1、 1nnn0)tnsinbtncosa(a21)t(f )t(f)t(fdt)t(f2T2T 式中，式中，dttncos)t(fT2a2T2Tn dttnsin)t(fT2b2T2Tn T2 式中式中 称为角频率称为角频率 ntjnnea)t(f)t(fdte)t(fT1a2T2Ttjnn （2-7）（2-6）)t(fT20 000n)1n(0n ntjnea)t(f dte)t(f2dte)t(f2a2T2Ttj2T2Ttj0n dedte)t(f21)t(ftjtj T ddte)t(f)(Ftj de)(F21)t(ftj 对数变换对数变换对对x取对数变换，即令取对数变换，即令 ，则有为
2、，则有为 利用对数变换，我们可以将正数的利用对数变换，我们可以将正数的乘、除乘、除运算变运算变为对数的为对数的加、减加、减运算。运算。例：例：n21010,10,10,10 x n,2,1,0y xlgy 对数变换对数变换n21010,10,10,10 x blgalgablg blgalgbalg js sF j1j2 sF)t(f)s(F拉氏变换拉氏变换j s 设设 是是分段连续的分段连续的时间函数，当时间函数，当t0t0时，有时，有 ，若无穷积分，若无穷积分 收敛，则可得到收敛，则可得到一个以一个以s s为变量的新函数，记为为变量的新函数，记为 ，即：，即：上式称为上式称为Laplace
3、变换的定义式，简记为变换的定义式，简记为：其中：其中：一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义 0tf 0stdte)t(f tf js 0stdte)t(f)s(F)t(fL)s(F)s(F，为复变量，为复变量 为需要变换的函数，称为为需要变换的函数，称为原函数；原函数；为变换后所得的函数，称为为变换后所得的函数，称为 的拉普拉的拉普拉氏变换，或称为氏变换，或称为象函数；象函数；Laplace变换为单值变换，即变换为单值变换，即 和和 有一一有一一对应的关系。对应的关系。0stdte)t(f)s(F)t(fL)s(F)s(F tf tf)s(F tf可求得，可求得，的拉氏变换为：的拉氏变换为：)
4、0t(e)0t(0)t(fat)(sX)s(F t)sa(0tt)sa(t0t)sa(0t)sa(st0atst0elimelimsa1esa1dtedteedte)t(f)s(F 1elimt)sa(0t 0elimt)sa(t 注意：为使积分收敛，这里假设注意：为使积分收敛，这里假设(a-s)(a-s)的实部小于零的实部小于零as1)10(sa1)s(F )t(f当变量置换法变量置换法0saRe 时，有易知：as1eas1dtedteedte)t(ftfL)s(F0tas0tas0stat0st 在复平面上在复平面上有一个有一个极点极点注意：为使积分收敛，这里假设注意：为使积分收敛，这里假
5、设(s+a(s+a)的实部大于零，但的实部大于零，但求出求出F(sF(s)后，除后，除F(sF(s)的极点外，在整个的极点外，在整个s s平面上均成立平面上均成立 复变函数的解析连续性复变函数的解析连续性 0t,00t,e)t(fat)s(F注意：注意：A=1，称为，称为单位阶跃函数单位阶跃函数，记为，记为1(t)，且有，且有f(t)A0tsA)10(sAesA)st(desAdtAedte)t(f)s(F0st0st00stst s1)t(1L )0t(A)0t(0)t(f20sts1dttet L f(t)t0A1注意：注意：A=1，称其为，称其为单位斜坡函数单位斜坡函数。20stsAdt
6、Ate)t(fL )0t(At)0t(0)t(f 00stststdttesdtedt)te(0 0st0st0stdttessete0stdttess10ststststststeetdee)te(vuvu)uv(20sts1dtte c)t(fdt)t(f cedtett 例例4 4、正弦、余弦函数、正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有 000,sin,tftt t 000,cos,tftt t 1122sin,cosj tj tj tj tteeteej 2222111122111122sincossjsjLtjsjsjjsjsjssjs
7、jsLtsjsjsjsjs Adt)t(f 00000lim(0)0(0,)tAtttftttt L f tAf(t)0t脉冲函数的拉氏变换为：脉冲函数的拉氏变换为：t注意：注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为，称其为单位脉冲函数，记为1)t(L )s(F)s(F)t(f)t(fL2121（2）叠加性)s(aF)t(afL 0dLf tsF sfdt 1(2)(1)000nnnnnndLf ts F ssfsffdt)0()0()()(222fsfsFsdttfdL)s(Fsdt)t(fdL222)s(sFdt)t(dfL)s(Fsdt)t(fdLnnn 0)0(f)0(f)0(f)0(f)
8、1n(sfssFdttfL)0()()()1(sfsfssFdttfL)0()0()()()2(2)1(22nns)s(F)dt)(t(fL 10ff t dtf(t)的拉氏变换的拉氏变换0ts0e )s(Fe)t(fLs00 )t(f)t(f0 0)t(f)t(f0 复域平移定理）f tate atL f t eF sa 22sinatL ets an假定假定f(tf(t)和和df(t)/dtdf(t)/dt都可以进行拉氏变换，都可以进行拉氏变换，存在，并且存在，并且F(sF(s)的无右半的无右半s s平面的极点，则有：平面的极点，则有：limtf t 0limlimtsf tsF s注意：
9、注意：若若 时，时，f(t)极限极限 不存在，也就不能不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。终值定理。时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。t)t(flimt limssF s 0limsfsF s用象函数可求出原函数在0+时刻的初始值。)s(F)s(Fd)t(f)(fLd)(f)t(fL21t021t021即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。例例（1）f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 ，应用终值定理求，应用终值定理求f(t)的的终值。终值。（2）已知）已知
