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多回报回报10元；元；方案三：第一天回
3、报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比元，以后每天的回报比前一天翻一番前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？题目中涉及哪些数量关系？如题目中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？何用函数描述这些数量关系？解：设第解：设第x天所得回报是天所得回报是y元，则元，则方案一：方案一：)(40*Nx y 方案二：方案二：)(10*Nxx y 方案三：方案三：)(24.0*1Nx yx 例题讲解例题讲解指数指数型型函数函数我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况：x/天天方案一方案一y=40方案二方案二y=10 x方案三方案
4、三y=0.42x-1y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.4 0.804567830 4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6107374182.4从表格中获取信息，体会从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异三种函数的增长差异。xyO 底数为底数为2 的指数函数模的指数函数模型比线性函数型比线性函数模型增长速度模型增长速度要快得多从要快得多从中你对中你对“指数指
5、数爆炸爆炸”的含义的含义有什么新的理有什么新的理解？解？你能通过图象描述一下三种你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？方案的特点吗？下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论结论：投资投资16天天,应选择方案一应选择方案一;投资投资7天，应选择方案一或方案二；投资天，应选择方案一或方案二；投资8 10天，应选择方案二；投资天，应选择方案二；投资11天天(含含11天天)以上，应选择方案三。以上，应选择方案三。天天数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 6
6、0 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解 例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万万元时，按销售利润进行奖励，且奖金元时，按销售利润进行奖励，且奖金
7、y（单位：万元）（单位：万元）随销售利润随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过数不超过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三。现有三个奖励模型：个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？,002.1,1log,25.07x yx yxy 题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？么？线性函数、对数函数、指数函线性函数、对数函数、指数函数数对比三种函数的增长差异对比三种函数的增长差异例题讲解例题讲解y0.25X1log7 xyxy002.
8、1 模型限制条件：模型限制条件：1.奖金总数不超过奖金总数不超过5万元万元2.奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象通过观察函数图象得到初步结论：按得到初步结论：按对数模型进行奖励对数模型进行奖励时符合公司的要求。时符合公司的要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo对数增长模型比对数增长模型比较适合于描述增较适合于描述增长速度平缓的变长速度平缓的变化规律。化规律。y=5y=0.25x1log7xyxy002.1下面列表计算确认上述判断：下面列表计算确认上述判断：2.51.02 2.1851.
9、04 2.544.954.445.044.4424.55模型模型奖金奖金/万元万元利润利润10208008101000y0.25X1log7xyxy002.1我们来看函数我们来看函数 的图象的图象:xxy25.01log77综上所述综上所述:模型模型 确实符合公司要求确实符合公司要求.1logxy问题问题:当当 时时,奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%呢呢?1000,10 xxyo200 xxfxf25.01log03167.0)10()(7即应用函数知识解应用题的方法步骤：应用函数知识解应用题的方法步骤：(1)(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。正确地将实际
10、问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟 知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。(2)(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进 行数学上的计算求解。行数学上的计算求解。(3)(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对 实际问题进行总结做答。实际问题进行总结做答。确定函数模型确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义增长等不同函数类型的增长含义 教材教材107107 A 1,2,A 1,2,
