1、Ch2 一元函数微分学一元函数微分学首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃实验二实验二 一元函数微分学一元函数微分学一、实验目的一、实验目的二、二、Matlab函数及命令函数及命令 1、符号对象、符号对象 5、极限计算、极限计算 2、符号表达式的初等运算、符号表达式的初等运算 6、导数计算、导数计算 3、求解符号方程、求解符号方程 7、函数的极值、函数的极值 4、符号函数绘图、符号函数绘图 8、可视化数学分析界面、可视化数学分析界面三、实验内容三、实验内容首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学2一、实验目的一、实验目的1、熟练掌握符号和符号表达式
2、的创建方法，掌握、熟练掌握符号和符号表达式的创建方法，掌握Matlab的符号运算。的符号运算。2、通过图形演示和计算，观察极限过程，深刻理解、通过图形演示和计算，观察极限过程，深刻理解 数列极限与函数极限、无穷大与无穷小、连续与数列极限与函数极限、无穷大与无穷小、连续与 间断、导数与微分等基本概念。间断、导数与微分等基本概念。3、掌握计算函数极限、导数（包括高阶导数、隐函、掌握计算函数极限、导数（包括高阶导数、隐函 数的导数、参数方程定义的函数的导数）的方法。数的导数、参数方程定义的函数的导数）的方法。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学3一、实验目
3、的一、实验目的4、利用函数图形观察和分析函数的几何性态，理解、利用函数图形观察和分析函数的几何性态，理解 函数的间断点类型、单调性、凹凸性、渐近线、函数的间断点类型、单调性、凹凸性、渐近线、极值等概念，掌握极值等概念，掌握Matlab计算上述问题的方法，计算上述问题的方法，建立数形结合的思想。建立数形结合的思想。5、借助绘图功能，理解微分中值定理和泰勒展开定、借助绘图功能，理解微分中值定理和泰勒展开定 理，掌握利用理，掌握利用Matlab求求Tayler多项式的方法，直多项式的方法，直 观理解泰勒多项式在函数逼近的意义。观理解泰勒多项式在函数逼近的意义。6、掌握利用、掌握利用Matlab求方程
4、的根、函数极值的方法。求方程的根、函数极值的方法。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学4二、二、Matlab函数及命令函数及命令2.1 符号对象符号对象 Matlab中的运算分为数值运算和符号运算。中的运算分为数值运算和符号运算。数值数值运算中必须先对变量赋值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。，然后才能参与运算。符号符号运算无须事先对独立变量赋值运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符，运算结果以标准的符号形式表达，可得到问题的解析解号形式表达，可得到问题的解析解。符号对象符号对象（sym类型）是符号工具箱（类型）是符号工具箱（Symb
5、olic Math Toolbox）中定义的）中定义的一种数据类型一种数据类型，用来表示，用来表示符号变量、符号表达式和符号矩阵，是进行符号运算符号变量、符号表达式和符号矩阵，是进行符号运算的基本构成单元。的基本构成单元。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学52.1.1 创建符号对象创建符号对象 Matlab利用利用sym函数和函数和syms函数创建符号常量、函数创建符号常量、符号变量、符号函数和符号表达式，利用函数符号变量、符号函数和符号表达式，利用函数class()判断操作对象的类型。判断操作对象的类型。l函数函数sym a=sym(s)将数值对
6、象将数值对象s转换为符号对象转换为符号对象a a=sym(s)将符号串将符号串s转换为符号对象转换为符号对象a首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学6 s=1/2;%定义字符串定义字符串s a=1/2%定义数值变量定义数值变量a b=sym(1/2)%将字符串转换为符号将字符串转换为符号 sym(a)%将数值变量将数值变量a转换为字符变量转换为字符变量 c=1/3;d=sym(c);ac=a+c%数值变量的四则运算数值变量的四则运算 bd=b+d%符号变量的四则运算符号变量的四则运算例例2.1 比较数值变量、符号变量和符号串比较数值变量、符号变量和符号
7、串s=1/2a=0.5000%计算数值变量计算数值变量a的值的值b=1/2%符号变量符号变量b以字符串的方式显示，并不计算其值以字符串的方式显示，并不计算其值ans=1/2ac=0.8333bd=5/6首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学7l 函数函数symssyms var1 var2 varn功能：创建多个符号变量功能：创建多个符号变量说明：说明：使用该函数定义符号变量时，变量名上不能加单使用该函数定义符号变量时，变量名上不能加单 引号（引号（）。）。sym一次只能定义一个符号变量，而一次只能定义一个符号变量，而syms一次可一次可 以定义多个符
