1、第四章第四章 控制系统根轨迹分析法控制系统根轨迹分析法第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则第三节第三节 系统根轨迹的绘制系统根轨迹的绘制第四节第四节 参量根轨迹参量根轨迹第五节第五节 系统性能的根轨迹分析系统性能的根轨迹分析1 第三章控制系统时域分析的讨论中已经知道，系统动态性能与特征方程第三章控制系统时域分析的讨论中已经知道，系统动态性能与特征方程的根即系统闭环传递函数的极点密切相关。但是在高阶系统中，求解特征的根即系统闭环传递函数的极点密切相关。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事。根的根是一件
2、很困难的事。1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法求解特征方程根的图解方法根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。常系统的一种图解方法。2 定义定义:G:Gk k(s)(s)的某个参数由的某个参数由0 0时，系统的闭环特征根在时，系统的闭环特征根在S S平平面上的变化轨迹。面上的变化轨迹。例例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出已知系统的结构图如下图所示，请绘出K K由由0 0时的根轨迹。时的根轨迹。第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹
3、的基本概念解解：闭环传递函数为：闭环传递函数为KsKsssDKssKssKssKs4204)(4)4(1)4()(2,122系统特征方程为系统特征方程为特征根特征根(与与k有关有关)3 K048.s10-2-2+2j-1+js2-4-2-2-2j-1-jj4有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能（1 1）稳定性稳定性 开环增益开环增益K K从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半入右半s s平面，因此系统对所有的平面，因此系统对所有的K K值都是稳定的。值都是稳定的。（2 2）稳态特性稳态特性 开环系统在坐标原点有
4、一个极点，所以属于一型开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于一型系统。因此根轨迹是的系统。因此根轨迹是的K K值就是静态速度误差系数。如果给定系统值就是静态速度误差系数。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。（3 3）动态特性动态特性 由图中可见，当由图中可见，当0K40K4时，所有闭环极点都位于实时，所有闭环极点都位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K=1K=1时，时，闭环两个实数极点相重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃仍为闭环两
5、个实数极点相重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃仍为非周期过程，但响应速度较非周期过程，但响应速度较0K40K4K4时，闭环极点时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程，为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程，且超调量将会随且超调量将会随K K值的增大而加大。值的增大而加大。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的关系。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的关系。5 一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数但最常用的可变参量是系
6、统的开环传递函数KgKg（也称为根轨迹增（也称为根轨迹增益）。益）。KgKg常规根轨迹常规根轨迹 KgKg以外的参数以外的参数参量根轨迹参量根轨迹以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。6第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹的一、根轨迹的幅值条件幅值条件和和相角条件相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，一般的闭环系统结构框图如图所示，0)()(1sHsG1)()()(s
