1、第九节第九节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA证证,21baxx ,21xx 且且应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理,得得)()()()(211212xxxxfxf
2、xf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则21()().f xf x 于于是是(),.yf xa b 在在上上单单调调增增加加,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则21()().f xf x 于于是是.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx.1 xey且且,)0,(内内在在,0 y上上单单调调减减少少；函函数数在在0,(,),0(内内在在,0 y.),0上上单单调调增增加加函函数数在在 注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符
3、号来判定，而不能用一点导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性处的导数符号来判别一个区间上的单调性(,),定定义义域域单调区间求法单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点(称为称为驻点驻点)和和不可导点不可导点，可能，可能是单调区间的分界点是单调区间的分界点方法方法:.,)()(0)(数的符号数
4、的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)(xf得得2,1 xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21单调增单调增区间为区间为,1,();,2 单调减单调减区间为区间为.2,1 12xoy12例例2.确定函数确定函数例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf(,).定定义义域域)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时，时
5、，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0)(xf时，时，当当 x0,0)(xf上上单单调调减减少少；在在0,()(xf，0,().,0 单调增单调增区间为区间为单调减单调减区间为区间为 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号,则不改则不改变函数的单调性变函数的单调性.例如例如,),(,3 xxy23xy 0 xyox3xy 注意：注意：驻点驻点时，时，当当)0,(x,0 y时，时，当当),0(x,0 yy在在(-,0(-,0y 在在0,+)0,+)3(,)yx 在在又例如又例如,cos(,).yxx 在在内内单单调调增增加加证明证明(留作习题留作习题)例例4
6、 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设,),0)(上上连连续续在在 xf上单调增加；上单调增加；在在),0)(xf时，时，当当0 x,0)0()(fxf).1ln(xx 即即利用单调性证明不等式：利用单调性证明不等式：,01111)(),0(xxxxf内内，且且在在则则20 x时时,成立不等式成立不等式2sin1.xx 证证:令令,sin)(xxxf()(0,2f x 则则在在上上连连续续(0,)2 在在上上可可导导，2cossin()xxxfxx 2cos(tan)xxxx0,2,0()(内单调递减内单调递减在在因此因此 xf即即2sin1.x
7、x()()(0),2ff xf 所以当所以当且且例例5.证明证明20 x时时,内内例例6证明证明时时0 x221)1ln(1xxxx 证证221)1ln(1)(xxxxxf 令令222212211221)1ln()(xxxxxxxxxxf )1ln(2xx ,0时时当当 x,01ln)(xf)(xf0)0()(fxf221)1ln(1xxxx 即即则则,0时时当当 x例例7xxxx2tansin,20 时时证明证明 证证,2tansin)(xxxxf 记记2seccos)(2 xxxf2seccos22 xx0 )(xf0)0()(fxfxxx2tansin 即即,20时时则当则当 x2)se
8、c(cosxx 小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.思考与练习思考与练习 1,0上上()0,fx 则则(0),(1),ff(1)(0)ff 或或(0)(1)ff 的大小顺序是的大小顺序是()()(1)(0)(1)(0)Affff()(1)(1)(0)(0)Bffff()(1)(0)(1)(0)Cffff()(1)(0)(1)
9、(0)Dffff提示提示:()fx 单调增加单调增加,(1)(0)()(01)fff 及及B1.设在设在()0,fx 2讨论函数讨论函数()ln(0)f xxaxa的零点个数的零点个数.解解(0,),定定义义域域1(),fxax 1.xa 驻驻点点1(0,xa 当当)时时,()0,()fxf x 1(xa当当,+),+)时时,()0,()fxf x 111()()ln1.f xxfaaa在在点点处处取取最最大大值值00lim()lim(ln),xxf xxax 又又11()ln10,faa10ae时时,函数有两个零点，分别位于函数有两个零点，分别位于11(0,),(,).aa 11()ln10
10、,faa1ae 时时,函数仅有一个零点，即函数仅有一个零点，即1.xa 11()ln10,faa函数没有零点函数没有零点.lnlim()lim(),xxxf xxax ln(lim0)xxx 1ae 时时,一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _._.2 2、函数函数212xxy 在区间在区间-1,1-1,1上单调上单调_，在在_上单调减上单调减.3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_，单减区间为单减区间为_._.二二、确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、xxxy6941023 ；2 2、32)(2(x
11、aaxy (0 a)；3 3、xxy2sin .练练 习习 题题一、一、1 1、),3,1,(单调增加单调增加,3,1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加,),1,1,(3 3、1,(,),1；1,0(,1,(;1,0(),0,1 .二、二、1 1、在、在),1,21,0(),0,(内单调减少内单调减少,在在1,21上单调增加；上单调增加；2 2、在、在),32,(aa内单调增加内单调增加,在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加,在在22,32 kk上单调减少上单调减少,),2,1,0(k.四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(3)ea1 时只有时只有ex 一个实根一个实根.
