1、问题问题1:一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的的作用下产生的位移位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎所做的功应当怎样计算？样计算？力做的功：力做的功：W=|F|s|cos，是是F与与s的夹角。的夹角。位移位移SOAF一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景第1页/共23页问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW|a|bcosba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；第2页/共23页平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a 和b，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积
2、），记作a b ，即 cos|ba cos|baba （2）a b中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能写 成ab，ab 表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 00a（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。第3页/共23页问题3：影响数量积大小的因素有哪些？a b|a|b|cos这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角夹角 的范围的范围 900 9018090的正负ba正负0数量积符号由cos 的符号所决定第4页/共23页2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误 错误错误正确正确 。是锐角，则中，若在D
3、D.DABC0BCABABC)4(错误错误。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确正确 。是锐角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)5(第5页/共23页平面向量的数量积的运算性质问题4 4：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ab ab0问题5 5：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a .aa第6页/共23页问题6 6：a
4、b与ab的大小关系如何？为什么？abab 问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角？.cosbaba 12,9,54 2,.ababab 例：已知求与的夹角第7页/共23页（）a b|a|b|.（）ab a b=0.(判断两向量垂直的依据)|.2或a aaaa a特别地，（）当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.cos.a bab（）平面向量的数量积的运算性质设向量设向量a、b为两非零向量，则为两非零向量，则第8页/共23页1.5,4,120.ababa b 例 已知与 的夹角，求cosa ba b 解：5 4 cos12015 4()102 第9页/共23页,1:平
5、行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD练习练习92ADBCAD或 BCAD.1:,60DAB3,AD4,ABABCD,图求中，在平行四边形如 CDAB.2a ab=b=aab bcoscosBACD60 DAAB.3第10页/共23页 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB162ABCDAB或,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与 DAAB62134120cosDAABDAAB CDAB.2 DAAB.3BACD60120进行向量数进行向量数量积计算时量积计算时,既要考虑向既要考虑向量的模量
6、的模,又又要根据两个要根据两个向量方向确向量方向确定其夹角定其夹角a ab=b=aab bcoscos第11页/共23页平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？|b|cos叫向量b 在a 方向上的投影bOBaOA ，作作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为 ，则1B 1OB|b|cosOABab 1BacosC第12页/共23页说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BOABab)(1B为锐角时，|b|cos0为钝角时，|b|cos0为直角时，|b|cos=0当 =0 时投影为|b|当 =180 时投影为-|b|.第13页/
7、共23页问题4 4：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义是什么？数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积.第14页/共23页上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|32024练一练：练一练：第15页/共23页类比实数的乘法运算律：()()()a bb aab ca bcabca ba c 交换律：结合律：分配律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积
8、运算不满足乘法结合律。数量积运算不满足乘法结合律。交换律：abba分配律：cbcacba)(思考：ab与ba相等吗？为什么？思考：对于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？(ab)c与 a(bc)相等吗？为什么？思考：对于向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？它与acbc相等吗？为什么？问题问题8:8:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？对向量是否也适用？数乘结合律：(a)b(ab)a(b)()(cbacba注：注：第16页/共23页12 1A1BABOabCc2B1|cos|cosOBOBab 11|cosOAa112
9、2|cosABABb 如图可知：111112|cos|cos|cosOBOAABabab 12|cos|cos|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 第17页/共23页判断下列命题或等式的正确与否 若b 0，a b=0，则a=0若a b=b c，(b 0)，则a=ca b0 b0 若若，a0那那么么a bb c b0ac 若若（），那那么么错误错误错误（a b）c=a（b c）)()(cbacba则第18页/共23页 222222(1)2(2)ababaa bbababab例、对 任 意 向 量，是 否 有 以 下 结 论：2222()(
10、)2(2)()()ababa aa bb ab aaa bbababa aa bb ab bab 2解：（1）（a+b）第19页/共23页 3646023.abababab例、已知，与 的夹角为，求222266cos6664cos606472aa bb baa bb baabb 解：（a+2 b）(a-3 b)=a第20页/共23页4 34ababkakbakb例、已知，与 不共线，为何值时，向量与互相垂直？2222222+039,41 6.91 6034ak bak bak bak bakbabkk解：与互 相 垂 直 的 条 件 是（）()=0即第21页/共23页小结小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用a 求向量的模.常用求向量的夹角.a acosa bab第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页