7、HsGsGk开环传递函数开环传递函数特征方程特征方程1)()()()(11niimjjgpszsKsHsG又可以写为又可以写为ijgpzK-开环零点、极点开环零点、极点-根轨迹增益根轨迹增益7111niimjjgpszsK2,1,0)12(180)()(1111kkpszsmjniijmjniij,2,1,0)12(180)()(1)()(kksHsGsHsG由等式两边由等式两边幅值幅值和和相角相角分别相等的条件可得分别相等的条件可得即即-幅值条件幅值条件-相角条件相角条件kgpszsniimjj/111或或8)()()(211pspsszsKsGgK13210lLLLKg)12(180321
8、1k例例 已知开环系统的传递函数已知开环系统的传递函数必满足相角条件必满足相角条件必满足幅值条件必满足幅值条件0s若若s平面上的某点，例如 是闭环特征闭环特征根根，则9二、根轨迹二、根轨迹绘制法则绘制法则 1.根轨迹根轨迹条数条数 条数：条数：n阶系统阶系统n条；开环极点数条；开环极点数n，n条条 2.连续性连续性 特征方程为代数方程，当特征方程为代数方程，当Kg从从0连续变化时，代数方程的根即特征连续变化时，代数方程的根即特征根也会连续变化。根也会连续变化。3.对称性对称性 因为特征根必为实数或为共轭复数，故根轨迹对称于实轴因为特征根必为实数或为共轭复数，故根轨迹对称于实轴 4.起点起点（K
9、g=0）和终点（）和终点（Kg=）:根轨迹从开环极点出发。根轨迹从开环极点出发。起点起点终点终点:开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。设设N(s)为为m阶，有阶，有m个个有限开环零点有限开环零点，还有，还有n-m个个无限零点无限零点。10 5.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 在在S S平面实轴上的线段平面实轴上的线段上，且上，且存在根轨迹的条件是：线段存在根轨迹的条件是：线段右右侧开环零点（有限零点）侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为和开环极点数之和为奇奇数。数。6.分离点和会合点分离点和会合点 分离点分离点：根轨迹相遇后又分开的点：根轨迹相遇后又分开的
10、点；分离角：离开分离点的角度。分离角：离开分离点的角度。会合点会合点：根轨迹相会合的点：根轨迹相会合的点；会合角：进入会合点的角度。会合角：进入会合点的角度。11 一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点之间会有一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点之间会有 一个会合点。一个会合点。计算分离点和会合点的计算分离点和会合点的公式公式：0)()()()(sNsDsDsN(求重根求重根)求出的重根要代入特征方程，只有当求出的重根要代入特征方程，只有当Kg为正，才是分离点和会合点。为正，才是分离点和会合点。()()()gkk N sG sD s若若则则12例例 已
11、知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)5.0)(1.0()1()(sssKsGgk解解：系统有一个开环零点为：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为，有两个开环极点分别为-0.1和和-0.5。根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 -0.1，-0.5,（-，-1。求根轨迹的分离点和会合点。求根轨迹的分离点和会合点。13 根轨迹的分离点和会合点：根轨迹的分离点和会合点：33.067.1055.02)()()()(6.02)(05.06.0)5.0)(1.0()(1)(1)(2122sssssNsDsDsNssDsss
12、ssDsNssN0)()()()(sNsDsDsN由公式由公式有有14求对应分离点、会合点的求对应分离点、会合点的KgKg：代入特征方程代入特征方程(或相关方程或相关方程)jS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.7406.074.20)()(21gggKKsNKsD15mnk)12(180mnzpnimjj110)()(7.渐近线渐近线（1）渐近线）渐近线条数条数：n-m条条 （2）渐近线会与实轴交于一点）渐近线会与实轴交于一点(交点交点)：坐标为（坐标为（-，j0）根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远的直线。根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远的直线。16例例 已知系统的开环传
