1、2022-8-11第六讲第六讲 函数性态的研究函数性态的研究一、函数的单调性一、函数的单调性四、函数的凸性四、函数的凸性五、曲线的渐近线五、曲线的渐近线六、函数作图六、函数作图二、函数的极值二、函数的极值三、函数的最大（小）值三、函数的最大（小）值2022-8-12用微分学研究函数区间上的变化性态用微分学研究函数区间上的变化性态Lagrange定理定理xxxfy )(0给出了给出了函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就性质或
2、曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值最值、凹凸、拐点、渐近线。最值、凹凸、拐点、渐近线。2022-8-131、单调性的判别法、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。定函数的单调性却是很不方便的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)
3、(xfabBA一、函数的单调性一、函数的单调性2022-8-14 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的角，曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性性？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理.,)(
4、0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 2022-8-15证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则
5、).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 2022-8-16注注若在若在(a,b)内至多有有限个导数等内至多有有限个导数等0的点和至多的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有有限个不可导点，而在其余点处均有)0)(0)(xfxf则由连续性，结论仍成立则由连续性，结论仍成立此判定法则对其它各种类型的区间仍适用此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例例1 1.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx解解.1 xey).,(:D又又,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加2022-8-17注意注意:函数的单
6、调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性2、单调区间求法、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分
7、界点的分界点方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 2022-8-18例例2 2.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf解解).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单
8、调区间为，1,(，2,1).,22022-8-19例例3 3.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(时，时，当当 x0,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 2022-8-110例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；
9、在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在2022-8-111利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使一端为一端为0另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x)求求)(xf 验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证与区间端点处的函数值或极限
10、值作比较即得证单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式和证明不等式.2022-8-112二、函数的极值及其求二、函数的极值及其求法法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大
11、于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。值得我们作一般性的讨论。2022-8-1131、函数极值的定义、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x2022-8-114.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在
12、着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.2022-8-1152、函数极值的求法、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理
13、定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 xFermat定理定理2022-8-116注注1）如果一个可导函数在所论区间上没有驻点）如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号2）不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可
14、疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。2022-8-117.,000取取得得极极值值在在则则两两侧侧异异号号在在且且导导数数的的某某邻邻域域内内有有一一阶阶在在点点设设函函数数xfxfxf（一）极值的第一充分条件（一）极值的第一充分条件定理定理2：;,0)(),(,0)(),(,0)1(00000极极小小值值取取得得
15、在在则则内内而而在在内内使使在在若若xfxfxxxfxx ;,0)(),(,0)(),(,0)2(00000极极大大值值取取得得在在则则内内而而在在内内使使在在若若xfxfxxxfxx 2022-8-118证证 (1)0)(),(,000 xfxx内内使使在在若若 )(,),(00 xfxx内内在在)()(,),(000 xfxfxxx 0)(),(,000 xfxx内内使使在在又又 )(,),(00 xfxx内内在在)()(,),(000 xfxfxxx .,0取取得得极极小小值值在在即即xf2022-8-119;,0)()1(00取取得得极极小小值值在在则则若若xfxf （二）极值的第二充
