整理全面《高中数学知识点归纳总结》.pdf

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资源描述

1、- 1 - 教师版高中数学必修 +选修知识点归纳 引言 1. 课程内容: 必修课程 由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数 (三角函数)、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时, 进一步强调了这些知识的发生、 发展过程

2、和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程 有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块组成。 选修 11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修 12:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 22:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修 23:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列 3:由 6 个专题组成。 选修 31:数学史选讲。 选修 32:信息安全与密码。 选修 33:球面

3、上的几何。 选修 34:对称与群。 选修 35:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36:三等分角与数域扩充。 系列 4:由 10 个专题组成。 选修 41:几何证明选讲。 选修 42:矩阵与变换。 选修 43:数列与差分。 选修 44:坐标系与参数方程。 选修 45:不等式选讲。 选修 46:初等数论初步。 选修 47:优选法与试验设计初步。 选修 48:统筹法与图论初步。 选修 49:风险与决策。 选修 410:开关电路与布尔代数。 2重难点及考点: 重点: 函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数 难点: 函数、圆锥曲线 高考相关考点: 集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、

4、 简易逻 辑、充要条件 函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程:椭圆、双曲线

5、、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 - 2 - 排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 导数:导数的概念、求导、导数的应用 复数:复数的概念与运算 必修 1 数学知识点 第一章:集合与函数概念 1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素 ,把一些元素组成的总 体叫做 集合 。集合三要素:确定性、互异性、无 序性 。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等 。 3、 常见集合: 正整

6、数集合 : * N或N,整数集合 : Z,有理数集合 :Q,实数集合 :R. 4、集合的表示方法:列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合 B 的子集 。记作BA. 2、 如果集合BA,但存在元素Bx,且Ax, 则称集合A 是集合 B 的真子集 . 记作: A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集 .记作:.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有 n 个元素,则集合A有 n 2个子 集,21 n 个真子集 . 1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有

7、属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A与 B的并集 . 记作:BA. 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A与 B的交集 . 记作:BA. 3、全集、补集 ?|, U C Ax xUxU且 1.2.1、函数的概念 1、 设 A 、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集 合 B中都有惟一确定的数xf和它对应, 那么就 称BAf :为集合 A到集合 B的一个 函数 ,记 作:Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域 . 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称 这

8、两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法: 设 2121 ,xxbaxx、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数; ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数 . 步骤:取值作差变形定号判断 格 式 : 解 : 设baxx, 21 且 21 xx, 则 : 21 xfxf= (2)导数法: 设函数)(xfy在某个区间内可导, 若0)(xf,则)(xf为增函数; 若0)(xf,则)(xf为减函数 . 1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如

9、果对于函数xf的定义域内任意一个 x,都有xfxf,那么就称函数xf为 偶函数 . 偶函数图象关于y轴对称 . 2、 一般地,如果对于函数xf的定义域内任意一个 x,都有xfxf,那么就称函数xf为 奇函数 . 奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(xfy在点 0 x处的导数的几何意义: 函数)(xfy在点 0 x处的导数是曲线)(xfy在 )(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 xf, 相应的切线方 程是)( 000 xxxfyy. 2、几种常见函数的导数 C0; 1 )( nn nxx; xxcos)(sin ; xxsin)(cos ; aaa xx ln)

10、( ; xx ee )(; ax x a ln 1 )(log ; x x 1 )(ln 3、导数的运算法则 (1) ()uvuv. (2) ()uvuvuv. - 3 - (3) 2 ()(0) uu vuv v vv . 4、复合函数求导法则 复合函数( ( )yf g x的导数和函数 ( ),( )yf u ug x的导数间的关系为 xux yyu , 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积 . 解题步骤 :分层层层求导作积还原. 5、函数的极值 (1) 极值定义: 极值是在 0 x附近所有的点,都有)(xf)( 0 xf, 则)( 0 xf 是函数 )(xf 的极大值;

