1、 分类计数原理分类计数原理(加法原理）加法原理）分步计数原理分步计数原理(乘法原理）乘法原理）问题问题1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，以乘汽车。一天中，火车火车有有3班班,汽车汽车有有2班班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法地共有多少种不同的走法?设问1：从甲地到乙地从甲地到乙地按交通工具按交通工具可分可分_类方法类方法?第一类方法第一类方法,乘火车，有乘火车，有_ 种方法种方法;第二类方法第二类方法,乘汽车，有乘汽车，有_ 种方法种方法;从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 3+2=
2、5 种方法种方法设问设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？每类方法中的每种一方法有什么特征？只能属于某一类，并能单独完成从甲地到乙地的目的！只能属于某一类，并能单独完成从甲地到乙地的目的！232甲甲乙乙火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有 n 类办法类办法,在在第一类第一类办法中有办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在在第二类第二类办法中有办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第 n 类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完种不同的方法。那么完成这件事共有成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方
3、法。分类计数原理分类计数原理也称也称加法原理加法原理分类计数原理分类计数原理：使用使用分类计数原理分类计数原理中的中的“分类分类”要注要注意：意：1.标准必须一致标准必须一致,而且全面、不重不漏！而且全面、不重不漏！“类类”与与“类类”之间是之间是并列的并列的、互斥的互斥的、独独立的立的 即：它们两两的交集为即：它们两两的交集为空集空集！每一类方法中的任何一种方法均能将这每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成件事情从头至尾完成2.3.问题问题2：如图如图,由由 A 村去村去 B 村的道路有村的道路有 3 条，由条，由B村去村去 C 村的道路有村的道路有 2 条。从条。从A 村经村
4、经B 村去村去C 村，村，共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法?A村B村C村北北南南中中北北南南从从A村到村到C村须经村须经 _ 再由再由_到到C村有村有_个步骤个步骤第一步第一步,由由A村去村去B村有村有_种方法种方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有_种方法种方法,从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2=6 种不同的方法。种不同的方法。设问设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从上述每步的每种方法能否单独实现从A 村经村经B 村到达村到达C 村的目的村的目的?只能完成从只能完成从A 村村经经B 村村到达到达C 村目的地的一部分！村目的地的一部分！232设问设问1：B村村
5、B村村 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二种不同的方法，做第二步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n 步有步有mn 种种不同的方法，那么完成这件事有不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。种不同的方法。分步计数原理分步计数原理分步计数原理分步计数原理也称也称乘法原理乘法原理使用使用分步计数原理分步计数原理中的中的“分步分步”程序程序要要标准必须一致、正确标准必须一致、正确。“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的,不间断的不间断的,缺一不缺一不可可;但也不能重复、交叉但也不
6、能重复、交叉若完成某件事情需若完成某件事情需n步步,每一步的任何一种方每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这这n个步骤后个步骤后,这件事情才算完成这件事情才算完成1.2.3.例题例题 1.某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。(1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中
7、任选一人去领奖这件事,可按可按_划分，有划分，有_（类类?步？）办法。步？）办法。第一类办法第一类办法,从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人,共有共有_ 种不同种不同的方法的方法第二类办法第二类办法,从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人,共有共有 _ 种不种不同的方法同的方法 由分类计数原理由分类计数原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N=5+4=9 种种542性别性别 例题例题 1.某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。(1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学
8、生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析(2):完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事会这件事,分两分两_(类，步）完成类，步）完成？点评点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成分类完成”,还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用_第一步第一步,选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 _ 种方法种方法第二步第二步,选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 _ 种方法种方法 根据分步计数原理根据分步计数原理,得到不同选