8、号变量，各符号变量名之间用以定义多个符号变量，各符号变量名之间用空格空格 分隔，分隔，不能不能用用逗号逗号分隔。分隔。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学8 clear all syms a b c x whos首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学92.1.2 创建符号表达式创建符号表达式 Matlab中，由符号常量、符号变量、符号函数运中，由符号常量、符号变量、符号函数运算符及专用函数连接起来的表达式称为符号表达式。算符及专用函数连接起来的表达式称为符号表达式。l创建符号表达式创建符号表达式 常用方法有常
9、用方法有2种方法：种方法：利用利用sym函数或函数或syms函数创建符号表达式函数创建符号表达式利用已定义的符号变量创建符号表达式利用已定义的符号变量创建符号表达式 函数函数findsym确定符号表达式中的所有自由符号变确定符号表达式中的所有自由符号变量。量。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学10例例2.2 y1=sym(x2)%利用利用sym函数创建符号表达式函数创建符号表达式 y1=x2 syms x y2=sin(x)%利用已定义的符号变量创建符号表达式利用已定义的符号变量创建符号表达式 y2=sin(x)class(y2)%查看类型查看类型
10、 ans=sym syms a b c x y=a*x2+b*x+c findsym(y)%查看自由符号变量查看自由符号变量 y=a*x2+b*x+c ans=a,b,c,x 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学11l 创建符号方程创建符号方程 符号表达式分为符号表达式分为符号函数符号函数和和符号方程符号方程两类。符号两类。符号函数中不带等号，只是由变量和数字组成的代数式子，函数中不带等号，只是由变量和数字组成的代数式子，而符号方程是由符号表达式和等号组成的等式。而符号方程是由符号表达式和等号组成的等式。创建符号方程的方法只有一种：创建符号方程的方法
11、只有一种：eq=sym(equation)例如，例如，f=sym(asin(x)%定义函数定义函数f=asin(x)x0=1;f0=eval(f)%计算函数值计算函数值f0=f(x0)f0=1.5708首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学122.1.3 创建抽象函数创建抽象函数 形如形如f(x)、g(x,y)等表示的未知函数称为抽象函数。等表示的未知函数称为抽象函数。Matlab中，由中，由函数函数sym和和syms来定义抽象函数来定义抽象函数。syms var1 var2 varn f=sym(f(var1 var2 varn)例如，例如，syms
12、 x f=sym(f(x)f=f(x)g=sym(g(x2sin(x)g=g(x2 sin(x)首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学132.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算 类型类型调用格式调用格式功能说明功能说明代换代换subs(s)用赋值语句中给定值替换符号表达式用赋值语句中给定值替换符号表达式s中中所有同名变量所有同名变量 subs(s,old new)用符号用符号new代替符号表达式代替符号表达式s中的符号中的符号old 精度精度设置设置digits(n)设置有效数字个数为设置有效数字个数为n，n默认为默认为32 digits返回
13、当前数值计算的精度返回当前数值计算的精度 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学142.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算 类型类型调用格式调用格式功能说明功能说明转换转换eval(s)将符号表达式将符号表达式s转换为数值表达式转换为数值表达式 sym(s)将数值表达式将数值表达式s转换为符号表达式转换为符号表达式 vpa(s,n)将符号表达式将符号表达式s转换为具有转换为具有n位精度的数位精度的数值，省略值，省略n时，则按时，则按digits(n)函数设置的函数设置的有效位数输出有效位数输出 double(s)将其他数值型数据、字符、字符串