11、极值是在0x附近所有的点,都有)(xf)(0xf, 则)( 0 xf是函数)(xf的极小值 . (2) 判别方法: 如果在 0 x附近的左侧)( xf0,右侧)( xf0, 那么)( 0 xf是极大值; 如果在 0 x附近的左侧)( xf0,右侧)( xf0, 那么)( 0 xf是极小值 . 6、求函数的最值 (1) 求( )yf x在( , )a b内的极值 (极大或者极小值) (2) 将( )yf x的各极值点与( ),( )f af b比较, 其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质); 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质 )。

12、 第二章:基本初等函数() 2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果ax n ,那么x叫做a的n次方根。 其中 Nnn, 1. 2、 当n为奇数时,aa nn ; 当n为偶数时,aa nn . 3、 我们规定: mn m n aa 1,0 * mNnma; 0 1 n a a n n ; 4、 运算性质: Qsraaaa srsr , 0; Qsraaa rs s r ,0; Qrbabaab rrr , 0, 0. 2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象:1, 0 aaay x 2、性质: 2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式:log x a aNxN; 2、对数

13、恒等式: logaN aN. 3、基本性质:01loga ,1log a a . 4、运算性质:当0, 0, 1,0NMaa时: NMMN aaa logloglog; NM N M aaa logloglog ; MnM a n a loglog. 1a10a 图 象 -1 -4-2 0 1 -1 -4-2 0 1 性 质 (1) 定义域: R (2)值域:(0,+) (3)过定点( 0,1) ,即 x=0 时, y=1 (4)在 R 上是增函数(4)在 R上是减函数 (5)0,1 x xa; 0,01 x xa (5)0,01 x xa; 0,1 x xa 00,02或0,等 极坐标与直角

14、坐标的不同是,直角坐标系中,点 与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是( ,)x y, 极坐标是( , ),从图中可以得出: 222 cos ,sin ,t n(0). xy y xyax x 4、简单曲线的极坐标方程 圆的极坐标方程 以极点为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是 a; (如图 1) 以( ,0)a)0(a为圆心,a为半径的圆的极坐标方 程是cos2a; (如图 2) 以( ,) 2 a)0(a为圆心,a为半径的圆的极坐标方 程是sin2a; (如图 4) 直线的极坐标方程

15、 过极点的直线的极坐标方程是)0(和 (0). (如图 1) 过点)0)(0,(aaA,且垂直于极轴的直线l 的极坐 标方程是acos. 化为直角坐标方程为xa. (如图 2) 过点( ,) 2 A a 且平行于极轴的直线l 的极坐标方程 是sina. 化为直角坐标方程为ya.(如图 4) cox siy 222 yx )0(tax x y y y x O M H N cos2a axO M 图2 sin2a a x O M 图4 sin2a a xO M 图5 cos2a a x O M 图3 a a xO M 图1 ),(a )cos(2a a xO M 图6 - 11 - 5、柱坐标系与

16、球坐标系 柱坐标:空间点P的直角坐标( , , )x y z与柱坐标 (, , )z的变换关系为: cos sin x y zz . 球坐标系 空间点P直角坐标),(zyx与球坐标),(r的变 换关系: 2222 sincos sinsin cos xyzr xr yr zr . 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 yx,都是某个变数 t的函数 ),( ),( tgy tfx 并且对于t的 每一个允许值,由这个方程所确定的点),(yxM都在 这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方 程,联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ,简称 参数 。 相对于参数方程而言

17、,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做 普通方程 。 7、常见曲线的参数方程 (1)圆 222 ()()xaybr的参数方程为 cos sin xar ybr (为参数); (2)椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程为 cos sin xa yb (为参数); 椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程为 cos sin xb ya (为参数); (3)双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程 sec t an xa yb (为参数); 双曲线 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程 c o t c sc xb ya (为参数);

18、(4)抛物线 2 2ypx参数方程 2 2 2 xpt ypt (t为参 数, 1 tan t) ; 参数t的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点),( 00 yxP、倾斜角为() 2 的直线 的参数方程 sin cos 0 0 tyy txx (t为参数) . 8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取 值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使yx, 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要 通过)(),(tgytfx。根据 t 的取值范围导出yx, 的取值范围 . 0 0 xO M 图1 ( , ) cos a aO M 图2 cos a a O M 图3 sin a O M 图4 a sin a O M 图5 a ),(a )cos( a O M p N 图6 ( , ) a - 1 -

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