9、法种数共有得到不同选法种数共有 N=5 4=20 种。种。步步54分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理分步完成分步完成”用用_分类记数原理与分步记数原理的区别：分类记数原理与分步记数原理的区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类记数原理，即类与类完成这件事，则选用分类记数原理，即类与类之间是相互独立的，即分类完成。之间是相互独立的，即分类完成。如果只有当如果只有当n个步骤都作完，这件事才能完个步骤都作完，这件事才能完成，则选用分步记数原理，即步与步之间是相成，则选用分步记数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即互依存的
10、，连续的，即“分步完成分步完成”。练习：练习：1、现有高一年级的学生、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高名，高三年级的学生三年级的学生4名。名。（1）从中任选）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？不同的选法？（2）从）从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？动有多少种不同的选法？（3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？多少种不同的选法？1、现有高一年级的学生、现有高一年级的学生3名，高二年级的学
11、生名，高二年级的学生5名，高名，高三年级的学生三年级的学生4名。名。（1）从中任选）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？不同的选法？分析：分析：完成这件事可以有三类方法，所以用分类记数原完成这件事可以有三类方法，所以用分类记数原理；理；解：解：（1）由分）由分类类记数原理知有记数原理知有3+4+5=12种选法种选法1、现有高一年级的学生、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高名，高三年级的学生三年级的学生4名。名。（2）从）从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？
12、动有多少种不同的选法？分析：分析：完成这件事，必须分成三步：选一位高一年级完成这件事，必须分成三步：选一位高一年级学生，选一位高二年级学生，选一位高三年级学学生，选一位高二年级学生，选一位高三年级学生，此三步缺一不可，所以用分步记数原理；生，此三步缺一不可，所以用分步记数原理；解：（解：（2）由分）由分步步记数原理知有记数原理知有345=60种种选法选法1、现有高一年级的学生、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高名，高三年级的学生三年级的学生4名。名。（3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？多少种不同
13、的选法？分析：分析：完成这件事，可以取完成这件事，可以取“高一、高二高一、高二”，“高二高二、高三高三”，“高三、高一高三、高一”，所以先分类再分步。，所以先分类再分步。解：（解：（3）有）有35+54+34=47种种练习：练习：1、现有高一年级的学生、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高名，高三年级的学生三年级的学生4名。名。（1）从中任选）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？不同的选法？（2）从）从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？动有多少种不同的选法？
14、（3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？多少种不同的选法？解：解：（1）由分）由分类类记数原理知有记数原理知有3+4+5=12种选法种选法（2）由分）由分步步记数原理知有记数原理知有345=60种选法种选法（3）有）有35+54+34=47种种 2、一种号码锁有、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从 0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？四位数字的号码？解：依题意每个拨号盘上的数字有解：依题意每个拨号盘上的数字有10种取法，根种取法，根据
15、分步记数原理，据分步记数原理，4个拨号盘上各取个拨号盘上各取1个数字组成个数字组成的四位数字号码的个数是：的四位数字号码的个数是：10101010=10 000101010103、有不同的中文书、有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同本，不同 的日文书的日文书5本，从其中取出不是同一国文字的书本，从其中取出不是同一国文字的书 2本，问有多少种不同的取法？本，问有多少种不同的取法？解：解：取出不是同一国文字的书取出不是同一国文字的书2本，可以分为三本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有步来取，因此有N=
16、97+75+95=143种不同的取法。种不同的取法。4、用、用1，5，9，13中任意一个数作分子，中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个作分母，可构造多少个不同的分数？中任意一个作分母，可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？可构造多少个不同的真分数？解：由分步记数原理得可构造解：由分步记数原理得可构造44=16个不同的分数；个不同的分数；要构造真分数则分类进行，要构造真分数则分类进行，分子为分子为1，分母可为，分母可为4，8，12，16，有，有4种；种；分子为分子为5，分母可为，分母可为8，12，16，有，有3种；种；分子为分子为9，分母可为，分母可为12，16，有，有2
