1、（二）（二）一阶线性常系数方程组一阶线性常系数方程组120,(,)(,),(,),(,)Tp ppuuAtxuu x tu x t u x tu x tAR 其其中中，112(,),pSASdiag 双曲型方程组：如果双曲型方程组：如果A的特征值是实的，的特征值是实的，并存在非奇异矩阵并存在非奇异矩阵S使得使得对称双曲型方程组：对称双曲型方程组：A对称对称严格双曲型方程组：严格双曲型方程组：A的特征值是实的并且互不相同的特征值是实的并且互不相同(1,2,)llp 是是A的特征值的特征值12讨论对象讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组一阶常系数线性双曲型方程组000auutxa A有两个相异的特
2、征根有两个相异的特征根a 取取A的两个线性无关的特征向量作为的两个线性无关的特征向量作为S的列向量的列向量为严格双曲型微分方程组为严格双曲型微分方程组.0uuAtx10 uuS Stx 1 0w Suwwtx 非耦合系统非耦合系统110uuSStx 23例如例如01010uutx 112211212212wuuuuwtttxxxwuuuuwtttxxx 耦合系统耦合系统112212wuuwuu 1122,wwwwtxtx 111,11w S uu 非耦合系统非耦合系统即111211S 取取110,01S AS 31.Lax-Friedrichs格式格式111111()202nnnnnjjjjj
3、uuuuuAh 为为P阶单位矩阵阶单位矩阵1(,)()()22cosi sin,nnikjhjikhikhikhikhp puv eGkeeIeeAkh IkhAIR ()cosi sin,1,2,.llGkhkhlp422222222|()|cossin1(1)sin.lllGkhkhkh ()cosi sin,1,2,.llGkhkhlp是是A的特征值的特征值(1,2,)llp ()1A()1G ()1A 为格式稳定为格式稳定必要必要条件条件满足满足Von Neumann条件条件2210l 即即时时561cosi sinS GSkhIkh 1,.Ss tSAS(,)cosi sinG kk
4、h Ikh A证明：证明：由于为双曲型方程组，由于为双曲型方程组，()1A 为为Lax-Friedrichs格式稳定格式稳定充分充分条件条件12(,),pdiag 其其中中P33 定理定理3.5为对角阵为对角阵为稳定充要条件为稳定充要条件()1A 78 22132()2nnnnjjjjuuuuOtt 22uuuAAttxxt 22232()2nnnjjjuuuAAOxx 222uuAAAxxx 证明证明：2.Lax-Wendroff格式格式9 221232()2nnnnjjjjuuuuAAOxx 用中心差商代替偏导数用中心差商代替偏导数 2211232 222()22nnnxnjjjjuuuu
5、AAOhhhh 舍去截断误差舍去截断误差,有有LW差分格式差分格式.122111111(2)22nnnnnnnjjjjjjjuuA uuA uuu 22132()2nnnnjjjjuuuuOtt 9 122111111(2)22nnnnnnnjjjjjjjuuA uuA uuu 1)(A稳定性条件：稳定性条件：证明：仿证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论格式的讨论。103.迎风格式迎风格式 不能直接推广，需化为特征形式不能直接推广，需化为特征形式110,uuASASwS utx 令).2(|21)(21,)|)(|(21)|)(|(2111111111njnjnjnjnjnjnjnj
6、njnjnjnjnjuuuauuauuuuaauuaauu 迎风格式统一形式迎风格式统一形式00,1,2,mmmwwtxwwmptx 特征形式111111112()2|(2).2|(|,|,|).nnnnjjjjnnnjjjpwwwwwwwdiag 其中Von Neumann条件满足条件满足(,)isin(cos1)|GkIkhkh ()1isin|(cos1)lllGkhkh 2222222|()|(12|sin)sin214|(1|)sin2lllllkhGkhkh ()1max|1llG12(,)Gk 为对角阵为对角阵正规阵正规阵(,)sin(cos1)|GkIikhkh （三）变系数方
7、程及方程组（三）变系数方程及方程组1.变系数方程变系数方程冻结系数法：简单实用非严格冻结系数法：简单实用非严格稳定性讨论用能量不等式方法：严格有技巧稳定性讨论用能量不等式方法：严格有技巧14 00,0,txfxuxxutxatu方方程程：,其其中中对对，皆皆一一次次可可微微，光光滑滑函函数数。a x txta x t满满足足：设设有有函函数数0,xtxx 0,0dxa x tdtxx 15 0,ddu x tu x t xtdtdt 那那么么：,0uuxtxtuua x ttx是是常常数数即即原原方方程程的的解解沿沿曲曲线线0,xtxx 0,xftxu曲曲线线。就就称称为为是是原原方方程程的的
