1、【 精品教育资源文库 】 第 1 讲 机械振动 一、简谐运动 1.简谐运动 (1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向 平衡位置 ，质点的运动就是简谐运动 . (2)平衡位置：物体在振动过程中 回复力 为零的位置 . (3)回复力 定义：使物体返回到 平衡位置 的力 . 方向：总是指向 平衡位置 . 来源：属于 效果 力，可以是某一个力，也可以是几个力的 合力 或某个力的 分力 . 2.简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐 运动 条件 弹簧质量要忽略 无摩擦等阻力 在弹簧弹性限度内 摆线为不可伸缩的轻细线 无空气阻力等 最大摆角小于等于 5
2、回复力 弹簧的 弹力 提供 摆球 重力 沿与摆线垂直方向(即切向 )的分力 平衡 位置 弹簧处于 原长 处 最低点 周期 与振幅无关 T 2 Lg 能量 弹性势能 与动能的相互转化， 重力势能 与动能的相互转化，【 精品教育资源文库 】 转化 机械能守恒 机械能守恒 自测 1 (多选 )关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是 ( ) A.简谐运动是匀变速运动 B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量 C.简谐运动的回复力可以是恒力 D.弹簧 振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大 E.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 答案 BD 二、简谐运动的公式和图象 1.表达式 (1)动
3、力学表达式： F kx，其中 “ ” 表示回复力与位移的方向相反 . (2)运动学表达式： x Asin(t 0)，其中 A 代表振幅， 2 f 代表简谐运动的快慢，t 0代表简谐运动的相位， 0叫做 初相 . 2.图象 (1)从 平衡位置 开始计时，函数表达式为 x Asin t ，图象如图 1 甲所示 . (2)从 最大位移 处开始计时，函数表达式为 x Acos t ，图象如图乙所示 . 图 1 自测 2 有一弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 ( ) A.x 810 3sin ? ?4 t 2 m B.x 810 3sin
4、 ? ?4 t 2 m C.x 810 1sin ? ? t 32 m D.x 810 1sin ? ? 4t 2 m 答案 A 解析 振幅 A 0.8 cm 810 3 m， 2T 4 rad/s. 由题知初始时 (即 t 0 时 )振子在【 精品教育资源文库 】 正向最大位移处，即 sin 0 1，得 0 2 ，故振子做简谐运动的振动方程为： x 810 3sin ?4 t 2 m，选项 A 正确 . 三、受迫振动和共 振 1.受迫振动 系统在 驱动力 作用下的振动 .做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期 (或频率 )等于 驱动力的周期 (或频率 )，而与物体的固有周期 (或频率 )无关
5、 . 2.共振 做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者 相等 时，振幅达到最大，这就是共振现象 .共振曲线如图 2 所示 . 图 2 自测 3 (多选 )如图 3 所示， A 球振动后，通过水平细绳迫使 B、 C 振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是 ( ) 图 3 A.只有 A、 C 的振动周期相等 B.C 的振幅比 B 的振幅小 C.C 的振幅比 B 的振幅大 D.A、 B、 C 的振动周期相等 答案 CD 命题点一 简谐运动的规律 【 精品教育资源文库 】 受力 特征 回复力 F kx， F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反 运动 特征
6、 靠近平衡位置时， a、 F、 x 都减小， v 增大；远离平衡位置时， a、 F、 x都增大， v 减小 能量 特征 振幅越大，能量越大 .在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒 周期 性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期 T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T2 对称 性特征 关于平衡位置 O 对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等 例 1 (多选 )(2015 山东理综 38(1) 如图 4 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动 .以竖直向上为正方向，物块简谐
7、运动的表达式为 y 0.1sin (2.5 t) m .t 0 时刻，一小球从距物块 h 高处自由落下； t 0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度 .取重力加速度的大小 g 10 m/s2.以下判断正确的是 ( ) 图 4 A.h 1.7 m B.简谐运动的周期是 0.8 s C.0.6 s 内物块运动的路程是 0.2 m D.t 0.4 s 时，物块与小球运动方向相反 答案 AB 解析 t 0.6 s 时，物块的位移为 y 0.1sin (2.50.6) m 0.1 m，则对小球有 h|y| 12gt2，解得 h 1.7 m，选项 A 正确；简谐运动的周期是 T 2 22.5 s 0.