10、 ，应用初值定理求，应用初值定理求 的值。的值。)5s(s5)s(F 2)1s(1)s(F )0(f)0(f和解：（解：（1）由终值定理有：）由终值定理有：1)5s(s5slim)s(Fslim)t(flim0s0st （2）由初值定理有：）由初值定理有：0)1s(1slim)s(Fslim)0(f2ss 由微分定理有：由微分定理有：2)1s(s)s(sFdt)t(dfL 11s2sslim)1s(sslim)0(f22s2s 定义：从象函数定义：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(tf(t)的运算的运算称为拉氏反变换。记为称为拉氏反变换。记为 拉氏反变换的定义式为：拉氏反变换的定义式
11、为：式中，式中，C C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(sF(s)所有所有极点的实部。极点的实部。)s(FL1)0t(dse)s(Fj21)s(FL)t(fjCjCst1 一一对应f(t)F(s)1ftLF s n直接按定义式求原函数太过复杂！直接按定义式求原函数太过复杂！n求取求取拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的基本方法是，将复杂的的基本方法是，将复杂的F(sF(s)展开成很多简单项之和，分别求取简单项的展开成很多简单项之和，分别求取简单项的拉普拉斯反变换，再叠加得到拉普拉斯反变换，再叠加得到f(tf(t)。我们遇到的我们遇到的F(s)通常是有理分式。若通常是有理分式。若F(s)不能在不
12、能在表中直接找到原函数，则需要将它展开成表中直接找到原函数，则需要将它展开成部分分式部分分式之和之和。这些部分分式的拉氏变换通常可以在表中查。这些部分分式的拉氏变换通常可以在表中查到。也就是：到。也就是：sAsBsF sFsFsFsFn21 111112nftLF sLFsLFsLFs )s(A)s(Basasasbsbsbsb)s(F011n1nn011m1mmm)(mn)ss()ss)(ss()s(B)s(Fn21 )s(Fnn2211sscsscssc n21s,s,s其中：其中：为为n个不互不相等的单根；个不互不相等的单根；为待定系数为待定系数，由留数定理可确定，由留数定理可确定 各项
13、系数各项系数 。n21c,c,cicnn2211sscsscssc)s(F ississii)ss()s(Fc称为极点称为极点 所对应的留数，所对应的留数，ic方程两边取拉氏反变换，可得：方程两边取拉氏反变换，可得：n1itsin1iii1nn221111iecsscLsscsscsscL)s(FL)t(f若若as1eat 例8、32)3)(2(1651)(212scscsssssssF由留数定理可得：1)2s()s(Fc2s1 2)3s()s(Fc3s2 3s22s1)s(F 两边取拉氏反变换可得：两边取拉氏反变换可得：)0t(e2e3s2L2s1L)s(FL)t(ft3t2111 则可将则
14、可将 展开以下形式：展开以下形式：)s(A)s(Basasasbsbsbsb)s(F011n1nn011m1mmm)(mn r21)ss)(ss()s(B)s(F )s(F 2r21r222r22111ssc)ss(c)ss(cssc)s(F其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为：其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为：2ssr221)ss()s(Fc 2ssr222)ss()s(Fdsd)!12(1c 2ssr21r1rr2)ss()s(Fdtd)!1r(1c 重根所对应的留数为：重根所对应的留数为：两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可得：两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可
15、得：ts0r22r221r21ts121et!0ct)!2r(ct)!1r(cec)t(f 2r21r222r22111ssc)ss(c)ss(cssc)s(Frat1r)as()!1r(et L at1rr1et)!1r(1)as(1L 1ratr)as(!ret L 例例9 9、求求 的反变换。的反变换。1scscsc)1s(s1)s(F2122112 )1s(s1)s(F2 t12e1t)s(FL)t(f1s1s1s1)s(F 解：解：由留数定理可得：由留数定理可得：1s1)1s()s(Fc1s21s2 11s1dsds)s(Fdsd)!12(1c0s0s212 11s1s)s(Fc0s
16、0s211 *例10 最后一项用到频域平移性质。ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1,1,11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换nn332221sscssc)as(AsA)s(F 利用实部和虚部相等联立求解，可得利用实部和虚部相等联立求解，可得A1、A2的值，当的值，当然也可用待定系数法求然也可用待定系数法求A1、A2的值。的值。2121ssss21ssss21AsA)ss)(ss()s(F 或或或或jas2,1其中，单根所对应的留数求法同上，其中，单根所对应的留数求法同上，A1、A2可按下式求得
17、：可按下式求得：上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式，上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式，其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。js2,1 jas2,1 )1ss(s1s)s(F2 ,0s1 j2321s3,2 1ssAsAsc)s(F2211 11ss1ss)s(Fc0s20s1 )1ss(s1s)1A(s)1A(1ssAsAs1)s(F2221221 11A01A21 0A1A211ssss1)s(F2 222)23()21s(ss11ssss1)s(F 22)23()21s()232321()21s(s1 2222)23()21s(2333)23()21s()21s(s1 t23sin33t23cose1)t(ft5.0 22360,00,03d xdxxxxdtdt 20033060s X ssxxsX sxX s 22152325151.52Xss 1.5231 5sin25txtet查拉氏变换对照表