17、种；种；分子为分子为13，分母可为，分母可为16，有，有1种；种；所以可构造所以可构造4+3+2+1=10种真分数。种真分数。5、集合、集合A=1，2，-3，B=-1，-2，3，4，从，从A、B中各取中各取1个元素作为点个元素作为点P（x，y）的坐标。）的坐标。（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？解解：（：（1）可以得到）可以得到3443=24种；种；（2）共有）共有22+22=8种。种。6、（、（1）某中学的一幢）某中学的一幢6层教学楼共有层教学楼共有4处楼梯，问处楼梯，问 从从1楼到楼到6楼共有楼共
18、有_种不同的走法？种不同的走法？（2）3个班分别从个班分别从5个风景点中选择个风景点中选择1处游览，处游览，不同选法的种数是不同选法的种数是35还是还是53？_4553（3）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮名同学分别报名参加学校的足球队、篮 球队、乒乓球队，每人限报其中的球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动个运动 队，不同报名方法的种数是队，不同报名方法的种数是34还是还是43？_34分析：分析：（1）从一楼到六楼五层有楼梯，每一层有四种）从一楼到六楼五层有楼梯，每一层有四种走法，由分步记数原理知共有走法，由分步记数原理知共有44444=45种走法。种走法。（2）先由）先由1班选择，有班
19、选择，有5种选法；再由种选法；再由2班选择亦班选择亦有有5种方法；最后由三班选也有种方法；最后由三班选也有5种种 方法，由分步方法，由分步记数原理可知有记数原理可知有555=53种选法；种选法；（3）同（）同（1）、（）、（2），每位同学都有），每位同学都有3种选择，种选择，由分步记数原理知有由分步记数原理知有3333=34种方法。种方法。7、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂四个区域分别涂上上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多允许同一种颜色使用多次次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有不同的涂色方案有多少
20、种？多少种？红红红红蓝蓝黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝黄黄黄黄红红红红蓝蓝A区区:3种种B区：区：2种种C区：区：1种种D区：区：1种种红红蓝蓝黄黄红红蓝蓝红红蓝蓝黄黄黄黄红红黄黄蓝蓝解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成四个区域依次分四步完成第一步第一步,填涂填涂A区域：区域：m1=3 种种,第二步第二步,填涂填涂B区：区：m2=2 种种,第四步第四步,填涂剩下的最后一个区域：填涂剩下的最后一个区域：m3=1 种种,所以根据所以根据分步计数分步计数原理原理,得得到不同的涂色方案种数共有到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。第三步第三步,填涂填涂C区：区：m2=1 种种,如
21、图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别四个区域分别涂上涂上 种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色允许同一种颜色使用多次使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同不同的涂色方案有多少的涂色方案有多少245它们的涂色方案种数是它们的涂色方案种数是 0 种种它们的涂色方案种数是它们的涂色方案种数是4322=48 种种它们的涂色方案种数是它们的涂色方案种数是5433=180 种种 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:何时用分类计数原理、分步计数原理里呢何时用分类计数原理、分步计数原理里呢?答答:完成一件事情有完成一件事情有n类方法类方
22、法,若每一类方法中的任何若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这则计算完成这件事情的方法总数用件事情的方法总数用 _分类计数原理。分类计数原理。分步计数原理分步计数原理 完成一件事情有完成一件事情有n个步骤个步骤,若每一步的任何一种若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完并且必须且只需完成互相独立的这成互相独立的这n步后步后,才能完成这件事才能完成这件事,则计算完则计算完成这件事的方法总数用成这件事的方法总数用_ 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内
23、容？本节课学习了那些主要内容？答答:分类计数原理和分步计数原理。分类计数原理和分步计数原理。2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？什么？不同点什么？答答:共同点是共同点是:它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情,共共有多少种不同的方法。有多少种不同的方法。不同点是不同点是:它们研究完成一件事情的方式不同它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数分类计数原原理是理是“分类完成分类完成”,即任何一类办法中的任何一即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。个方法都能完成这件事。分步计数分步计数原理是原理是“分步分步完成完成”,即这些方法需要分步即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是才能完成这件事情。这也是本节课的重点本节课的重点补充练习：补充练习：1、某大学校园共有四个门，若规定从一个门进、某大学校园共有四个门，若规定从一个门进另一个门出，那么不同走法的种数为另一个门出，那么不同走法的种数为_2、将数字、将数字1、2、3、4填入标号为填入标号为1、2、3、4的的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有标号与所填的数字均不相同的填法有_种。种。