13、递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。解解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和和-4。8.与虚轴的交点与虚轴的交点 方法一：代数法方法一：代数法 将将s=jw代入系统特征方程，求出代入系统特征方程，求出w的值。的值。方法二：劳斯判据方法二：劳斯判据)1(180)0(603)12(18023420kkk)4)(2()(sssKsGgk17例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 请求出根轨迹与虚轴的交点。请求出根轨迹与虚轴的交点。解解：系统的特征方程为系统的特征方程为:方法一
14、：方法一：将将 代入特征方程代入特征方程经整理得经整理得)2)(1()(sssKKsGggk0230)2)(1(23ggKsssKsss0)2()3(02)(3)(3223jKKjjjgg26gKjs 18*方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。列劳斯表列劳斯表若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界使系统处于临界稳定状态，因此稳定状态，因此 ，即，即又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表又因为一对纯虚根必为数值相同，
15、符号相反的根，所以用劳斯表S2行的系数可以行的系数可以构成辅助方程。构成辅助方程。gggKsKsKss012336321036gK2032,12jsKsg6gK199.出射角与入射角出射角与入射角 出射角：出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。入射角入射角：位于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角：位于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。10.根轨迹线的走向根轨迹线的走向 一些往右走，一些往左走一些往右走，一些往左走111111)(180)(180mjniiimjniii入出20第三
16、节第三节 系统根轨迹的绘制系统根轨迹的绘制 00p11p解解：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为（2）3条起点条起点：三个开环极点：三个开环极点 ，（1）3条根轨迹条根轨迹（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹：区间为（：区间为（-，-2，-1，0。例例己知系统己知系统参参数数 a=2，绘制系统闭环特征根的轨迹线。，绘制系统闭环特征根的轨迹线。)2)(1()(sssKsGgk22 p终点终点：无穷远：无穷远绘制系统根轨迹主要依靠上面介绍的绘制系统根轨迹主要依靠上面介绍的些法则些法则,以例说明以例说明:21180,60)12(180mnk（4）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点)2)(1()(ss
17、sKsGgk23620ss423.01s由4-9式：577.12s(不是不是)解此方程可得解此方程可得（5）根轨迹渐近线的倾角：）根轨迹渐近线的倾角：根轨迹渐近线与实轴的交点：根轨迹渐近线与实轴的交点：130)210(a22（6）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为系统特征方程为6gk 0)2)(1(gKsss23(3)(2)0gkjjs 令令()2 得得2324)204)(4()(2ssssKsGgk 01 p42 p例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制系统根轨迹。试绘制系统根轨迹。解解：（1）系统有）系统有4个开环极点（起点）；终点：无穷远个开环极点
18、（起点）；终点：无穷远423,2js135,45)12(180mnk（2）实轴上根轨迹区间为）实轴上根轨迹区间为-4，0（3）根轨迹渐近线）根轨迹渐近线(4条条)：交点；倾角交点；倾角240)424240(jja25（4）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点)104)(2(4)(,0)()204)(4()(,1)(22ssssDsNsssssDsN0)104)(2(2sss21s代入到（代入到（4-9）式，得）式，得解此方程可得解此方程可得45.223,2js26(5)根轨迹渐近线与根轨迹渐近线与虚虚轴的交点轴的交点系统特征方程为系统特征方程为0)204)(4(2gKssssjs 080368234
