1、在平面几何里,我们学习了一些平面图形的画法和性质。在日常工作、生产实际和科学实验中,还常常会接触到空间图形,因此,还需要了解空间图形的有关知识。本章主要学习空间图形的画法、性质和有关运算知识。第一节平面及其性质一、平面及其表示法常见的桌面、黑板面、广场的地面、平静的水面等,都呈现出平面的形象。而几何里所说的平面是没有厚度的,它广阔无边,向四周无限延展。由于平面的广阔性,在画平面时也只能用平面的一部分来代表平面。当以适当的角度和适当的距离去观察桌面、黑板面、地板时,觉得它们很像平行四边形。因此,通常用平行四边形来表示平面,并记作希腊字母、等,写在表示平面的平行四边形的一个顶角的内部;但也可用表示
2、平行四边形顶点的四个字母或对角的两个字母来表示。如图11-1中所示的平面可记作平面、平面或平面ABCD、平面AC等。图11-1二、水平放置的平面图形的画法把空间图形画在纸上,就是用一个平面图形表示空间图形。这样的平面图形不是空间图形的真实形状,而是它的直观图。要画空间图形的直观图,首先应学会画水平放置的平面图形的直观图。下面举例说明平面图形直观图的画法。例1画水平放置的ABC的直观图。画法:(1)在ABC中以AB所在的直线为x轴,以A点为坐标原点作y轴,作ABC的高CD。画对应轴x轴y轴,使xAy=45(2)在x轴上,取点D、B,使AD=AD,AB=AB。过D点在轴上方作DC平行于y轴,使得D
3、C=DC。(3)连接AC和BC。所得的三角形ABC就是三角形ABC的直观图,如图11-2所示。图11-2上面画直观图的方法叫做斜二测画法。它的规则是:1)在已知图形中取互相垂直的Ox、Oy轴。画直观图时,把它们画成对应的Ox、Oy轴,且使xOy=45。2)在已知图形中平行于Ox轴或Oy轴的线段,在直观图中分别画成平行于Ox轴或Oy轴的线段。3)在已知图形中平行于Ox轴的线段,在直观图中保持原长不变,平行于Oy轴的线段,长度为原长的一半。例2画正六边形的直观图。画法:(1)在已知正六边形ABCDEF中取对角线AD为x轴,取对称轴HG为y轴,O为坐标原点。画出对应的x轴和y轴,使xOy=45。(2
4、)以O为中心在x轴上取AD=AD,在y轴取HG=HG,以H为中点画BCAD,并使BC=BC,以G为中点画EFAD,并使EF=EF。(3)连结AB、CD、DE、FA。所得的六边形ABCDEF就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图,如图11-3所示。图11-3三、平面的基本性质人们在长期的生产实践中总结出了平面的基本性质,这里将把它作为三条公理使用,它们是研究空间直线、平面的位置关系的理论基础。图11-4的所有点都在该平面内(如图11-4)。这时,称直线l在平面内,或平面经过直线l。公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于经过这点的一条直线(如图11-5)。公理1如果一条直线的两点在一个
5、平面内,那么这条直线上图11-5公理3经过不在同一直线上的三点可以作一个平面,并且只可以作一个平面(如图11-6)。图11-6图11-7由于点是构成直线和平面的最基本的元素,因此直线和平面都可以看做是点的集合,它们互相之间的关系可以用集合之间的关系来表示,规定如下:公理3有以下推论:推论1一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面(如图11-7a)推论2两条相交的直线可以确定一个平面(如图11-7(b)推论3两条平行直线可以确定一个平面(如图11-7c)点A在直线l上,记作Al;点A不在直线l上,记作A l;点A在平面内,记作A;直线l在平面内,记作l或l;直线l与平面交于点N,记作l=N;直线
6、l与平面没有交点,记作l=;平面与平面相交于直线l,记作=l。例如,公理1可以用集合符号表示成:如果点A,点B,则直线AB。例3求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内。已知如图11-8所示,直线AB、BC、CA两两相交,其交点分别为A、B、C。图11-8求证直线AB,BC,CA共面。证明因为,直线ABAC=A,所以,直线AB和AC确定一个平面(推论2),因为,BAB,CAC,所以,B,C,所以,BC(公理1)。所以,直线AB、BC、AC都在平面内,即它们共面。一、两条直线的位置关系图11-9第二节直线与直线的位置关系定义不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。由此可见,空间两条不重合
7、的直线,它们的位置关系有三种:1)平行在同一平面内,没有公共点;2)相交在同一平面内,有且只有一个公共点;3)异面不在同一平面内,没有公共点。二、空间直线的平行关系在平面几何里我们已经知道,同一平面内,平行于同一条直线的两条直线相互平行。这一性质对于空间图形也同样成立。定理1如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行。如图11-10所示,已知ab,cb,则ac。图11-10这个性质是显而易见的。如物理学中所用的三棱分光镜,其三条棱是两两相互平行的。例1已知ABCD是四个顶点不在同一平面内的空间四边形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(如图11-11)。连接EF、F