16、分条件（二）极值的第二充分条件定理定理3：.)(,0)(,000存存在在又又且且导导数数的的某某邻邻域域内内有有一一阶阶在在点点设设函函数数xfxfxf .,0)()2(00取取得得极极大大值值在在则则若若xfxf 证证 (1)0)(,0)(00 xfxf有有根根据据二二阶阶导导数数定定义义,0)(lim00 xxxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx2022-8-120中中有有使使在在由由极极限限性性质质),(,0,00 xx0)(0 xxxf0)(,),(00 xfxx有有内内在在 0)(,),(00 xfxx有有内内在在.,10取取得得极极小小值值在在知知根根据据定定
17、理理xf2022-8-121325()(1).f xxx例求的极值)(驻驻点点和和不不可可导导点点先先求求可可能能的的极极值值点点3313232532)1()(xxxxxxf 52,0)(xxf得得驻驻点点令令.52,0.0,xxx可可能能的的极极值值点点：故故有有两两个个为为导导数数不不存存在在的的点点又又 解解 2022-8-122x)0,(0)52,0(52),52()(xf0 不存在不存在0极极大大值值极极小小值值320253;,0)0(极极大大值值 f极极小小值值,20253)52(3 f)325()(3xxxf 112022-8-123例例6 6解解.20243)(23的极值的极值
18、求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下2022-8-124Mm2022-8-125三、函数的最大（小）值三、函数的最大（小）值 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是用料最省，费考虑在一定的条件下，怎样才能是用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题用最低，效率最高，收益最大
19、等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性存在性；最值的求法。；最值的求法。假定假定f(x)在在 a,b 上连续，除去有限个点外上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们。我们就在这样的条件下讨论就在这样的条件下讨论f(x)在在 a,b 上的最值上的最值的求法。的求法。2022-8-1261、最值的求法、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在在 a,b
20、上必存在最大值和最小值上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，则这个最值一定是则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是oxyoxybaoxyabab2022-8-127步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大
21、那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;)(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm 2022-8-128.)(.,)(),()1(00最最大大值值或或最最小小值值就就是是所所要要求求的的则则而而且且是是极极值值点点有有唯唯一一的的驻驻点点内内如如果果在在xfxxfba.)(,),()(,)(),()2(00小小值值为为所所要要求求的的最最大大值值或或最最则则内内部部取取得得最最大大值值或或最最小小值值必必在在的的知知道道又又从从实实际际问问题题本本身身可可以以有有唯唯一一的的驻驻点点内内如如果果在在xfbaxfxx
22、fba最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题2022-8-1293217()(1)1,2.f xxx例求在的最大、最小值内内在在由由前前面面的的例例题题知知)21,1()(,xf.0,5221 xx不不可可导导点点有有驻驻点点经经计计算算得得：,0)0(f,2)1(f2)1(,0)0(minmax ffff320253)52(f3281)21(f 解解 2022-8-13008,V例要做一个容积为的圆柱形无盖铁桶 问底半径与高的比例为多少时 用料最省？所所需需铁铁皮皮面面积积为为高高为为设设底底半半径径为为,hr)0(202 rrVrS 解解 02222)(20320 rVrrVrrS 令令
23、301 Vr 得得唯唯一一驻驻点点2022-8-131.)(,必必存存在在的的最最小小值值从从问问题题的的实实际际意意义义知知道道rS )(lim,)(lim0rSrSrr又又.,.),0()(,301是是最最小小值值点点唯唯一一驻驻点点从从而而达达到到的的内内部部的的最最小小值值一一定定在在因因此此 VrrS rVVVrVhrr 30320020)(1 .,用用料料最最省省相相等等时时与与高高当当底底半半径径即即hr192022-8-132四、函数的凸性四、函数的凸性 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不了
24、解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。L1 是是“上凸上凸”弧，弧，L2是是“下凸下凸”弧弧，L3既有下凸弧，既有下凸弧，也有上凸弧，也有上凸弧，2022-8-133问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xf
25、y 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC2022-8-134.,)()()(.,1)()()(,.,:)(2211221121212211221121函函数数上上为为上上凸凸在在则则称称如如果果函函数数下下凸凸上上为为在在则则称称都都成成立立和和的的任任意意非非负负实实数数对对于于满满足足不不等等式式如如果果设设函函数数bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf （一）（一）凸性定义及性质凸性定义及性质四、函数的凸性四、函数的凸性2022-8-135)(xfy 1x2xxxyo都都有有及及必必要要条条件件是是上上为为下下凸凸的的充充分分在在
26、函函数数,:,)(212121xxxxxbaxxbaxf 性质：性质：xxxfxfxxxfxf 2211)()()()(2022-8-136).(),()(:)(,),(,)(非非增增内内单单调调非非减减在在函函数数的的充充分分必必要要条条件件是是上上凸凸为为下下凸凸在在则则可可导导开开区区间间在在连连续续在在闭闭区区间间设设函函数数baxfbafbabaxf（二）（二）凸性的判定凸性的判定定理定理1：(用一阶导数判定函数的凸性用一阶导数判定函数的凸性)证证 必要性必要性上上为为下下凸凸函函数数在在区区间间设设,)(baxf2022-8-137212121:,xxxxxxbaxx 且且有有性性