19、gKssss令令 ，得，得0)(80)(36)(8)(234gKjjjj03624gK0880316.32,1260gK令实部虚部为零解得27（6）根轨迹在复数极点）根轨迹在复数极点 的出射角的出射角 43,pp 909064116180)4242()442()042(180)()()(1803212023jjjjppppppp由对称性知：由对称性知：904p依上面法则，系统根迹图依上面法则，系统根迹图28 第四节第四节 参量根轨迹参量根轨迹 前面几个小节中讨论的根轨迹都是以开环增益前面几个小节中讨论的根轨迹都是以开环增益KgKg作为参变量作为参变量的，这种根轨迹称为的，这种根轨迹称为常规根轨
20、迹常规根轨迹。而在控制系统的分析设计中，有。而在控制系统的分析设计中，有时还要考虑其它参数变化对系统的影响，因此还需绘制除时还要考虑其它参数变化对系统的影响，因此还需绘制除KgKg以外的以外的其它参数变化时闭环系统的根轨迹。这种选择除其它参数变化时闭环系统的根轨迹。这种选择除KgKg以外其他参量作以外其他参量作为可变参量绘制的根轨迹称作为可变参量绘制的根轨迹称作参量根轨迹参量根轨迹。一般系统参量根轨迹的绘制步骤可归纳如下：一般系统参量根轨迹的绘制步骤可归纳如下：（1 1）求出原系统的特征方程；）求出原系统的特征方程；（2 2）以特征方程中不含该参量的各项除特征方程，得等效系统的）以特征方程中不
21、含该参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数。开环传递函数。（3 3）根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效的根轨迹，即）根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效的根轨迹，即得原系统的参量根轨迹。得原系统的参量根轨迹。系统特征方程如下式所示：系统特征方程如下式所示：以所选可变参量以所选可变参量代替代替KgKg的位置的位置0)()(1)(1sDsNKsGgK0)()(1sQsP29等效开环传递函数为等效开环传递函数为例例 已知系统的结构图如右图所示已知系统的结构图如右图所示,试画出其参量根轨迹。试画出其参量根轨迹。解解：（：（1 1）求系统特征方程）求系统特征方程 （2 2）两边同除以）
22、两边同除以)()()(sQsPsGk)(4ass040)(412assassR(s)-Y(s)4(2s4)(04122sassGsasK30第五节第五节 系统性能的根轨迹分析系统性能的根轨迹分析 根轨迹法分析系统，是根据绘出的系统根轨迹图去分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性，即系统性能；若这些性能未能满足要求时，要对根轨迹进行改造。一、利用根轨迹分析系统性能一、利用根轨迹分析系统性能 由第三章知道，系统的稳定性，可由闭环极点在S平面上虚轴的两半边位置去判断；系统静态性能，由“系统型号”即开环极点的个数和放大系数值决定，在根轨迹图中“坐标原点上的开环极点个数”，就反映了“系统型号”；利用根轨迹
23、分析动态特性时，往往采用“闭环主导极点闭环主导极点”的思想，即认为系统的性能主要由一对“闭环主导极点”来决定，从而利用二阶系统相关的公式去分析或综合系统。下面通过例题说明。31 例例系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，试确定阻尼比，试确定阻尼比 时时的的主导极点和相应的主导极点和相应的 和和 值。值。解解：首先绘制系统根轨迹，在此基础上确定主导极点并求性能参数。：首先绘制系统根轨迹，在此基础上确定主导极点并求性能参数。（1 1）系统有三个开环极点（起点）：）系统有三个开环极点（起点）：，（2 2）实轴上根轨迹区间为（）实轴上根轨迹区间为（-,-4-,-4和和-2-2，0 0。（3 3）根轨
24、迹的分离点计算）根轨迹的分离点计算5.0%st)4)(2()(sssKsGgk00 p21 p42 p08123)4)(2()()()()(2ssssssNsDsNsD解此方程可得解此方程可得32（4 4）根轨迹渐近线的倾角）根轨迹渐近线的倾角 根轨迹渐近线与实轴的交点根轨迹渐近线与实轴的交点（5 5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为系统特征方程为令令 ，得得亦即亦即 83.216.32s180,60)12(180mnk230)420(a086)4)(2(23ggKsssKsssjs 0)(8)(6)(23gKjjj062gK083解得解得48gKS1=-0.8433根据计