8、特特征征其其中中0,xtxx 16a(x,t)0见上图见上图a(x,t)0见下图见下图17022111111huuauuunjnjnjnjnjnj 格格式式推推至至变变系系数数方方程程：可可将将常常系系数数方方程程的的差差分分格格式式：FriedrichsLax)1(,an j“冻冻结结系系数数”法法分分析析稳稳定定性性（不不严严格格）：先先把把 看看作作与与无无关关的的常常数数，用用F Fo ou ur ri ie er r方方法法得得到到稳稳定定条条件件后后再再使使指指标标变变化化。18,nnikjhjuv e 设设带带入入差差分分方方程程得得：1(1)(1)(1)(1)1202nikjh
9、n ik jhn ik jhn ik jhn ik jhnjv ev ev ev ev eah 整理得整理得:1(cossin)nnnjvkhi akh v(,)cossinnjGkkhi akh2222|(,)|1(1()sinnjGkakh 稳定性条件为稳定性条件为:|1nja解冻系数解冻系数,稳定性条件为稳定性条件为:max|1njja19下面对下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性格式用能量分析法讨论稳定性；11111L-F1122nnnnnnjjjjjjuuuauu (1)(1)把把格格式式改改写写为为（）（）11 21111111 21111112211()1122njnnnnnn
10、nnjjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjuuuuuauuuuauuauu (2 2)用用乘乘上上式式两两边边得得到到（）（）（）（）（）附加：能量分析法讨论稳定性附加：能量分析法讨论稳定性(严格严格)202111 222211max|1114114njjnnnjjnjjnnnjjjaauuauuu (3)(3)如如果果假假设设，那那么么有有（）（）（）（）（）（）（）22111 211114412njnnnnjjjjuauau （）（）（）1 2222211111122nnnnnnjjjjjjuuuauu 从从而而有有（）（）（）（）（）211 2222211111122()()()n
11、nnnnnjjjjjjuuuauu （）（）22nnjhhjuuh (4 4)用用 乘乘上上式式两两边边并并对对求求和和，记记离离散散模模（）122221112|)()nnnnnhhjjjuuauuh (22111|()()2nnnnhjjjuaauh 220|TtRxMxa，如果11122|2|1|nnjjnnhhaaMhuMu 那那么么由由中中值值定定理理有有：从从而而有有（）202|nMThhueunT 重重复复使使用用上上面面的的式式子子有有，Fourier注注：用用能能量量不不等等式式方方法法来来讨讨论论差差分分格格式式的的稳稳定定性性是是严严格格很很有有技技巧巧的的方方法法，在在实
12、实际际应应用用中中，大大多多采采用用的的方方法法是是简简单单而而实实用用但但非非严严格格的的所所谓谓的的“”方方冻冻结结系系数数把把差差分分格格式式中中的的系系数数在在某某一一点点固固法法来来讨讨论论变变系系数数方方程程的的差差分分格格式式，这这个个方方法法就就是是，那那么么就就当当常常系系数数的的差差分分格格式式，因因此此可可以以用用定定方方法法。1222111|()2nnnnnhhjjjuuaauh （）,1MMeh 230011njnjnjnjnjnjahuuauu 0011njnjnjnjnjnjahuuauu 0221211111njnjnjnjnjnjnjnjnjuuuahhuua
13、uu 写写成成统统一一的的形形式式，有有：2()迎迎风风格格式式：稳定性条件为稳定性条件为:max|1njja24(3)Lax-Wendroff格式()aa x假设22312(,)(,)()2nnjnjnjjuuu x tu x tOtt22()()()()=()()()()uua xtxuuua xa xttxxtua xa xxxua xa xxx 利用微分方程有：（）Taylor展开：展开：25代入代入TaylorTaylor展开式展开式,于是有于是有123(,)(,)()()()()()2njnjnjnjuu x tu x ta xxu xa xa xOxx,()uua xxxx并用中
14、心差商近似)(2),(),(211hOhtxutxuxunjnjnj11112222()()()()nnnnnjjjjjjjauuauuua xO hxxh26 1112111122212jnnnnjjjjnnnnjjjjjjjauuuuhaauuauuh （）211121111222 23()(,)(,)(,)(,)()21()(,)(,)()(,)(,)2jjnjnjnjnjjnjnjnjnjja xu x tu x tu xtu xtOhha xa xu xtu x ta xu x tu xthOhO )()（）（）得到：得到：略去高阶项得到差分方程：略去高阶项得到差分方程：Lax-We
15、ndroff格式格式27282.变系数方程组变系数方程组 (自学自学)（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）1.波动方程的初值问题波动方程的初值问题22222,(0,)(,0)(),(,0)(),uuaxR tTtxu xf xxRuxg xxRt c为常数DAlembert公式公式 22211(,)()()()22()(d)0,x atx atu x tf xatf xatgdadxatxatcxatc 特征方程：29,uuvwatx令令波动方程化为一阶双曲型方程组波动方程化为一阶双曲型方程组(,0)(),()Tu xg xaf x 初始条件初始条件