14、等将其他数值型数据、字符、字符串等s转转换成双精度换成双精度首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学152.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算 类型类型调用格式调用格式功能说明功能说明化简化简simplify(s)应用各种恒等式关系、函数关系对符应用各种恒等式关系、函数关系对符号表达式号表达式s进行化简进行化简 simple(s)调用调用Matlab的其他函数对符号表达式的其他函数对符号表达式s进行综合化简，并显示化简过程进行综合化简，并显示化简过程 pretty(s)以习惯方式显示符号表达式以习惯方式显示符号表达式s 复合复合函数函数运算运算
15、y=compose(f,g)返回返回y=f(u),u=g(x)的复合函数的复合函数y=f(g(x)y=compose(f,g,t)返回返回y=f(u)，u=g(t)的复合函数的复合函数y=f(g(t)反函反函数运数运算算 g=finverse(f,t)返回返回f按指定自变量按指定自变量t的反函数的反函数g(t)；若；若省略省略t，则对默认的自由符号变量求反，则对默认的自由符号变量求反函数函数 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学162.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算 类型类型调用格式调用格式功能说明功能说明变换变换factor(s)将符
16、号表达式将符号表达式s转换为乘积形式，即因转换为乘积形式，即因式分解式分解 expand(s)将符号表达式将符号表达式s中的乘积展开为和式中的乘积展开为和式 collect(s,v)将表达式将表达式s按变量按变量v的同次幂项进行合的同次幂项进行合并，并，v的默认值为的默认值为x horner(s)将表达式将表达式s中的符号多项式中的符号多项式(或多项式矩或多项式矩阵阵)转换为嵌套形式，其中的常数项保转换为嵌套形式，其中的常数项保持不变持不变 n,d=numden(s)返回符号表达式返回符号表达式s的分子的分子n和分母和分母d 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一
17、元函数微分学172.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算 类型类型调用格式调用格式功能说明功能说明数列数列求和求和 symsum(s,t,n,m)返回符号表达式返回符号表达式s对符号变量对符号变量t从从n到到m的和式的和式 泰勒泰勒多项多项式展式展开开 taylor(f,v,Name,Value)将符号函数将符号函数f展开为指定变量展开为指定变量v在在a处的阶名处的阶名Name阶数阶数Value的的泰泰勒多项式，勒多项式，阶数阶数Value默认值为默认值为5，省略，省略v时为默认变量，时为默认变量，a默认默认为为0 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元
18、函数微分学182.2 符号表达式的初等运算符号表达式的初等运算说明：说明：函数函数symsum中，中，s为通项表达式，为通项表达式，t为求和变量，为求和变量，n、m分别为求分别为求和的下限和上限；当分别为求分别为求和的下限和上限；当m取为取为inf 时，则返回以时，则返回以s为通项的为通项的无穷级数的和无穷级数的和。函数函数taylor中中，阶名阶名Name和和阶数阶数Value是成对参数，是成对参数，Name常用的有两种：常用的有两种：ExpansionPoint和和Order，分别表示展开点和阶数，必须用单引号分别表示展开点和阶数，必须用单引号“”括起，括起，Value是展开点和阶数的具体
19、值。是展开点和阶数的具体值。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学19例例2.3 利用利用subs和和eval函数计算函数值。函数计算函数值。syms x y f1=1/x2;f10=subs(f1,x,1:5)%计算计算y在在x=1:5的函数值的函数值 f2=1/x2+y;f20=subs(f2,x,y,1,0.3)%计算计算f在在x=1,y=0.3的函数值的函数值 f3=sym(asin(x);x=1;f30=eval(f3)f10=1.0000 0.2500 0.1111 0.0625 0.0400f20=1.300f30=1.5708首页首页上
20、页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学20例例2.4 将符号对象转换为不同精度的数值型数据。将符号对象转换为不同精度的数值型数据。a=sym(pi)%定义符号变量定义符号变量a a1=double(a)%将字符变量将字符变量a转换为双精度数值转换为双精度数值 a2=eval(a)ac=class(a)%获取获取a的类型的类型 a1c=class(a1)%获取获取a的类型的类型 a2c=class(a2)a3=vpa(a,16)%将将a转换为转换为16位精度的数值位精度的数值首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学21例例2