25、算结果绘制根轨迹如图。根据计算结果绘制根轨迹如图。稳定性分析稳定性分析:当根迹放大系统小于当根迹放大系统小于48时时,三个闭环极点均位于三个闭环极点均位于S平面的左半平面，平面的左半平面，系统才能稳定。系统才能稳定。静态性能分析静态性能分析 由根轨迹图可知，坐标原点上有一个开环极点，因此，“系统为1型”。阶跃信号输入时稳态误差为0。动态性能分析动态性能分析(1)确定闭环极点，在此基础上确定主导极点5.0cos 60 60由由在图中作与负实轴夹角成在图中作与负实轴夹角成60的等阻线，与根轨迹的交点是的等阻线，与根轨迹的交点是 16.167.02js16.167.01js34因此，闭环极点因此，闭
26、环极点 所对应的系统特征方程为：所对应的系统特征方程为：由方程的根与系数之间的关系可得如下计算公式：由方程的根与系数之间的关系可得如下计算公式：故第三个闭环极点：故第三个闭环极点：确定主导极点确定主导极点 由于实部之比为由于实部之比为 ，3.853.377.133.14211111ssszspsKmjjniig03.88623sss21,ss6321sss66.4)6(213sss767.066.4极点 对应的增益值,由幅值条件35两极点是两极点是主导极点，主导极点，对动态过程的影响可以忽略不计，本系统可以对动态过程的影响可以忽略不计，本系统可以当作二阶系统来分析。系统特征方程为：当作二阶系统
27、来分析。系统特征方程为：由典型二阶系统闭环特征方程式，可得：由典型二阶系统闭环特征方程式，可得：动态响应性能指标动态响应性能指标为：为：079.134.1)16.167.0)(16.167.0()(221ssjsjssssssradn/34.179.1sradnd/16.15.0134.1122%3.16%100%21estns5.433s36二、系统根迹线的改造二、系统根迹线的改造 根轨迹的形状由系统开环零、极点的分布决定，若开环零、极点分布改变，根轨迹形状就改变，系统的性能也就随之改变。因此，在系统中加入适当的开环零点或极点可以改善系统的稳态和动态性能。了解这种影响对设计(综合)或调试系统
28、大有好处。(1)增加开环零点对根轨迹的影响 增加开环零点后，根轨迹将向该零点的方向弯曲。如果增加的零点位置位于左半平面，根轨迹会向左偏移，将改善系统的稳定性和动态性能，如果增加的零点位置越靠近虚轴，改善系统的动态性能越强；如果增加的零点位置位于右半平面，将使系统的动态性能变差；若加入的零点和极点相距很近，则两者的作用相互抵消（称 两者为开环偶极子），因此，也可用加入零点的方法来抵消有损于系统性能的极点。37(2)增加开环极点对根轨迹的影响 增加开环极点后，根轨迹会向右方向偏移，会使系统的精度提高但稳定性变差，甚至不稳定。值得指出值得指出的是，在系统中加入开环零点，相当于第三章时域分析法中在系统
29、中串入微分环节；加入极点，相当于在系统中串入积分环节。表4-1分别给出了增加开环零点或开环极点前后对根轨迹的大致影响。38*例例 若在典型的二阶系统增加一个零点时，系统的结构图为图若在典型的二阶系统增加一个零点时，系统的结构图为图。取绘制系统根轨迹图并分析增加的零点对系统性能的影响。取绘制系统根轨迹图并分析增加的零点对系统性能的影响。解解：增加零点后系统的开环传递函数为：增加零点后系统的开环传递函数为（1 1）系统有二个开环极点：）系统有二个开环极点：，一个开环零点：一个开环零点：（2 2）实轴上根轨迹区间为（）实轴上根轨迹区间为（-，-6-6和和-4-4，00。（3 3）根轨迹的分离点可按式
30、（）根轨迹的分离点可按式（4-144-14）计算）计算解此方程可得：解此方程可得：即系统根轨迹的分离点、会合点为即系统根轨迹的分离点、会合点为-2.53-2.53、-9.47-9.4700 p41 p6 z0)4()6()4)(6()()()()(sssssssNsDsNsD53.21s47.92s39（4 4）根据相角条件可知，根轨迹各点应满足）根据相角条件可知，根轨迹各点应满足令令 ，得，得利用反正切公式可得利用反正切公式可得对上式的两边取正切，整理后即得根轨迹方程式对上式的两边取正切，整理后即得根轨迹方程式这是一个这是一个圆的方程圆的方程，圆心为，圆心为 ；半径为。；半径为。系统的根轨系
31、统的根轨迹如图迹如图4-164-16所示。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。所示。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。180)4()6(sssjsb180)4()()6(jjjbbbbbbbb4arctan180)6(16arctan212)6(22b0,6b46.312 40下面分析增加的零点对系统性能的影响下面分析增加的零点对系统性能的影响：未增加零点以前系统根轨迹，如图4-2所示。在s平面上为一条垂线，特征根靠近虚轴，因此稳定性,动态性能会较差。增加零点后，根轨迹沿圆弧向左弯曲，系统的稳定性和动态性能得到改善。实际上，只有增加的零点位于极点4的左边，均能达到改善性能系统的稳定性和动态性能得到改善。实际上，只有增加的零点位于极点4的左边，均能达到改善性能的目的.图图4-16图图4-241第 4 章 完42
