1、19-5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 2定理定理 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R)(xS数则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续；且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分,运算前后收敛半径相同，运算前后收敛半径相同，即即00limnnxxna x 00lim()nnxxna x x 收敛域收敛域0()nnnS xa x (,)xR R (,)xR R 0()nnna x 0()nnna x 00()dxnnna xx 00()dxnnna xx 复习复习3 求部分和式的极限求部分和式的极限二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数
2、的求法 求和求和逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分0()nnna x *()Sx对和式积分或求导对和式积分或求导)(xS难难（在收敛区间内）（在收敛区间内）nnnxa04第五节本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法展开方法直接展开法直接展开法间接展开法间接展开法5则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数给定函数(),f x如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区
3、间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数(),f x)(xf0nnna x 例如例如:xe 23111,2!3!xxxx ln(1)x23,1123xxxx 6则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数给定函数(),f x如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数(),f x)(xf0nnna x 问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3
4、.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?7则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数给定函数(),f x如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数(),f x)(xf0nnna x 例如例如:xe 23111,2!3!xxxx xe 231111()2!3!nnxxxxRxn无穷级数无穷级数有限形式有限形式表示函数表示函数8一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf
5、200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn(在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在则在若函数若函数0)(xxf在的某邻域内具有的某邻域内具有 n+1 阶导数阶导数,此式称为此式称为 f(x)的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有该邻域内有:9)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f(x)的的泰勒级数泰勒级数.则称则称待解决的问题待解决的问题:若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有任意阶任意阶导数导数,0)(xxf在当当
6、x0=0 时时,泰勒级数泰勒级数 又称为又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.0)(!)0(nnnxnf()000()()!nnnfxx xn )(xfnnnxxnxf)(!)(000)()(xf()000()()()!nnnnnfxxxR xn 10定理定理1.各阶导数各阶导数,)(0 x则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f(x)的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:lim()0.nnR x 证明证明:()000()()(),!nnnfxf xxxn )()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)
7、(0 xx()0100()()()!knknkfxSxxxk令)(0 xx设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有11定理定理2.若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则这种展开式是则这种展开式是惟一惟一的的,且且证证:设设 f(x)所展成的幂级数为所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立显然结论成立.)0(0fa()1(0)(0,1,2,)!nnafnn ，
8、12001()()nnnf xa xx ）用用可可构构造造，()00,1,2,1()()!nnafxnn 其其中中，()000()3()()lim()0!nnnnnfxf xxxRxn ），0()xx )(xf0nnna x 问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?13二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法 由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步第一步第三步第三步 判别在收敛区间(R,R)内lim()nnRx是否为骤如下:展开方法展开方法直接
9、展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开利用已知其级数展开式的函数展开0.;!)(0)(nxfann 第二步第二步 写出泰勒级数 ,并求出其收敛半径 R;()000()()!nnnfxxxn lim()0nnR x 若若，()000()()().!nnnfxf xxxn 14例例1.将函数xexf)(展开成 x 的幂级数.解解:,)()(xnexf),1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足 )(xRne!)1(n1nxxe!)1(1nxn故231111,2!3!xnexxxxn nRlim!1n!)1(1n(
10、,)x (在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数()(0)!nnfan 01!nnxn ，0)!1(lim1 nxnnlim()0.nnRx01,(,)!xnnexxn 15例例2.将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为,R对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn21nk),2,1,0(k3!31x5!51x211(21)!(1)nnnx (,)x sin xn02nk(1),k,035211113!5!(21)!(1)nnnxx
11、xx ()0(0)!nnnfxn 2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx 16常用函数的幂级数展开式（常用函数的幂级数展开式（要求牢记！要求牢记！）(3)ln(1)x1(1)1x (4)xe (5)sin x (6)cos x 1(2)1 x 2301,(1,1)nnxxxxx 2301(1),(1,1)nnnxxxxx 23411(1),(1,1234nnnxxxxxxn 2301!1,(,)2!3!nnnxxxxx 352101(21)!(1),(,)3!5!nnnnxxxxx 24201(2)!1(1),(,)2!4!nnnnxxxx 172.间接展开法间接展开法函数函数已
12、知展开式的新函数已知展开式的新函数转化转化将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.211x 例例1.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:把把 x 换成换成2x20(1)nnnx (11).x,得得23011(1),1nnnxxxxx (1,1)x 211x 182031,(,)!12!3!xnnexxxnxx xexf2)(xexxf25)(),(,)2(!102 xxnennxnnxxnxex)2(!10525 ，50)2(!1 nnnxn),(x()2xf x ln2()xf xe 01()(ln2),(,)!nnf xxxn 0(ln2)(),(,)!nnnf x
13、xxn 19)3)(2(1)(xxxf ，xx 312111 x 1211122xx ，0)2(21nnx302(1,1)1nnxxxxx ，)2,2(x651)(2 xxxf 3113131xx，0)3(31nnx)3,3(x)1,1(2 x)1,1(3 x)(xf 0)2(21nnx01()33nnx (2,2);x .)3121(011nnnnx 20例例4.将将sin x展成展成4x 解解:sinsin()44xxsincos()cossin()4444xx 1cos()sin()442xx12 的幂级数的幂级数.201(2)!(1)()4nnnnx 2101(21)!(1)()4nn
14、nnx 231111()()()42!43!42xxx ()x 21例例5处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)(xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx)311(31 xnnx)31(310 31 xxxxx 41)1(411103)1(nnnx31 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 013)1(nnnxnnx31)1(的系数为的系数为 22例例6.将将在在x=0处展为幂级数处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf)1ln(x)32)(1(322
15、xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232x因此因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311ln(1)x11(1),(1,1nnnxxn nnnxn)(1 12ln231)(3232x23例例7.将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数1()arctan1xf xx 解解:()fx 211x 20(1),nnnx (1,1)x ()(0)f xf 200(1)dxnnnxx 210(1)21nnnxn x1 时时,此级数条件收敛此级数条件收敛,(0),4f 210(1)(),421nnnf xxn 1,1x 因此因此 11 x
16、 0(1,1)nnxx ，0()(0)()dxf xffxx (1,1)x 24注意：注意：把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化转化函数函数展开式已知的新函数展开式已知的新函数转化转化经验：经验：1)1)有理函数有理函数转化转化1111xx或或2)2)指数函数指数函数转化转化xe3)3)对数函数对数函数转化转化ln(1)x 4)4)三角函数三角函数转化转化sincosxx或或5)5)反三角函数：反三角函数：先求导化为有理函数，再积分先求导化为有理函数，再积分0()(0)()dxf xffxx 0()()d)xf xf xx 25内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;2.常用函数的幂级数展开式10(1)ln(1),(1,11nnnxxxn 01,(1,1)1nnxxx 01,(,)!xnnexxn 2101(21)!sin(1),(,)nnnnxxx 201(2)!cos(1),(,)nnnnxxx 01(1),(1,1)1nnnx xx 下节课默写！下节课默写！