21、.5 计算函数的泰勒多项式计算函数的泰勒多项式。syms x f=exp(x);g=taylor(f,x,ExpansionPoint,1,Order,4)%将函数将函数f展开成为展开成为x1的的3次泰勒多项式次泰勒多项式g=exp(1)+exp(1)*(x 1)+(exp(1)*(x 1)2)/2+(exp(1)*(x 1)3)/6首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学222.3 求解符号方程求解符号方程调用格式调用格式功能说明功能说明x=roots(p)返回多项式方程的根返回多项式方程的根x，其中其中p为多为多项式的系数向量项式的系数向量an，an
22、1，a1，a0 x=solve(f,v)求符号表达式或字符串求符号表达式或字符串f定义的代数定义的代数方程方程f=0的解向量的解向量x，自变量为，自变量为v，省略省略v时使用默认变量时使用默认变量 v1,v2,vn=solve(f1,f2,fn,v1,v2,vn)求符号表达式或字符串求符号表达式或字符串f1,f2,fn组组成的代数方程组成的代数方程组f1=0,f2=0,fn=0的的解，求解变量分别解，求解变量分别v1,v2,vn 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学232.3 求解符号方程求解符号方程调用格式调用格式功能说明功能说明x=fsolve(
23、f,x0)从方程根的初值从方程根的初值x0开始搜索非线性方程开始搜索非线性方程(组组)f=0的解的解 x,f=fsolve(f,x0)同同fsolve(f,x0)，返回方程的解，返回方程的解x及相应及相应的函数值的函数值f x=fzero(f,a,b)返回单变量符号函数返回单变量符号函数f在区间在区间a,b内的内的零点零点x x=fzero(f,x0,tol)返回单变量符号函数返回单变量符号函数f在点在点x0附近满足附近满足精度精度tol的零点的零点x x,f=fzero(f,x0,tol)返回单变量符号函数返回单变量符号函数f在点在点x0附近满足附近满足精度精度tol的零点的零点x及相应的函
24、数值及相应的函数值f 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学242.3 求解符号方程求解符号方程 说明：说明：roots函数函数求解多项式的根时，约定：多项式的系数求解多项式的根时，约定：多项式的系数 用行向量表示，一组根用列向量表示；用行向量表示，一组根用列向量表示；n次多项式次多项式 具有具有n个根，可能是实根，也可能是共轭复根。个根，可能是实根，也可能是共轭复根。solve函数函数求方程的数组形式的解析解，求解形如求方程的数组形式的解析解，求解形如 f(x)=g(x)形式的方程时，则需要用单引号把方程括形式的方程时，则需要用单引号把方程括 起来，
25、如起来，如f(x)g(x)。fsolve函数函数位于优化（位于优化（Optimization）工具箱，用于）工具箱，用于 求解非线性符号方程的解，其中求解非线性符号方程的解，其中x0是解的初始估计是解的初始估计 值，可以通过绘图进行估计。值，可以通过绘图进行估计。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学252.3 求解符号方程求解符号方程 说明：说明：fzero函数函数只返回一个局部零点，不能找出所有的零只返回一个局部零点，不能找出所有的零 点点；fzero(f,x0,tol)中中x0是搜索起点，是搜索起点，Matlab自动在自动在 x0附近找出端点函数
26、值异号的区间，然后迭代求出附近找出端点函数值异号的区间，然后迭代求出 并返回函数并返回函数 f 的零点的零点z；若找不到，则返回；若找不到，则返回Nan。初。初 值值x0应为接近零点的值，否则误差较大；应为接近零点的值，否则误差较大；tol控制结控制结 果的相对精度，省略时果的相对精度，省略时tol=eps；fzero(f,a,b)中端点中端点 a、b处的函数值必须异号，否则系统会出错。处的函数值必须异号，否则系统会出错。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学26例例2.6 求方程求方程x23x+1=0的根。的根。方法一方法一 p=1,3,1;x0=r
27、oots(p)方法二方法二 x0=solve(x23*x+1)x0=2.6180 0.3820 x1=2.6180 0.3820 x0=5(1/2)/2+3/2%符号解符号解 3/2 5(1/2)/2 x1=eval(x0)%转换为数值解转换为数值解首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学27x0=0.3820 2.6180例例2.6 求方程求方程x23x+1=0的根。的根。方法三方法三 f=(x)x.23*x+1;x=1:0.01:3;y=f(x);plot(x,y)grid on x0=fsolve(f,0,3)hold on text(x0(1),
