1、第一节角的概念的推广弧度制一、角的概念的推广我们在初中数学学习中已经知道,角可以看作是由一条射线绕着它的端点从初始位置(始边)旋转到最终位置(终边)而成的(如图4-1)。以前,我们接触到的是0到360的角。但是在数学研究、科学实验、实际生活和生产中,我们常常会遇到大于360的角。图4-1例如,用螺纹扳手拧紧螺帽,当扳手(如图4-2)绕着支点逆时针旋转一周以后,继续旋转就得到了一个大于360的角。如果继续旋转,就得到更大的角。我们也可以顺时针方向旋转扳手,拧松螺帽。为了区别不同旋转方向所形成的角,习惯上规定:射线绕着端点逆时针方向旋转所形成的角为正角,顺时针方向旋转所形成的角为负角。特别地,当一
2、条射线没有旋转时,我们认为也形成了一个角,这个角叫做零角,它的大小是0。这样,角的概念包含了:0的角、任意大小的正角、任意大小的负角。例1 作下列各角:405、140、-30、-510(如图4-3)。为了研究方便,我们把角和直角坐标系联系起来,通常使角的顶点与坐标系的原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合。那么角的终边所在的象限就叫做这个角所在的象限,或者说这个角是第几象限的角。例如图4-3中的4个角405、140、-30、-510放在直角坐标系中,可以看出分别是第一象限角、第二象限角、第四象限角、第三象限角。特别地,0、90、270、360这些终边在坐标轴上的角,我们规定不属于任何象限的角。图
3、4-4从角的形成过程中,可以看到与某一个角的终边相同的角有无数个,它们与都相差360的整数倍。如图4-4所示,30、390、-330的角终边都相同,它们的大小相差360的整数倍。因此,所有与角有相同终边的角(包括本身)可以表示为 例2 把下列各角化成k360+(kZ,0360)的形式,并指出是哪一象限角。(1)410;(2)1010;(3)-350;(4)-1080。解 (1)410=360+50因为50是第一象限角,所以410是第一象限角。(2)由于1010除以360,得商为2,余数为290,即1010=2360+290因为290是第四象限角,所以1010是第四象限角。(3)-350=-36
4、0+10因为10是第一象限角,所以-350是第一象限角。(4)-1080=-3603+0因为0不属于任何象限,所以-1080不是象限角。二、弧度制我们已经学习用度、分、秒作为角的度量单位,这种度量的制度叫做角度制。在数学和其他的科学技术工作中,还用到另一种度量角的制度叫做弧度制。我们知道1的角的大小,是一个圆周角的,那么,1弧度的角有多大?角度制和弧度制相互之间有什么关系?现在我们就一起来研究。1.弧度制有一个半径为r的圆,我们在圆周上的任一点A处,取的长等于半径r(如图4-5),所对的圆心角AOB就叫做1弧度的角,也就是说,长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度角,弧度的单位符号是rad
5、。由于圆的周长是2r,所以周角是2rad的角;在角度制里,1周角是360,因此可以得到:图 4-5360=2rad180=rad 1=rad0.017453rad1rad=57.296571745角度制与弧度制是采用不同单位的角的度量制,利用上面的关系式,就可以进行度与弧度的换算,例如35=35rad0.610865rad3rad=3171.8871715313.2为了方便计算,对于一些特殊角的度数和弧度数的对应关系列表如下:用弧度制表示角的大小时,通常省略“弧度”两字。例如AOB=1就表示AOB=1rad;sin2表示2rad的角的正弦。如果用弧度制表示,那么所有与角有相同终边的角可以用式子
6、2k+(kZ)表示。例3 如果角在第一象限角,试讨论角所在的象限。解法一因为在第一象限,即2k0)。由锐角三角比的定义,得 这就是说,锐角的四种三角比都可以用终边上的一点的坐标来表示,由此利用上述这些关系相应地来规定任意角的三角比。设是一个任意角,在的终边上任意取一点P,它的坐标是(x,y)(如图4-7),记r=(r0),我们规定:1)叫做角的正弦函数,记作sin,即 2)叫做角的余弦函数,记作cos,即 当的终边不在y轴上,即k+(kZ)时,规定3)叫做角的正切函数,记作tan,即 当的终边不在x轴上,即k(kZ)时,规定4)叫做角的余切函数,记作cot,即 应当注意,当的终边在y轴上,即=