8、G、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。图11-11证明因为EH是ABD的中位线,所以EHBD同理,FGBD,根据定理1,可知EHFG,所以四边形EFGH是一个平行四边形。在平面几何中,对边分别平行并且同向的两个角相等,在空间图形中,这一定理也是正确的。定理2如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如图11-12)。图11-12三、两条异面直线所成的角画异面直线时要把异面直线明显地画在不同的平面内,可以画成如图11-13所示那样。图11-13平面内两条相交直线的位置关系可以用它们的交角来表示。而两条异面直线不在同一平面内,它们既不平行也不相交,怎样来确定
9、它们的关系呢?定义经过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角(或直角),称为这两条异面直线所成的角。例如,设直线a、b是异面直线,经过空间任一点O,分别引直线aa,bb,由定理2可知两直线所成的锐角(或直角)的大小,只由直线a、b的相互位置来确定,与O点的选择无关。我们把a和b所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角(如图11-14a)、b)。点O常取在两条异面直线中的一条上。例如,取点O在直线b上,然后过点O作直线aa(如图11-14c)。那么a和b所成的角就是异面直线a、b所成的角。图11-14如果两条异面直线所成的角是90,则称这两条异面直线相互垂直。异面直
10、线a与b垂直,也记作ab。例2如图11-15所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,指出下列各对线段的位置关系以及所成角的度数:(1)AB与CC1;(2)AA1与B1C;(3)A1D与AC。图11-15解(1)AB与CC1是异面直线,因为ABDC,所以AB与CC1所成的角可用DCC1度量,而DCC1=90,故AB与CC1成90角,即ABCC1;(2)同理可得,AA1与B1C是异面直线,成45角;(3)A1D与AC是异面直线,因为A1DB1C,所以A1D与AC所成的角等于ACB1,而ACB1是ACB1的内角,因ACB1是等边三角形,所以ACB1=60,故A1D与AC成60角。第三节直线与平面的
11、位置关系一、直线与平面的位置关系观察:教室的地面和墙面的交线在地面上;两墙面的交线和地面只有一个交点;墙面和天花板的交线与地面没有交点,这些反映出直线和平面之间存在着不同的位置关系。定义如果一条直线和一个平面没有公共点,那么称这条直线和这个平面平行。如果一条直线和一个平面只有一个公共点,那么称这条直线和这个平面相交。由此可见,一条直线和一个平面存在着三种位置关系:1)直线在平面内有无数个公共点;2)直线和平面平行没有公共点;3)直线和平面相交只有一个公共点。二、直线与平面平行直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行(如图11-18)。直
12、线与平面平行的性质定理如果一条直线平行于一个已知平面,那么过这条直线的平面与已知平面的交线和这条直线平行(如图11-19)。例1已知空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点,求证:EF平面BCD(如图11-20)。证明连结BD,在ABD中,EFBD。因为,EF不在平面BCD内,BD平面BCD。根据判定定理,故EF平面BCD。例2已知AB,ACBD,AC、BD与分别交于C、D(如图11-21),求证:AC=BD。证明过平行线段AC、BD作平面,则直线AB,且=CD,根据性质定理可知ABCD,又ACBD,从而四边形ACDB是平行四边形。所以AC=BD。由例2可知以下结论成立:如果一条直线和
13、一个平面平行,那么夹在这条直线和这个平面间的平行线段的长相等。三、直线和平面垂直把一本书打开直立于桌面上,设书脊为AB,各页与书桌面的交线分别为BC、BD、,显然AB与这些交线都是垂直的(如图11-22)。定义如果一条直线与平面内任何一条直线都垂直,那么就说这条直线和这个平面互相垂直。这条直线叫做这个平面的垂线;这条直线和平面的交点叫做垂线足(垂足)。过平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称为这个点到这个平面的距离。直线l和平面互相垂直,记作l(如图11-23)。空间过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。判定定理如果一条直线垂直于平面内的两条相
14、交直线,那么这条直线就垂直于这个平面(如图11-24)。性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行(如图11-25)。例3如图11-26所示,平面内有RtABC,BAC=90,AB=4cm,AC=3cm,而PA,PB=5cm。求PA、PC的长(精确到0.1cm)。解因为PA,所以PAAB,PAAC。PAB、PAC都是直角三角形。所以PA=3(cm)PC=4.2(cm)例4已知(如图11-27)SAAB,SAAD,四边形ABCD是矩形,AB=9cm,AD=12cm,SC=25cm,求点S到平面AC的距离。解连结AC,因为ABCD是矩形,所以BC=AD=12,ABBC,则因为SA