28、x0(2),0.2,0.2,零点零点1;零点零点2)%添加文本标注添加文本标注 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学28例例2.6 求方程求方程x23x+1=0的根。的根。方法四方法四 f=(x)x.23*x+1;x=1:0.01:3;y=f(x);plot(x,y)grid on x1=fzero(f,0,1)x2=fzero(f,2,3)x1=0.3820 x2=2.6180首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学292.4 符号函数绘图符号函数绘图 Matlab有强大的符号函数绘图功能，可以绘制一有强大的
29、符号函数绘图功能，可以绘制一元函数的曲线图、隐函数的图形、二元函数的曲面图元函数的曲线图、隐函数的图形、二元函数的曲面图及等高线图、参数方程表示的函数以及极坐标表示的及等高线图、参数方程表示的函数以及极坐标表示的函数的图形等。绘制一元符号函数图形的函数主要有函数的图形等。绘制一元符号函数图形的函数主要有 ezplot fplot首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学302.4 符号函数绘图符号函数绘图调用格式调用格式功能说明功能说明ezplot(f)绘制默认区间绘制默认区间2,2上符号函数上符号函数f的的图形图形 ezplot(f,a,b)绘制指定区间
30、绘制指定区间a,b上符号函数上符号函数f的图的图形形 ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)绘制区间绘制区间xminxxmax，yminyymax上由方程上由方程f(x,y)=0确定确定的隐函数的图形，的隐函数的图形，x和和y的默认区间的默认区间都为都为2,2 ezplot(x,y,)绘制区间绘制区间t上参数方程上参数方程x=x(t)，y=y(t)确定的函数的图形确定的函数的图形，,省略省略时为时为0,2 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学31例例2.7 画出画出y=arcsinx的图形。的图形。ezplot(asin(x),2
31、,2)画出画出xy+sin(y)/2=0所确定的隐函数的图形。所确定的隐函数的图形。ezplot(xy+sin(y)/2)画出画出x=tsint，y=1cost 所确定的函数的图形。所确定的函数的图形。ezplot(tsin(t),1cos(t),0,3*pi)首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学322.4 符号函数绘图符号函数绘图调用格式调用格式功能说明功能说明fplot(f,lim,ls,tol,n)绘制范围绘制范围lim上函数上函数f的图形，的图形，ls为线形参数，为线形参数，tol指定误差精度指定误差精度，默认为，默认为0.002，参数，参数
32、n指定最指定最少的绘图点数为少的绘图点数为n+1，默认为，默认为1 X,Y=fplot(f,lim,ls,tol,n)返回绘图数据点向量返回绘图数据点向量X和和Y=f(X)，不绘制图形，不绘制图形 说明：说明：参数参数 f 必须是以必须是以x为独立变量的字符串、内联函数、为独立变量的字符串、内联函数、匿名函数或匿名函数或 M函数文件。函数文件。fplot函数不能绘制隐函数和参数方程的图形。函数不能绘制隐函数和参数方程的图形。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学33例例2.8 比较比较plot函数、函数、fplot函数和函数和ezplot函数绘制函函数
33、绘制函 数数 y=sin（1/x）（）（0.1x0.1）的图形。）的图形。clear all;close all;x=0.1:0.01:0.1;y=sin(1./x);subplot(3,1,1)plot(x,y)title(plot函数绘图函数绘图)subplot(3,1,2)fplot(sin(1/x),0.1,0.1)title(fplot函数绘图函数绘图)subplot(3,1,3)ezplot(sin(1/x),0.1,0.1)title(ezplot函数绘图函数绘图)首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学342.5 极限计算极限计算调用格式
34、调用格式功能说明功能说明limit(f,x,a)返回极限返回极限 的值的值 limit(f,a)返回默认变量趋于返回默认变量趋于 a 时函数时函数 f 的极限值的极限值limit(f)返回默认变量趋于返回默认变量趋于 0 时函数时函数 f 的极限值的极限值)(limxfax首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学352.5 极限计算极限计算)(limxfax调用格式调用格式功能说明功能说明limit(f,x,a,right)返回右极限返回右极限 的值的值 limit(f,x,a,left)返回左极限返回左极限 的值的值 limit(f,x,inf)返回极
