1、5.3 5.3 协整与误差修正模型协整与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整二、协整的检验二、协整的检验三、关于均衡与协整的再讨论三、关于均衡与协整的再讨论四、误差修正模型四、误差修正模型 一、长期均衡与协整分析一、长期均衡与协整分析Equilibrium and Cointegration1、问题的提出、问题的提出 经典回归模型（经典回归模型（classical regression modelclassical regression model）是建立在是建立在平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型
2、，否则会出现回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。等诸多问题。由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是即它们之间是协整的（协整的（cointegrationcointegration)，则是可以使用经典回归模型方则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。法建立回归模型的。例如，中国居民实际消费水平与实际收入水平变量例如，中国居民实际消费水平与实际收入水平变量,从经从经济理论上说，居民收入决定着居民消费
3、水平，它们之间有济理论上说，居民收入决定着居民消费水平，它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 2 2、长期均
4、衡、长期均衡tttXY10该均衡关系意味着该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：Y等于它的均衡值：等于它的均衡值：Yt-1=0 0+1 1Xt-1；Y小于它的均衡值：小于它的均衡值：Yt-1 0 0+1 1Xt-1；在时期在时期t，假设，假设X有一个变化量有一个变化量 Xt，如果变量，如果变量X与与Y在时期在时期t与与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情况，则系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为的相应变化量为:11,ttttttYXv 如果如果t-1
5、期末，发生了上述第二种情况，即期末，发生了上述第二种情况，即Y的的值小于其均衡值，则值小于其均衡值，则t期末期末Y的变化往往会比第的变化往往会比第一种情形下一种情形下Y的变化大一些；的变化大一些；反之，如果反之，如果t-1期末期末Y的值大于其均衡值，则的值大于其均衡值，则t期期末末Y的变化往往会小于第一种情形下的的变化往往会小于第一种情形下的 Yt。可见，如果可见，如果Yt=0 0+1 1Xt+t t正确地提示了正确地提示了X与与Y间的长期稳定的间的长期稳定的“均衡关系均衡关系”，则意味着，则意味着Y对对其均衡点的偏离从本质上说是其均衡点的偏离从本质上说是“临时性临时性”的。的。一个重要的假设
6、就是一个重要的假设就是:随机扰动项随机扰动项 t t必须是平必须是平稳序列。稳序列。如果如果 t t有随机性趋势（上升或下降），有随机性趋势（上升或下降），则会导致则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。累积下来而不能被消除。Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡非均衡误差（误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：tttXY10 如果如果X与与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有
7、零期望值，即是具有即是具有0均值的均值的I(0)序列。序列。非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。平稳的。称变量称变量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）。）。3 3、协整、协整 如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 都是都是d d阶单整，存在向量阶单整，存在向量=(=(1 1,2 2,k k)，使得，使得Z Zt t=X XT T I(d-bI(d-b)，其中，其中，b0b0，X=(XX=(X1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt)T T，则认为序列，则认为序列XX1t1t,X,X2t2t,X,
8、Xktkt 是是(d,b(d,b)阶协整阶协整，记为，记为X XttCI(d,bCI(d,b)，为协整向量（为协整向量（cointegrated vector）。）。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。不相同，就不可能协整。3 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。可能经过线性组合构成低阶单整变量。)2(),2(),1(IUIVIWttt)0()1(IePcWQIb
9、UaVPtttttt)1,1(,)1,2(,CIPWCIUVtttt（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,dd,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。比例关系。例如，中国居民收入例如，中国居民收入X X和消费和消费Y Y，它们各自都是，它们各自都是2 2阶单整，阶单整，如果它们是如果它们是(2,2)(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长阶协整，
10、说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。建立如下居民人均消费函数模型是合理的。01tttYX 尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。的回归分析方法建立回归模型。二、协整检验二、协整检验EG检验检验 1 1、两变量的、两变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为了检验两个变量YtI(1)、XtI(1)是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步