8、8 s，选项 B 正确； 0.6 s 内物块运动的路程是 3A 0.3 m，选项 C 错误； t 0.4 s T2时，物块经过平衡位置 向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项 D 错误 . 变式 1 如图 5 所示，弹簧振子 B 上放一个物块 A，在 A 与 B 一起做简谐运动的过程中，下【 精品教育资源文库 】 列关于 A 受力的说法中正确的是 ( ) 图 5 A.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 B.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的恒定的摩擦力 D.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的大小和
9、方向都随时间变化的摩擦力 答案 D 变式 2 (多选 )某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x 10sin 4t(cm)，则下列关于质点运动的说法中正确的是 ( ) A.质点做简谐运动的振幅为 10 cm B.质点做简谐运动的周期为 4 s C.在 t 4 s 时质点的速度最大 D.在 t 4 s 时质点的位移最大 答案 AC 【 精品教育资源文库 】 命题点二 简谐运动图象的理解和应用 1.可获取的信息： (1)振幅 A、周期 T(或频率 f)和初相位 0(如图 6 所示 ). 图 6 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移 . (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的
10、斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速 度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定 . (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向 t 轴 . (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况 . 2.简谐运动的对称性： (图 7) 图 7 (1)相隔 t (n 12)T(n 0,1,2， ?) 的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向 . (2)相隔 t nT(n 1,2,3， ?) 的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速 度都相同 . 例 2
11、(2017 北京理综 15) 某弹簧振子沿 x 轴的简谐运动图象如图 8 所示，下列描述正确的是 ( ) 图 8 A.t 1 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B.t 2 s 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C.t 3 s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D.t 4 s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 【 精品教育资源文库 】 答案 A 解析 t 1 s 时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故 A 正确； t 2 s 时，振子位于平衡位置并向 x 轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零 ，故 B 错误； t 3 s 时，振子位于负向位移
12、最大处，速度为零，加速度为正向最大，故 C 错误； t4 s 时，振子位于平衡位置并向 x 轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故 D 错误 . 例 3 一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图 9 所示 . 图 9 (1)求 t 0.2510 2 s 时质点的位移； (2)在 t 1.510 2 s 到 t 210 2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能大小如何变化？ (3)在 t 0 到 t 8.510 2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？ 答案 (1) 2 cm (2)变大 变大 变小 变小 变大 (3)34 cm 2 cm 解析 (1)由题 图可知 A 2
13、 cm， T 210 2 s，振动 方程为 x Asin (t 2) Acos t 2cos ( 2210 2t) cm 2cos (100 t) cm 当 t 0.2510 2 s 时， x 2cos 4 cm 2 cm. (2)由题图可知在 t 1.510 2 s 到 t 210 2 s 的振动过程中，质点 的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大 . (3)在 t 0 到 t 8.510 2 s 时间内， t 174T (4 14)T，可知质点的路程为 s 17A 34 cm，位移为 2 cm. 变式 3 质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系曲线如图 10 所示，由
14、图可知 ( ) 图 10 A.振幅为 4 cm，频率为 0.25 Hz 【 精品教育资源文库 】 B.t 1 s 时速度为零，但质点所受合外力最大 C.t 2 s 时质点具有正方向最大加速度 D.该质点的振动方程为 x 2sin 2t(cm) 答案 C 命题点三 单摆及其周期公式 1.单摆的受力特征 (1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力， F 回 mgsin mglx kx，负号表示回复力 F 回 与位移 x 的方向相反 . (2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力， F 向 FT mgcos . (3)两点说明 当摆球在最高点时， F 向 mv2l 0， FT mgcos . 当摆球在最低点时， F 向 mv 2maxl ， F 向 最大， FT mg mv 2maxl . 2.周期公式 T 2 lg的两点说明 (1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离 . (2)g 为当地重力加速度 . 例 4 如图 11 甲是一个单摆振动的情形， O 是它的平衡位置， B、 C 是摆球所能到达的最远位置 .设向右为正方向 .图乙是这个单摆的振动图象 .根据图象回答： 图 11 (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为 10 m/s2，试求这个单