7、k+(kZ)时,x=0,的比值不存在,因此tan不存在;当的终边在y轴上,即=k(kZ)时,y=0,的比值不存在,因此cot也不存在。此外,我们还规定:1)k+(kZ)时,叫做角的正割函数,记作sec,即 2)k(kZ)时,叫做角的余割函数,记作csc,即 想一想:=k+(kZ)时,sec怎样?=k(kZ)时,csc怎样?角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割,统称为三角函数。例1已知角的终边经过点(-4,3),求角的三角比。解因为x=3,y=-4,所以r=5,于是 例2求角和的正弦、余弦、正切和余切。解在角的终边上即y轴的正半轴上取一点(0,1),由x=0,y=1,得 所以sin=1;cos
8、=0;在角的终边上即x轴的负半轴上取一点(-1,0),由x=-1,y=0得 所以sin=0;cos=-1;二、三角函数值的符号我们知道,锐角三角函数的值都是正的,那么任意角的三角函数值的符号又会怎样呢?根据任意角的三角函数值的定义,可以看出,角的终边所在的象限不同,终边上的点P的坐标x和y的值的符号不同(r总是正的),因此任意角的三角函数值的符号有正有负。以正弦函数为例,根据正弦函数的定义 可以看出正弦函数值的符号取决于比值的符号。式中r总是正的,因此正弦函数sin值的符号由角的终边上的纵坐标的符号决定。即当角的终边落在x轴的上方,sin值是正的;当角的终边落在x轴的下方,sin值是负的。换言
9、之,当角的终边落在第一、二象限,sin的值是正的;当角的终边落在第三、四象限,sin的值是负的。说一说其余几个三角函数值的符号是怎样确定的。图4-8为了方便大家,我们把三角函数值在各象限的符号概括成图4-8 例3 确定下列各三角比的符号:(1)sin230;(2)cos(-700);(3)tan;(4)costan;(5)sin145+tan255。解 (1)因为230是第三象限角,所以sin2300(3)因为=2+,是第二象限角,所以tan0,tan0,因此costan0,tan2550,因此sin145+tan2550例4 依照下列条件确定角所在的象限:(1)sin0,且tan0;(2)s
10、eccot0,所以是第一或者第二象限角;又因为tan0,所以是第二或者第四象限角。因此,同时符合上述条件的角是第二象限角。(2)因为seccot0,所以sec和cot异号,即 则是第三象限角;或者 则是第四象限角。三、同角三角函数的基本关系式根据三角函数的定义,可以推得同一个角的各个三角函数之间的八个基本关系:1.倒数关系因为sin=,csc=,所以sincsc=1同理还有cossec=1 即sincsc=1 2.商数关系同理=cot即tan=3.平方关系x因为sin2+cos2=+=而y2+x2=r2,所以sin2+cos2=1我们将sin2+cos2=1两边除以cos2,得 而sec=,所
11、以1+tan2=sec2同理,把sin2+cos2=1的两边除以sin2,可得 即sin2+cos2=1 注意:这八个同角三角函数关系式,只有当的值使关系式两边都有意义时才能成立。同角三角函数式的应用有:(1)已知一个角的某个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值。例5 已知cos=,270360,求的其他三角函数值。解 因为270360,即角在第三象限,所以除tan、cot为正值外,其他的三角函数值是负的。根据同角三角函数关系式,可得sin=-=-=-tan=cot=sec=-csc=-例6 已知tan=-,求sin、cos、cot的值。解 因为tan=-0,cos0,cot0。由同角三角函
12、数关系式,可得cot=-sin=cos=sincot=-当角是第四象限角时,sin0,cot0,得sin=-Cos=Cot=-(2)化简三角函数式。例7 化简。解 原式=tan2(3)证明恒等式。例9证明恒等式:sin4-cos4=sin2-cos2。证左边=(sin2+cos2)(sin2-cos2)=sin2-cos2=右边得证。例10 证明恒等式:=。证法一左边=右边得证。证法二左边-右边=-=0得证。证法三等式中x的取值范围是x|xk,kZ,此时0。=1得证。从上面的例子可以看到,证明三角恒等式的方法很多。因此在证明恒等式时,需对具体问题具体分析,灵活运用各种证法。第三节三角函数的简化
13、公式一、三角函数的简化公式 根据任意角的三角函数的定义,我们知道角的三角比只与它的终边所在的位置有关,所以当两个角的终边的位置相同时,这两个角的同名三角比是相等的。由此得到一组公式:sin(2k+)=sin;cos(2k+)=cos;tan(2k+)=tan;cot(2k+)=cot。其中kZ,取使以上各式有意义的值。这组公式叫做第一组诱导公式。由第一组诱导公式可以看出,一个角加上2的整数倍后,三角比不变。所以今后着重研究02间的角的三角比。例1 求下列各角的三角函数的值:(1)sin780;(2)cos1470;(3)tan;(4)cot ;(5)sin1080。解 (1)sin780=si