15、AB,SAAD,所以SA平面AC。又因为AC平面AC,所以SAAC,SAC=90。故SA=20即点S到平面的距离为20。四、直线与平面斜交1.斜线及其在平面内的射影定义一条直线和平面相交但不和它垂直,这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜线足(斜足)。过平面外一点,向这个平面引垂线和斜线,从这点到垂足间的线段叫做从这点到这个平面的垂线段;从这点到斜足间的线段,叫做从这点到这个平面的斜线段。斜足和垂足之间的线段叫做斜线段在这个平面内的射影。图11-28过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。如图11-28所示,PA、PO分别是从点P到平面的斜线段、垂线段,O是垂足,A是斜足,
16、OA是斜线段PA在平面内的射影,并且POA为直角三角形。根据直角三角形的性质,容易看出:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中:(1)射影相等的两条斜线段的长相等,射影较长的斜线段也较长;(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;(3)垂线段的长比任何一条斜线段的长都短。例5一根直杆垂直于地面,从杆顶向地面紧拉一绳,绳的另一端距杆足6m,又知绳比杆长2m。求杆与绳长。图11-29解如图11-29所示,AA为垂直于地面的直杆,AB为绳长。设,则,因为AA,所以AAAB。在RtAAB中有答:所求杆长为8m,绳长为10m。2.直线与平面所成的角例如,发射炮弹时,炮筒和地面形成一定的
17、角度,它表示直线对地面的倾斜程度。定义平面的一条斜线和它在平面内射影所成的锐角,叫做该斜线与这个平面所成的角。图11-30我们规定:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面所成的角是直角;如果一条直线和一个平面平行,那这条直线和这个平面成0角。如图11-30所示,AB与平面成0角,AA与平面成直角,AB与平面所成的角为。例6从平面外的一点P到这个平面引垂线PO和斜线PA、PB。已知PA=8cm,PB=5cm,且OA OB=4。求:(1)点P到平面的距离PO;(2)直线PA、PB和平面所成的角(如图11-31)。图11-31解(1)在RtPOA中,PO2=PA2-OA2=64-OA2;
18、在RtPOB中,PO2=PE2-OB2=25-OB2。于是64-OA2=25-OB2又OA OB=4则OA=OB代入上式得64-OB2=25-OB2解得OB=3,那么(2)直线PA、PB和平面所成的角分别是PAO和PBO。可知sinPAO=所以PAO=30同理sinPBO=0.8所以PBO=5318五、三垂线定理及其逆定理三垂线定理平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。其证明过程如下:图11-32已知DE,AB和AC分别是平面的垂线和斜线,BC是AC在平面内的射影,DEBC(如图11-32)。求证DEAC。证明AB,则ABDE。又DEBC,那么DE平面
19、ABC,于是DEAC。这个定理叫做三垂线定理,它讲到了三条垂线,如果AB,DE是BC的垂线,那么DE是AC的垂线。三垂线定理的逆定理平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。(请同学们自己证明)例7如图11-33所示,已知等腰三角形ABC的腰AB=AC=5cm,底边BC=6cm,自顶点A作三角形ABC所在的平面的垂线AD,AD=8cm,求点D到BC的距离(精确到0.1cm)。图11-33解作等腰三角形ABC底边BC的垂线AE,连结DE,由三垂线定理可知DEBC。在RtAEB中,AB=5cm,BE=3cm,有又EAD为直角三角形,即点D到BC的距离为8.9cm
20、。图11-34第四节平面与平面的位置关系一、两个平面的位置关系观察图11-35中六角螺母的各个面,相邻的两个侧面相交,如侧面AB和侧面BC相交于直线BB,而上底面AD和下底面AD没有公共点。图11-35定义如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行。空间两个不重合的平面,它们的位置关系有两种:1)两个平面平行没有公共点(如图11-36);2)两个平面相交有一条公共直线(如图11-37)。画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边互相平行,如图11-36所示,平面和平面平行,记作。二、平面和平面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面