16、22222uuatx 0,0,Tvwatxuv wwvatx 令令22222uuatx 0 0,.0auuAAtxa 其其中中302.波动方程的显格式波动方程的显格式111122222010220().(),()().nnnnnnjjjjjjjjjjjuuuuuuahOhuf xuug xO 将将波波动动方方程程的的偏偏导导数数用用中中心心差差商商来来近近似似差差分分格格式式截截断断误误差差为为初初始始条条件件离离散散截截断断误误差差为为精度不匹配精度不匹配3111211(,)(,)(,0)().22(),jjjjjju x tu x tuxOtuug x 1(,).ju x t 为匹配精度，
17、采用虚拟节点为匹配精度，采用虚拟节点1111222220,nnnnnnjjjjjjuuuuuuah 12222111()()(1)()().2jjjjjuaf xf xaf xg x 010(),()jjjjjuf xuug x 1012200011(0)2(2)0,jjjjjjnuuuauuuh 其中，1ju 消去3211221122111110,0,0,0.jjjjnnnnjjnnnnjjwwvvvwaatxhwvwwvvaatxh 1211,jnnnnjjjjnnjuuuuuuvwavwtxh 等价的一阶方程组等价的一阶方程组1111222220nnnnnnjjjjjjuuuuuuah
18、等等价价于于21 i(,),2sin,2i 1()11ckhGkcaccGa 其中33(推导详见后页推导详见后页)34是否为稳定充分条件？是否为稳定充分条件？1a 为稳定必要条件为稳定必要条件见见P633536定理3.7（1）定理3.7（2）3711221122111110,(4.15)0.jjjjnnnnjjnnnnjjwwvvahwwvvah 3.波动方程差分格式的波动方程差分格式的C.F.L条件条件AB为为差分格式差分格式解在解在P点的依赖区域，点的依赖区域，DE为为微分方程微分方程解在解在P点的依赖区域。点的依赖区域。DA，BE处初值的变化无法影响差分格式的解，处初值的变化无法影响差分
19、格式的解，因此差分格式的解不会收敛到微分方程的解。因此差分格式的解不会收敛到微分方程的解。40 22222,(0,)(0)(,0)(),(,0)(),11(,)()()()22x atx atuuaxR tTatxu xf xxRuxg x xRtu x tf xatf xatgda 微分方程依赖区域为微分方程依赖区域为DE特征线特征线()jnxxa tt xjnxatjnxat依赖区间t(,)jnu x t在在t=0所截区间所截区间,jnjnxatxat41xj nxj nx依赖区间tnjuAB()jnnjxxttttxxh 1111222220nnnnnnjjjjjjuuuuuuah h
20、按前面两种边界离散方式，按前面两种边界离散方式，第第n层差分格式的解层差分格式的解 依赖依赖初始函数初始函数f(x),g(x)在点集在点集,j njj nxxx上的初值上的初值njunju依赖区域为过点依赖区域为过点(,)jnx t的两条直线与的两条直线与x轴相交而得轴相交而得其中其中差分方程依赖区域差分方程依赖区域:42()xnjttxx 差差分分格格式式依依赖赖区区域域：与与 轴轴交交点点确确定定的的区区间间；=1a 时不稳定时不稳定(Page63)11,aa或或.C F L 条条件件为为收收敛敛必必要要条条件件，非非充充分分条条件件()1()xjnnjxxa ttttxxa 微微分分方方
21、程程依依赖赖区区域域：即即与与 轴轴交交点点确确定定的的区区间间；差差分分格格式式依依赖赖区区域域包包含含微微分分方方程程依依赖赖区区域域434.波动方程的等价方程组的差分格式波动方程的等价方程组的差分格式 222220,0,0 ,0,001.Lax-Friedrichs(A)1,()12.Lax-Wendroff(A)1,()1Tvwauuuutxavwtxtxwvatxauuuv wAAatxaAaaAaa 令令其中一阶双曲型方程的各种格式均可使用，如一阶双曲型方程的各种格式均可使用，如 0 ,0,00Tauuuv wAAatxa 其其中中1.Lax-Friedrichs(A)1,()1A
22、aa11111111111()2021()202nnnnnjjjjjnnnnnjjjjjvvvwwahwwwvvah 111111()202nnnnnjjjjjAuuuuuh 452.Lax-Wendroff(A)1,()1Aaa 0 ,0,00Tauuuv wAAatxa 其其中中 2211111222111112(2)22(2)22nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjaavvwwvvvhhaawwvvwwwhh 22111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuAAuhh 46课堂练习课堂练习P817.试构造求解方程组试构造求解方程组的迎风格式的迎风格式.(Page71)0,01(,)10TuuAtxuu vA 其中，47