14、n(2360+60)=sin60=;(2)cos1470=cos(4360+30)=cos30=;(3)tan=tan=tan=;(4)cot=cot=cot=1;(5)sin1080=sin(3360)=sin0=0。根据前面所规定的负角的定义,与-这两个角的终边关于x轴对称(图4-9)。因此如果在的终边上取一点P(x,y),那么P点关于x轴的对称点P(x,y)在-的终边上,并且有 图4-9 由三角比的定义,我们有 由此得到第二组诱导公式:sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot。例2 求-的正弦、余弦、正切、余切的值。解sin=-sin=
15、-cos=cos=tan=-tan=-cot=-cot=-将角的终边绕着坐标系的原点O按逆时针方向旋转弧度,得到角+的终边(图4-9)。显然和+这两个角的终边关于原点O对称,因此,如果在角的终边上取一点P(x,y),那么P点关于原点O的对称点P(x,y)在角+的终边上,并且有 由三角比的定义,我们有 由此得到第三组诱导公式:由于第三组诱导公式对任意角都成立,因此把上述公式中的换成-后公式依然成立。例如:sin(-)=sin+(-)=-sin(-)。再由第二组诱导公式sin(-)=-sin,可得第四组诱导公式:sin(-)=sin;cos(-)=-cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-
16、cot。如果在第一组诱导公式中取k=1,把公式中的换成-,并利用第二组诱导公式,得到第五组诱导公式:sin(2-)=-sin;cos(2-)=cos;tan(2-)=-tan;cot(2-)=-cot。从这些公式我们发现:当把角看作是锐角时,角-、2的三角函数值,其绝对值等于的同名三角函数的值,其符号就是原角所在象限三角函数的符号。以cos(-)=-cos为例,角-的余弦函数值与角的余弦函数的值的绝对值相等,其符号取决与角-所在的象限,因为我们把任意角看作是锐角,角-的终边在第二象限,所以符号为负。有了这些公式,就可以将任意角的三角比化为相应的锐角三角比。利用上述诱导公式求任意角的三角函数值时
17、,一般可按下面的步骤进行:1)当已知角为负角时,可以利用公式先将负角的三角函数化为正角三角函数。2)当已知角是大于2的角时,可以利用公式先将此角的三角函数化为0到2间的三角函数。3)当已知角为到2间的角时,可利用公式将此角的三角函数化为锐角的三角函数。例3 求下列各三角函数的值。(1)sin(-30);(2)cos225;(3)tan;(4)cot。解 (1)sin(-30)=-sin30=-;(2)cos225=cos(180+45)=-cos45=-;(3)tan=-tan=-tan=tan=1;(4)cot=cot=cot=-cot=-。在初中阶段学习锐角三角函数时,我们知道一个锐角的三
18、角函数等于它余角的余函数,即sin=cos;cos=sin;tan=cot;cot=tan。利用前几组诱导公式,我们还可以得到+、-、+的诱导公式,例如cos=cos=-cos=-sin,类似地,有sin=cos;cos=-sin;tan=-cot;cot=-tan。sin=-cos;cos=-sin;tan=cot;cot=tan。sin=-cos;cos=sin;tan=-cot;cot=-tan。从这些公式我们同样发现:当把角看作是锐角时,角-、+、-、+的正弦函数值,其绝对值等于角的余弦函数的值,其符号就是原角所在象限三角函数的符号;同样地,对于角-、+、-、+的余弦函数、正切函数、余切函数值,符号看原角所在象限三角函数的符号,函数名要变化。由于、是在纵轴的位置上,而、2与横轴重合,为了方便大家记忆,我们把全部的诱导公式归纳为一句口诀:“纵变横不变,符号看象限”。例4 化简:。解 原式=cot例5 求证:=1证明 左边=(-tan)(-cot)=1=右边得证。二、利用计算器求三角函数值利用计算器(fx82TL)可以直接求得sin、cos、tan的值,但首先要明确角的度量制。如果是角度制,按MODEMODE1,使计算器显示DEG状态;如果是弧度制,按MODEMODE2,使计算器显示RAD状态。然后按相应的函数符号及的数值即可。