21、平行(如图11-38)。图11-38例如,在判断一个平面是否水平时,把水准器在这个平面内交叉放两次,如果水准器的气泡都是居中的,可判断这个平面和水平面平行,就是利用了这个定理。由上面的定理可得以下推论:推论1如果一个平面内的两条相交直线,分别和另一个平面内的两条直线平行,那么这两个平面平行(如图11-39)。推论2垂直于同一条直线的两个平面互相平行(如图11-40)。在安装车轮时,要使两个轮子相互平行,只要使轴两端的两个轮子都垂直于轴就行了。这就是推论2的一个应用。性质定理1如果两个平行平面分别和第三个平面相交,那么它们的交线平行(如图11-41)。性质定理2夹在两个平行平面间的平行线段的长相
22、等(如图11-42)。由此可知,夹在两个平行平面间的垂直线段的长最短,我们把这个垂直线段的长叫做两个平面间的距离(如图11-43)。性质定理3如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线也垂直于另一个平面(如图11-44)。图11-45例1如图11-45所示,自两个平行平面、外一点M,作两条直线与这两个平面相交,设其中一条直线交这两个平面于A、B两点,另一条直线交这两个平面于A1、B1两点。如果BB1=28cm,MA AB=5 2,求线段AA1的长。图11-46解由性质定理1可知AA1BB1,所以AMA1BMB1,于是有=即=由已知得=所以AA1=20(cm)例2已知四面体PABC
23、,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点(如图11-46)。求证平面DEF平面ABC。证明在PAB中,DEAB,而DE不在平面ABC内,所以DE平面ABC同理EF平面ABC又因DEEF=E所以平面DEF平面ABC三、二面角1.二面角的基本概念在修筑水库的堤坝时,为了使大堤坚固耐用,必须考虑到河堤面与地平面形成适当的角度;车刀刀口的两个面要根据用途的不同形成一定的角度。这些事实说明有必要研究两个平面相交所成角的问题。图11-47一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,每一部分叫做半平面。定义从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
24、如图11-47所示的二面角,以直线AB为棱,两个面、通常记作二面角AB。2.二面角的平面角定义以二面角的棱上任意一点为端点,分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。如图11-48所示,从二面角AB的棱AB上任取一点M,分别在半平面和内作射线MNAB,MPAB,则角NMP就是这个二面角的平面角。同理,在棱AB上另取一点M,分别在半平面和内作射线MNAB,MPAB,则角NMP=NMP。二面角的平面角的大小与棱上的点的位置选择无关。因此,二面角的大小是由它的平面角来度量的。例如,一个二面角的平面角是n,我们就说这个二面角是n;如果一个二面角的平面角分别为
25、锐角、直角或钝角,我们就分别称这个二面角是锐二面角、直二面角或钝二面角。例3在二面角的一个平面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,试求这个二面角的度数。解如图11-49所示,二面角a的一个面内有一点A,ABa于B,AC于C,则AB=2AC。连结BC,则BC是AB在平面内的射影。根据三垂线定理有BCa。所以ABC就是二面角a的平面角。在RtABC中,AB=2AC,则ABC=30。故二面角a为30。四、平面与平面垂直的定义定义两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么就称这两个平面互相垂直。画两个平面相互垂直时,如图11-50所示,要把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂
26、直。平面与平面垂直,记作。图11-50平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直(如图11-51)。建筑工人在砌墙时,常用铅垂线来检查所砌的墙面是否与水平面垂直,就是依据这个定理。平面和平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,必垂直于另一个平面(如图11-51)。推论1如果两个平面互相垂直,那么经过其中一个平面内任一点且垂直于另一个平面的直线,必在前一个平面内(如图11-52)。推论2如果两相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面(如图11-53)。图11-53例4如图11-54所示,在两个互相
27、垂直的平面和的交线上有两个已知点A和B,AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段,已知AC=6cm,AB=8cm,BD=24cm,求CD的长。解因为BDAB,所以ABD是直角三角形。又因为CAAB,由性质定理可知CA,所以CAAD,故CAD也是直角三角形。有AD2=AB2+BD2=64+576=640CD=26(cm)例5已知平面,=AB,在平面内,直线CDAB,CD到AB的距离为60cm。在平面内,点E到AB的距离为91cm。求点E到直线CD的距离。解如图11-55所示,在平面内,过点E作EFAB,过F作FGCD,连结EG,显然EGCD。所以EG即为点E到直线CD的距离。在RtEFG中,
