1、1大学数学教研室*返回后页下页上页首页第二章 极限与连续 2大学数学教研室*返回后页下页上页首页1.定义定义2.1:按一定顺序排列的一列数 a1,a2,an,叫做一个数列,数列中的每一个数叫数列的项,第 n项 an 叫数列的一般项或通项.简记为 an.数列也可称作整标函数.因为数列 an=f(n)可看成是定义在正整数集合上的函数.当自变量 n 按正整数 1,2,3,依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数:),.(),.2(),1(nfff称为一个无穷数列,简称数列.例(一).数列的有关知识一一.数列的极限数列的极限第一讲第一讲 极限的概念极限的概念3大学数学教研室*返回后页下页上
2、页首页1111(1).,2248nna 即即1345(2).1,2,234nan 即即(3).2,2,4,6,8,nan 即即1(1)(4).,0,1,0,1,2nna 即即1111(5).(1),1,234nnan 即即123(6).,1234nnan 即即(1)325(7).,0,234nnnan 即即4大学数学教研室*返回后页下页上页首页 从以上几例可以看出,随着 n 逐渐增大时,数列有着各自的变化趋势.当 n 无限增大时,数列(1)、(5)“无限接近”数 0;数列(2)、(6)、(7)“无限接近”数1;数列(3)“无限增大”;数列(4)在数 0和 1间摆动.在几何上,an 表示数轴上一
3、列点,也可以把(n,an)看成平面上的点.o18116112nna数列onna15大学数学教研室*返回后页下页上页首页nnao114(4,)a数 列1(1)nnan onna112 2nan 数 列 1a2a3a4a11oo 1a2a3a4a6大学数学教研室*返回后页下页上页首页结论结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有三种情形：an 无限增大;an 的变化趋势不定;an“无限接近”某个常数 A.此时我们说数列 an 当 n 无限增大时,以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描述.()n naon111(1,)a2(2,)a数列1(1)2nna 0 1a3a2a4a17大学数学教研室*
4、返回后页下页上页首页(二二)、数列极限的直观描述、数列极限的直观描述)(nfan)(nfA)(nfanAnAAan)(n1.直观描述:对于数列，如果当n 无限增大时,无限接近于一个确定的常数，则称数列收敛于，或称当趋于无穷大时，数列以为极限。记作 否则，称数列发散。2.上面数列(1),(5)和(6)收敛于 0;数列(2),(7)收敛于1;数列(3),(4)发散.lim nnaA 或或8大学数学教研室*返回后页下页上页首页nlinn1.1)11(nlinn2nnlin211nnlin01nlinn1)11(nlinn2nnlin211nnlin3、举例例例1 判断下列数列极限 2、3、4、解：1
5、、2、3、不存在 不存在4、9大学数学教研室*返回后页下页上页首页AAan注意:(1)关于”n”无限增大”，所谓无限增大当然是想要多大就有多大，因此有限数列没有极限；另外，无限增大我们还很在乎“增大”，例如1，2，100000，1/100000，2/100000，3/100000，.1，1，1，1，.1001，1002，1003，1004，不管前面的有限项如何，只看后面的无穷项。即不管给一个多么大的N或多么小的N，只要nN后，有f(n)与A无限接近就行了(2)关于“无限接近”：当然是指an 与的距离是越来越小，NAannA 通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：，如果任意给定的正数，
6、时，恒成立，则称数列当趋于无穷大时，以常数为极限。定义2.2:对于数列也称数列收敛于A.记 )(n否则，称数列发散。总存在一个正整数N，当lim nnaA 或或Aan11大学数学教研室*返回后页下页上页首页因不等式|an-A|N)可改写成 A-an N),则几何意义几何意义若把 an 看成数轴上的点,在数轴上任意取定A的 邻域,aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内.2 A+AA1a2a3a4aNa2Na 1Na 12大学数学教研室*返回后页下页上页首页(2)若把(n,an)看成平面上的点,在平面上取两直线y=A 和 y=A+;当n N时,所有点(n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如
7、图AA+ANnona13大学数学教研室*返回后页下页上页首页例例2 利用定义证明 212limnnnnnn12121n01NNn nnn1212212limnnn证明：要使，只须 故：任给，总存在，当时，恒成立，因此 得证。14大学数学教研室*返回后页下页上页首页CCnlim00CCCCnlim例例3 证明 事实上：任给 恒成立得证。(C为常数)故15大学数学教研室*返回后页下页上页首页()000 xxxx 数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总趋势(即有无极限).而对于函数y=(x),当考察它的变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,如x,x-,x 0,x x0+,x x0-等.
