1、九九 年年 级级 数数 学学 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质西平中学：柴亚军w怎样直接作出怎样直接作出函数函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象?函数y=ax+bx+c的图象 w我们知道我们知道,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象,通过平移抛物线通过平移抛物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象.w1.1.配方配方:5632xxy35232xx提取二次项系数3511232xx配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方32132x整理:前三项化为平方形式,后两
2、项合并同类项.2132x化简:去掉中括号老师提示老师提示:配方后的表达配方后的表达式通常称为式通常称为配配方式方式或或顶点式顶点式直接画函数y=ax+bx+c的图象w4.4.画对称轴画对称轴,描点描点,连线连线:作出二次函数作出二次函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2+2+2的图象的图象 w2.2.根据配方式根据配方式(顶点式顶点式)确定开口方向确定开口方向,对称轴对称轴,顶点坐标顶点坐标.x-2-101234 2132xyw3.3.列表列表:根据对称性根据对称性,选取适当值列表计算选取适当值列表计算.292914145 52 25 514142929wa=30,a=30,开口向上开口向
3、上;对称轴对称轴:直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2).学了就用,别客气?作出函数作出函数y=2xy=2x2 2-12x+13-12x+13的图象的图象.5632xxyX=1(1,2)131222xxyX=3(3,-5)w例例.求次函数求次函数y=ax+bx+c的对的对称轴和顶点坐标称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 w一般地一般地,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方法我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标推导出它的对称轴和顶点坐标.w1.1.配方配方:cbxaxy2acxabxa2提取二次项系数ac
4、ababxabxa22222配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方222442abacabxa整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.44222abacabxa化简:去掉中括号老师提示老师提示:这个结果通常这个结果通常称为求称为求顶点坐顶点坐标公式标公式.44222abacabxay顶点坐标公式?因此因此,二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：.2:abx它的对称轴是直线.44,22abacab它的顶点是.44222abacabxay;13122.1
5、2xxy;319805.22xxy;2212.3xxy.2123.4xxy例：指出抛物线例：指出抛物线:254yxx 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与标、与y y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x x轴的交点坐轴的交点坐标。并画出草图。标。并画出草图。对于对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴轴的交点坐标、与的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时）轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。，这样就可以画出它的大致图象。练习练习:1.抛物线抛物线
6、y=x2-bx+3的对称轴是的对称轴是x=2,求求b的值的值.2.已知二次函数已知二次函数y=-x2+2x+c的最的最大值是大值是4,求求c的值的值.例例4：若抛物线：若抛物线y=x2-4x+c的顶点的顶点在在x轴上，求轴上，求c的值。的值。变化：抛物线变化：抛物线y=x2-4x+c的顶点在的顶点在y=x+1上，求上，求c的值。的值。解题时可以考虑多种方法解题时可以考虑多种方法练习练习：已知抛物线：已知抛物线y=-3x2-2x+m的的顶点在直线顶点在直线 上，上，求求m的值的值y=3x+13例例5：抛物线：抛物线y=2x2+bx的对称轴在的对称轴在y轴的右侧。求轴的右侧。求b的取值范围。的取值
7、范围。例6 已知二次函数已知二次函数3)2(22mxmmyx(1)当当m取何值时取何值时,函数图象关于函数图象关于y轴轴对称对称;(2)当当m取何值时取何值时,函数图象与函数图象与y轴交轴交点纵坐标是点纵坐标是1;(3)当当m取何值时取何值时,函数最小值是函数最小值是-2.例例7 已知抛物线已知抛物线和和(1)求证求证:不论不论m取何值取何值,抛物线抛物线y1的顶点的顶点总在总在y2抛物线上抛物线上;(2)当抛物线经过原点时当抛物线经过原点时,求求y1的解析式的解析式,在同一坐标系中作出两个图象在同一坐标系中作出两个图象;)1(2)4(21mxmxy6422xxy 指出下列抛物线的开口方向、求
8、出指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与它的对称轴、顶点坐标、与y y轴的交轴的交点坐标、与点坐标、与x x轴的交点坐标。并画出轴的交点坐标。并画出草图。草图。256yxxB1.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的顶点在的顶点在 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的的顶点都顶点都在在A.A.直线直线y=xy=x上上 B.B.直线直线y=-xy=-x上上C.xC.
9、x轴上轴上 D.yD.y轴上轴上3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2+4x+a-1+4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是的值是 A.A.4 B.-1 C.3 D.44 B.-1 C.3 D.4或或-1-14.4.若二次函数若二次函数 y=axy=ax2 2+b x+c+b x+c 的图象如下的图象如下,与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则下列则下列各式中不成立的是各式中不成立的是()()A.bA.b2 2-4ac0 B.abc0-4ac0 B.abc0C.a+b+c=0 D.a-b+c0C.a+b+c=0 D.a-b+c0)y=ax
10、y=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当独立独立作业作业1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.;5.12xy;142.22xxy;263.32xxy;21.4xxy.933.5xxy 谢谢大家，再会谢谢大家，再会!结束寄语探索是数学的生命线探索是数学的生命线.再 见