11、，第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：tttttYYeXY10称为协整回归协整回归(cointegrating)或静态回归静态回归(static regression)。第二步，第二步，检验非均衡误差的单整性。如果非均衡误差为平稳序列I(0)，则认为变量Yt、Xt为(1,1)阶协整；否则，认为变量Yt、Xt不存在协整关系。非均衡误差的单整性的检验方法仍然是非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DFDF检验检验或者或者ADFADF检验。检验。需要注意是需要注意是，这里的，这里的DF或或ADF检验是针对协整回检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。
12、归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。而而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此法采用了残差最小平方和原理，因此估计量估计量 是向下偏倚的是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。实际情形大。于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该比正常临界值应该比正常的的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的通过模拟试验给出了协整检验的临界值。临界值。例题：例题：对经过价格指数调整后的对经过价格指数调整后的19802013年间年间中国居民总量消费中国居
13、民总量消费Y与总量可支配收入与总量可支配收入X的数据，的数据，检验它们取对数的序列检验它们取对数的序列lnY与与lnX间的协整关系。间的协整关系。对于对于lnY与与lnX，经检验，它们均是，经检验，它们均是I(1)序列，序列，最终的检验模型如下：最终的检验模型如下：在5%的显著性水平下，ADF检验的临界值为3.555 21ln0.05420.00060.7656 ln(4.208)(0.980)(4.236)ttYTY21ln0.0673 0.00060.8129 ln(3.080)(0.656)(4.474)ttXTX 对对lnY与与lnX进行如下协整回归：进行如下协整回归：ln0.6837
14、0.8714 ln(7.127)(95.275)ttYX 对计算得到的残差序列进行对计算得到的残差序列进行ADF检验，最终检检验，最终检验模型为：验模型为：5%的显著性水平下协整的ADF检验临界值为3.521 结论：中国居民总量消费的对数序结论：中国居民总量消费的对数序列列lnYlnY与总可支配收入的对数序列与总可支配收入的对数序列lnXlnX之间存在（之间存在（1,11,1）阶协整。）阶协整。注意：查什么临界值表？112340.8970.4050.4850.5680.643(6.106)(2.869)(3.370)(3.779)(4.365)tttttteeeeee注意：注意：这里采用由协整
15、检验临界值表算得的临界值（3.521），没有采用ADF检验给出的临界值（1.953），是正确的。但是，在很多应用研究中忽视了这一点，而直接采用ADF检验给出的临界值，则是错误的，容易产生误判。2 2、多变量协整关系的检验、多变量协整关系的检验扩展的扩展的E-GE-G检验检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：tttttYXWZ3210非均衡误差项t应是I(0)序列：tttttYXWZ3210 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：tt
16、tvWZ110tttvYX210 则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如tttttttYXWZvvv110021 由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。一定是I(0)序列。检验程序：检验程序：对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存
17、在稳定的线性组合。存在稳定的线性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLSOLS估计并检验残差序列是否平稳。估计并检验残差序列是否平稳。如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLSOLS估计及相应的残差项检验。估计及相应的残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不
18、存在（在（d,dd,d）阶协整。）阶协整。检验残差项是否平稳的检验残差项是否平稳的DF与与ADF检验临界值要比通常检验临界值要比通常的的DF与与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。的变量个数的影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。3 3、高阶单整变量的、高阶单整变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 E-G检验是针对检验是针对2个及多个个及多个I(1)变量之间的协整关变量之间的协整关系检验而提出的。系检验而提出的。在实际宏观经济研究中，经常需要检验在实际宏观经济
19、研究中，经常需要检验2个或多个或多个高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用个高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用E-G两步法，但是残差单位根检验的分布同样已两步法，但是残差单位根检验的分布同样已经发生改变。经发生改变。三、关于均衡与协整关系的讨论三、关于均衡与协整关系的讨论 协整方程等价于均衡方程？协整方程等价于均衡方程？协整方程不等价于均衡方程协整方程不等价于均衡方程 协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上在统计上一定存在协整