28、EF=91,FG=60,故EG=109(cm)*第五节空间图形的计算一、多面体定义由多个多边形围成的封闭几何体叫做多面体。如图11-56所示的几何体都是多面体。图11-56围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,每两个相邻的面的交线叫做多面体的棱。棱与棱的交点叫做多面体的顶点。不在同一平面的两个顶点之间的连线叫做多面体的对角线。多面体至少具有四个面,按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等(如图11-57)。常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。图11-571.棱柱定义有两个平面互相平行,其余各相邻的两个面的交线都互相平行的多面体,称为棱柱。图11-58互相平行的两个面叫做棱柱的底面;其余各面叫做
29、棱柱的侧面;两相邻面的交线叫做棱柱的侧棱;两底面间的距离叫做棱柱的高;经过不在同一侧面内的任意两条侧棱所做的截面叫做棱柱的对角截面(如图11-58)。垂直于棱柱的侧棱(或延长线)的截面叫做这个棱柱的直截面。侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱(如图11-59a);侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱(如图11-59b);底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图11-59c)。图11-59正棱柱有如下性质:(1)侧棱互相平行,且与高相等;(2)侧面都是全等的矩形;(3)两个底面是全等的正多边形。在棱柱中,底面为平行四边形的棱柱叫做平行六面体。显然,平行六面体的每一个面都是平行四边形。侧棱和底面斜交的平行六面
30、体叫做斜平行六面体;侧棱和底面垂直的平行六面体,叫做直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体叫做长方体;所有棱都相等的长方体叫做正方体或立方体,分别如图11-60所示。图11-60图11-61长方体除具有直棱柱的性质外,还有以下性质:长方体的六个面都是矩形,它的四条对角线相等且交于一点,对角线长度的平方等于长、宽、高的平方和,如图11-61所示。故d=17(cm)例1一个长方体的长是12cm,宽是9cm,高是8cm,求对角线的长。解设所求的长方体的对角线长为d,则d2=122+92+82=289图11-62例2如图11-62所示,已知直棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰三角形,AB=BC=7cm
31、,AC=2cm,过AC作一截面ACD,与底面ABC成30的二面角,与侧棱BB1交于D,求线段BD的长。解过B作BEAC,连结DE,显然DEB=30。在RtBEC中,因为BC=7,EC=AC=1所以BE=4在RtDBE中,得BD=BEtanDEB=4tan30=4(cm)2.棱锥定义有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这样的多面体叫做棱锥。图11-63叫做棱锥的侧面;两相邻侧面的交线叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共点叫做棱锥的顶点;从顶点到底面的距离叫做棱锥的高;经过不在同一侧面内的任意两条侧棱的截面叫做棱锥的对角截面。如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面正多边形的中
32、心,那么这样的棱锥称为正棱锥(如图11-64)。以棱锥底面多边形的边数来分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。如图11-63所示,多边形的面叫做棱锥的底面;其余三角形的面用顶点的一个字母表示,如棱锥S。如图11-64所示的棱锥可表示为棱锥SABCDE,有时也可只图11-64正棱锥主要有以下几个性质:(1)侧棱都相等;(2)侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形的底边上的高相等,这个高叫做正棱锥的斜高,如图11-64中的SF;(3)顶点和底面中心的连线垂直于底面;(4)侧棱和底面所成的角都相等,侧面和底面所成的二面角都相等。如图11-65所示,设SO为棱锥的高,A1B1C1D1E1为棱锥S的一个平行
33、截面(平行于底面的截面),它与SO交于O1,则有以下结论:图11-65图11-661)=;2)多边形A1B1C1D1E1多边形ABCDE;3)=。例3已知正六棱锥S的底面边长为a,侧棱和底面的边所成的角为,求此正六棱锥的高。解如图11-66所示,设SO为正六棱柱的高,SM为斜高。则OM就是底面正六边形的边心距。因为SAM=,AM=AB=所以SM=AMtanSAM=tan又因为OAM=60所以OM=OAsinOAM=asin60=aSO=即正六棱锥的高为。3.棱台定义用一个平行截面去截棱锥,底面和平行截面间的部分叫做棱台(如图11-67)。图11-67如图11-68所示,这两个平行的面叫做棱台的