8、二.函数的极限函数的极限1yx如图arctanyxooxxyy0 xxx16大学数学教研室*返回后页下页上页首页xy e(0,)xxxy elogayx(01)aooxxylnyx(,)xx(,)xx(0,)xx 由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必要分情况考察.(一).x 时函数(x)的极限 1.1.直观描述直观描述：对函数(x),当x取正值无限增大时(即x ),如果(x)无限接近某常数A,则称A是函数(x)当 x 时的极限.17大学数学教研室*返回后页下页上页首页注：函数y=(x)当 x+时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续
9、递增的,一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形).2.2.函数函数(“(“MM”)”)定义定义仿数列“N”定义有MxM()f xAx ()f xA如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，当时恒成立，则称当时，函数的极限为。01limxx0limxxexxlnlim2arctanlimxx 例如记作 Axfx)(lim不存在18大学数学教研室*返回后页下页上页首页及y=A+.则总存在区(M,+),可作两条直线y=A0,几何意义几何意义(,)xMoxyA+AAMy=(x)当 时，对应的函数曲线介于这两条直线之间),(Mx(二)、x 时f(x)的极限19大学数学教研室*返回后页下页上页首页1.1
10、.直观描述直观描述:对函数(x),当x取负值而绝对值无限增大时(即x),如果(x)无限接近某常数A,则称A是函数(x)当x 时的极限.2.2.函数函数 (“(“M”)”)定义定义 设函数(x),当xa时有定义.使得当xM时,|(x)A|a时有定义.对 当|x|M 时,|(x)A|恒成立.则称函数(x)当 x 时以A为极限.记为0,0,M 又有是否有呢？Axfx)(limlim()xf xAlim()xf xAAxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim(三).x 时函数(x)的极限 0,0Mlim()xf xA21大学数学教研室*返回后页下页上页首页几何意义几何意义如右图.oxyA+A
11、AMMy=(x)22大学数学教研室*返回后页下页上页首页(四).xx0 时函数(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1.oxy11 y=x(1,1)0,首先,考察 函数 y=(x)=x(如右图)()f x0 xx0 x0 x()f xA()f x0 xx()f xA0lim()xxf xA1、直观描述：设函数在的附近有定义，如果当无限接近于但不等于时，无限接近于一个确定的常数，则称当时函数以为极限.记作23大学数学教研室*返回后页下页上页首页()f xAx0 xx0 x0 xx0 xxx0 x00 xx00 xx2、分析定义：无限接近于一个确定的常数,与
12、前面的无限接近于时”，即当与的距离很小当有一个很小的正数，时.又不等于，即 亦即当有一个正数,时.2).“当1).意义一样.很小时,亦即当很小很小时，换句话说，24大学数学教研室*返回后页下页上页首页3.精确定义(“”)函数(x)在x0 的某邻域内(可去心)有定义.00,0,0 x-x 使得当时00lim()()().xxf xAf xA xx 或 恒有|(x)A|成立.则称函数(x)当 xx0 时以A为极限.记为25大学数学教研室*返回后页下页上页首页几何意义几何意义即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(x)介于这两条直线之间,如下图.0,00(,),U x 00(,)xU x 当时ox
13、yA+AAy=(x)0 x0 x0 x可作两条直线 y=Ay=A及 y=A+y=A+.则在x轴上总存在以 x为心,为半径的去心邻域26大学数学教研室*返回后页下页上页首页中所讨论的xx0 即x可从 x0 的左右如4.4.函数函数(x x)的左、右极限的左、右极限(1).(1).左极限的直观描述及精确定义左极限的直观描述及精确定义(“”)(“”)当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时,(x)以A为极限.则 A是(x)在 x0处的左极限.记为“”定义则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限.因而必须引进左、右极限的概念.两侧趋于x0.但有时可考察 x 仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数(特别
14、是分段函数在分段点处)的极限.)0(xxy0lim()xxf xAAxfxx)(lim0Axf)0(0 或,0,0 xx00|)(|Axf当时，恒成立.27大学数学教研室*返回后页下页上页首页(2).右极限的直观描述及精确定义右极限的直观描述及精确定义(“”)(“”)当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时,(x)以A为极限.则 A是(x)在 x0 处的右极限.记为“”定义(3).左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:定理定理2.12.1 函数y=(x)当 xx0 时极限存在且为A的充要条件是函数y=(x)的左极限和右极限都存在且等于A.即Axfxx)(lim0Axf)0(0 或,0
15、,0oxx0|)(|Axf当时，恒成立.AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim00028大学数学教研室*返回后页下页上页首页(4).举例5222033051)(xxxxxxf)(lim),(lim),(lim320 xfxfxfxxx例例4 已知 求 1)1(lim)(lim00 xxfxx1)(lim0 xfx解：解：1、133lim)(lim00 xxfxx5333lim)(lim22xxfxx22lim)(lim22xxxf)(lim)(lim22xfxfxx)(lim2xfx22lim)(lim33xxxf2、即 所以 不存在3、29大学数学教研室*返回后页下页上页首页0 x()f xx0)(lim)(lim00 xxfxx0lim)(lim00 xxfxx0 x()f xx例例5 研究时，.的极限 时，的极限为零。解:所以，当