20、关系；反之，在统计上存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必要条件，而不是充分条件。要条件，而不是充分条件。均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时间序列。间序列。协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程的随机扰动项必须是白噪声。的随机扰动项必须是白噪声。不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。不能由协整导出均衡，只能
21、用协整检验均衡。五、误差修正模型五、误差修正模型Error Correction Model,ECM1 1、一般差分模型的问题、一般差分模型的问题 对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。模型。tttXY10tttvXY11tttv模型只表达了模型只表达了X与与Y间的短期关系，而间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系没有揭示它们间的长期关系。关于变量关于变量水平值的重要信息将被忽略。水平值的重要信息将被忽略。误差项t不存在序列相关，t是一个一阶移动平均时间序列一阶移动
22、平均时间序列，因而是序列相关的。是序列相关的。2 2、误差修正模型、误差修正模型 是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由主要形式是由DavidsonDavidson、HendryHendry、SrbaSrba和和YeoYeo于于19781978年提出的，称为年提出的，称为DHSYDHSY模型。模型。tttXY10tttttYXXY11210tttttttttXYXYXXY12101111211011)1()1()(tttttXYXY)(11011由于现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1,1）阶分布滞后形式 Y Y的变化决定于的变化决定于
23、X X的变化以及前一时期的非均衡的变化以及前一时期的非均衡程度程度。一阶误差修正模型一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式：的形式：tttttXYXY)(11011ttttecmXY11若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y大于其长期均衡解大于其长期均衡解 0 0+1 1X X，ecmecm为正，则为正，则(-(-ecmecm)为负，使得为负，使得 Y Yt t减少；减少；若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y小于其长期均衡解小于其长期均衡解 0 0+1 1X X ，ecmecm为负，为负，则则(-(-ecmecm)为正，使得为正，使得
24、Y Yt t增大。增大。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。复杂的复杂的ECM形式形式，例如：，例如：tttttttYYXXXY2211231210tttttttXYXXYY)(110113112tttttttYZZXXY12211210tttttttZXYZXY)(121101113 3、误差修正模型的建立、误差修正模型的建立 Granger 表述定理表述定理（Granger representaion theorem）Engle 与与 Granger 1987年提出年提出 如果变量如果变量X X与与Y Y是协整的，则它们间的短期非均衡关是协整的，则它
25、们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。系总能由一个误差修正模型表述。tttecmXYlaggedY1),(模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后；由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非滞后差分项Xt。建立误差修正模型建立误差修正模型，需要：需要：首先首先对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关系假设。系假设。然后然后对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即即检验长期均衡关系假设，并以这种关系关系，即即检验长期均衡关系假设，并以这种关系构成误差修正项。构成误差修正项。最后
26、最后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。短期模型，即误差修正模型。Engle-Granger两步法两步法 第一步第一步，进行协整回归（，进行协整回归（OLS法），检验变量间的法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第二步第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用为非均衡误差项加入到误差修正模型中
27、，并用OLS法估计相应参数。法估计相应参数。需要注意的是需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。项的稳定性检验就无须再设趋势项。另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。则应加入变量差分的滞后项。例题：例题：建立中国居民总量消费建立中国居民总量消费Y的误差修正模的误差修正模型。型
28、。经检验，中国居民总量消费（经检验，中国居民总量消费（Y）与可支配总收入）与可支配总收入（X）的对数序列间呈协整关系。）的对数序列间呈协整关系。以以lnY关于关于lnX的协整回归中稳定残差序列作为误差的协整回归中稳定残差序列作为误差修正项，可建立如下误差修正模型修正项，可建立如下误差修正模型：滞后阶数由滞后阶数由LM检验确定检验确定11ln0.521ln0.393ln0.226(5.847)(3.850)(2.175)ttttYXYe 注意：注意：在实际应用研究中，如果误差修正模型中在实际应用研究中，如果误差修正模型中误差修正项的参数估计值为正，模型肯定是错误误差修正项的参数估计值为正，模型肯定是错误的。的。