34、底面,原棱锥的底面叫做下底面,平行截面叫做上底面;其余的面叫做棱台的侧面;两相邻侧面的交线叫做棱台的侧棱;两底面之间的距离叫棱台的高;经过不在同一侧面内的任意两条侧棱的截面叫做棱台的对角截面;由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。注意,棱台各侧棱延长线必相交于同一点。如图11-69所示的多面体就不是棱台。(2)各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高都相等,这个高叫做正棱台的斜高,如图11-70中的GG1;正棱台主要有以下几个性质:(1)侧棱都相等;图11-70图11-71(3)上底面和下底面是相似的正多边形;(4)侧棱和底面所成的角都相等,侧面和底面所成的二面角都相等;(5)两底面中心的连线垂直于
35、底面,这条连线的长就是正棱台的高。例4已知正四棱台的高为17cm,两底面的边长分别为4cm和16cm。求此棱台的斜高和侧棱的长。解如图11-71所示的正四棱台,K1、K分别是B1C1、BC的中点。已知OO1=17cm,B1C1=4cm,BC=16cm。在直角梯形OKK1O1中O1K1=2,OO1=17,OK=8故斜高KK1=5(cm)在直角梯形OBB1O1中O1B1=2OB=8侧棱BB1=19(cm)二、旋转体1.圆柱、圆锥、圆台的概念定义分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台;旋转轴叫做它们的轴;在轴
36、上的边的长度叫做它们的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它们的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面;无论旋转到什么位置,这条边叫做侧面的母线。如图11-72所示,直线OO、SO是轴,线段OO、SO是高,AA、BB、SA、SB等是母线。很明显,圆台也可以看做是用平行于圆锥底面的平面所截而得到的。图11-722.圆柱、圆锥、圆台的性质(1)垂直于圆柱、圆锥、圆台的轴的截面都是圆面,且与底面平行;(2)过圆柱、圆锥、圆台的轴的截面,分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形。例5圆锥的母线与底面所成的角为30,它的高为4,求圆锥母线的长度和底面积。图11-73解如图11-73所示,设母线长为l,底
37、半径为R,高为H,OAS=30。在RtSOA中SO=4,l=8R=Hcot30=4图11-74故母线长度为8,底面积为(4)2=48。例6把一个圆锥截成圆台。已知圆台的上、下底面半径之比是1 4,母线长是10cm,求圆锥母线长。解设圆锥的母线长为y,上、下底的半径分别是x、4x,如图11-74所示。由相似三角形的比例关系得(y-10)y=x 4x也就是4(y-10)=y解之得y=(cm)故圆锥的母线长为cm。例7有一圆柱形木材,长为2m,底半径为12cm,从离轴6cm处平行于轴锯开,求锯面的面积。图11-75解如图11-75所示,锯面ABBA是矩形,作ODAB,D点平分AB,OD=6cm。DA
38、=10.39从而有AB=2DA=20.78得SABBA=20020.78=4156(cm2)故锯面面积为4156cm2。3.球定义一个半圆面绕着它的直径旋转一周所形成的几何体叫做球;一个半圆弧绕着它的直径旋转一周所得的面叫做球面;半圆面的圆心叫做球心;连接球心和球面上的任意一点的线段叫做球半径;连接球面上任意两点的线段叫做球的弦;过球心的弦叫做球的直径。图11-76如图11-76所示,点O是球心,线段OA、OB、OD等都是球半径,线段AB是球直径,线段AD是弦。球被任意平面所截得的截面是一个圆。这个截面叫做球截面。球心和截面圆心的连线垂直于截面。如图11-77a)所示,设球心到截面的距离为d,
39、球的半径为R,截面半径为r,显然有下面的关系:r=说明:当d=0时,r=R。这时截面过球心,球被截面截得的圆最大,叫做球的大圆,如图11-77b)所示。不过球心的截面所截得的圆,叫做球的小圆。当d=R时,r=0,这时截面与球心的距离等于球的半径,平面和球只有一个公共点。和球只有一个公共点的平面叫做球的切面,如图11-77c)所示。图11-77极的半个大圆,赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆(如图11-78)。当我们把地球看作是一个球时,经线就是球面上从南极到北图11-78多少千米(地球半径约6370km)。例8我国首都北京靠近北纬40,求北纬40纬线的长度约为图11-79解如图11-79所示,设A是北纬40圈上的一点,AK是它的半径,O为地球中心,C为北纬40纬线长,显然OKAK,因AOB=OAK=40,所以C=2AK=2OAcosOAK=26370cos4023.14263700.76603.066104(km)故北纬40纬线的长度约为3.066104km。三、有关多面体和旋转体的计算公式多面体和旋转体的侧面积、体积计算公式如表11-1所示。表11-1