27、根根据据极极限限的的保保号号都都可可导导与与在在因因为为,)(21xxxf2211)()(lim)()(lim11xxxfxfxxxfxfxxxx 21211)()()(xxxfxfxf 即即2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 有有2022-8-1382211)()(lim)()(lim22xxxfxfxxxfxfxxxx 也也有有)()()(21212xfxxxfxf 即即)()(21xfxf 于于是是有有2121,)(xxxbaxxx 且且充分性充分性有有满满足足存存在在根根据据微微分分中中值值定定理理,:,221121xxx 2022-8-139)()()(222 fxxx
28、fxf )()()(111 fxxxfxf )()(,21 ff 有有由由已已知知2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 因因此此有有.,)(,下下凸凸的的上上是是在在区区间间函函数数这这就就是是说说baxf2022-8-140定理定理2：(用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性).0)(0)(:)(,),(,)(xfxfbafbabaxf的的充充分分必必要要条条件件是是函函数数上上凸凸为为下下凸凸在在则则二二阶阶可可导导内内在在上上连连续续在在设设函函数数定理定理3：(用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性)()()(,:,),(,)(0000 xxxfxfxf
29、baxbafbabaxf 有有分分必必要要条条件件是是为为下下凸凸函函数数的的充充在在则则可可导导间间在在开开区区连连续续在在闭闭区区间间设设函函数数切线位于切线位于曲线下方曲线下方2022-8-141证证 必要性必要性为为下下凸凸函函数数假假设设 f有有且且,1010 xxxbaxxx 010111)()()()(xxxfxfxxxfxf )()()(00001xfxxxfxfxx 令令)()()(000 xxxfxfxf 2022-8-142充分性充分性曲曲线线的的切切线线方方程程为为,0bax 0)()()()()(,000 xxxfxfxfxyxfbax有有若若)()()(000 xx
30、xfxfxy )()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有时时当当)()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有时时当当有有且且,2121xxxbaxxx 2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 2022-8-143.)()(,(,)()(,()(0000的的拐拐点点为为曲曲线线则则称称点点反反在在该该点点两两侧侧曲曲线线凸凸性性相相上上的的一一个个点点，是是曲曲线线设设点点拐拐点点定定义义：xfyxfxxfyxfx 0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy （四（四）拐点拐点定理定理1：（拐点必要条件）（拐点必要条件）.0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxx
31、f则则有有拐拐点点的的为为若若有有二二阶阶导导数数设设2022-8-144.)(,(,0000个个拐拐点点的的一一是是则则两两侧侧异异号号在在若若的的某某邻邻域域内内有有二二阶阶导导数数在在点点设设fxfxxfxf 定理定理2（拐点的充分条件）（拐点的充分条件）证证.0)(.)()(,),(,),(,)()(,(00000000 xfxfxxffxxfxxxfxfx所所以以有有二二阶阶导导数数存存在在处处取取得得极极值值，且且在在单单调调非非减减内内在在非非增增单单调调内内则则在在右右侧侧下下凸凸侧侧上上凸凸不不妨妨设设该该点点左左的的拐拐点点为为 2022-8-145例例9 9.14334凹
32、、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00下凸的下凸的上凸的上凸的下凸的下凸的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(2022-8-146).,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为2022-8-147.,曲曲线线的的渐渐近近线线则则称称该该直直线线为为于于零零某某一一定定直直线线的的距距离离趋趋近近若若此此动动点点到到点点时时动动点点沿沿曲曲线线无无限限远远离离原原xyo)(xfy bkxy PM五、曲线的渐近线五
33、、曲线的渐近线 2022-8-148垂垂直直渐渐近近线线)1(垂直渐近线垂直渐近线的的为曲线为曲线则直线则直线或或若若)()()(lim()()(limxfyaxxfxfaxax xyo)(xfy aax 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法2022-8-149:)(件件是是斜斜渐渐近近线线的的充充分分必必要要条条的的是是曲曲线线直直线线xfybkxy )0()(lim)1()(kkxxfxx)(lim)2()(kxxfbxx .)(,)(lim)(的的水水平平渐渐近近线线是是曲曲线线则则直直线线若若xfybybxfxx 定理：定理：斜斜渐渐近近线线)3(水水平平渐渐近近线线)2(2022-8-1
34、5021)(kbkxxfPM 01)(lim2)(kbkxxfxx0)(lim)(bkxxfxx)1()(lim)(bkxxfxx 证证 必要性必要性的的渐渐近近线线是是曲曲线线设设直直线线)(xfybkxy 2022-8-151式式及及极极限限运运算算法法则则有有由由已已知知)1(,01lim)(xxx0)(lim)(xkxxfxxkxxfxx )(lim)(0)(lim)(kxxfxx2022-8-152 证证 充分性充分性 假设下列两个条件同时成立假设下列两个条件同时成立)0()(lim)1()(kkxxfxx)(lim)2()(kxxfbxx 0)(lim)2()(bkxxfxx由由0
35、)()(lim)(bkxxfxx的的渐渐近近线线是是曲曲线线即即)(xfybkxy 2022-8-153;,)1(和和周周期期性性有有无无奇奇偶偶性性确确定定函函数数的的定定义义域域;)4(求求渐渐近近线线;,)2(极极值值求求函函数数的的单单调调区区间间;)3(间间和和拐拐点点求求函函数数的的上上凸凸、下下凸凸区区.,)5(描描点点作作图图计计算算特特殊殊点点六、函数作图六、函数作图2022-8-154的的图图形形作作函函数数例例26xey .),(是是偶偶函函数数定定义义域域：.0,0lim2是是水水平平渐渐近近线线所所以以直直线线因因为为 yexx22xxey )12(222 xeyx解解00 xy驻驻点点：令令210 xy令令2022-8-155y y y)21,(21)0,21(0)21,0(21),21(000极大极大下凸下凸下凸下凸上凸上凸上凸上凸拐点拐点拐点拐点1e1e1x2022-8-156xyo2222