35、限返回极限 的值的值 limit(f,x,inf)返回极限返回极限 的值的值)(limxfx)(limxfx)(limxfax)(limxfax 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学36例例2.9 计算函数计算函数y=x2在在x=0，1，处的极限。处的极限。syms xy=x2;a=limit(y),limit(y,1),limit(y,x,inf)a=0,1,Inf 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学372.6 导数计算导数计算调用格式调用格式功能说明功能说明diff(f)返回符号表达式返回符号表达式
36、f 对默认自变量的一阶导数对默认自变量的一阶导数 diff(f,v)返回符号表达式返回符号表达式 f 对指定变量对指定变量 v 的一阶导数的一阶导数 diff(f,v,n)返回符号表达式返回符号表达式 f 对指定变量对指定变量 v 的的 n 阶导数阶导数 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学38例例2.10 计算函数计算函数y=x2的一阶、二阶和三阶导数。的一阶、二阶和三阶导数。syms xy=x2;dy=diff(y),diff(diff(y),1),diff(y,3)dy=2*x,2,0嵌嵌套套首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2
37、一元函数微分学一元函数微分学392.7 函数的极值函数的极值调用格式调用格式功能说明功能说明x,favl=fminbnd(f,x1,x2)返回单变量非线性函返回单变量非线性函数数 f 在区间在区间(x1,x2)上的上的极小值点极小值点x和极小值和极小值favl x,favl=fminbnd(f,x1,x2,options)按按options结构指定的结构指定的优化参数求函数优化参数求函数f的极的极小值点和极小值小值点和极小值 x,favl,exitflag,output=fminbnd()返回函数返回函数f的极小值点的极小值点和极小值，及求解状和极小值，及求解状态和求解信息态和求解信息 说明：
38、说明：fminbnd函数只能求函数的局部极小值函数只能求函数的局部极小值首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学40l options 结构的参数结构的参数字段字段含义含义 Display 设置结果的显示方式，其值有设置结果的显示方式，其值有off：不显示输出：不显示输出；iter：显示每步迭代后的结果；：显示每步迭代后的结果；final：只显：只显示最终结果；示最终结果；notify：只有当求解不收敛时才：只有当求解不收敛时才显示结果显示结果 MaxFunEvals 目标函数检查的最大允许次数目标函数检查的最大允许次数 MaxIter 最大允许迭代次数
39、最大允许迭代次数 OutputFcn 用户自定义的输出函数，其在每个迭代步调用用户自定义的输出函数，其在每个迭代步调用 TolX 自变量的精度自变量的精度 options 结构的参数可以通过结构的参数可以通过函数函数optimset设置，设置，其字段及含义，其字段有其字段及含义，其字段有 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学41l 输出参数输出参数exitflag和和outoutexitflag的取值的取值含义含义 Output的字段的字段 含义含义 1 成功求得优化解，成功求得优化解，且解的精度为且解的精度为TolX output.algorith
40、m 优化算法优化算法0 由于目标函数检查由于目标函数检查次数达到最大或迭次数达到最大或迭代次数达到最大值代次数达到最大值而退出而退出 output.funcCount 目标函数目标函数检查次数检查次数 1 由于用户自定义函由于用户自定义函数引起的退出数引起的退出 output.iterations 优化迭代优化迭代次数次数 2 边界条件不协调边界条件不协调（x1x2）output.message 退出信息退出信息 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学42例例2.11 求函数求函数y=(x21)3+1的极值。的极值。y=(x21)3+1;x,fx,ex
41、itflag,output=fminbnd(y,2,2)x=4.4409e16fx=0exitflag=1output=iterations:5 funcCount:6 algorithm:golden section search,parabolic interpolation message:1x111 char首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学432.8 可视化数学分析界面可视化数学分析界面 Matlab的符号数学工具箱为符号函数的可视化的符号数学工具箱为符号函数的可视化提供了一组简单易操作的命令，其中常用有提供了一组简单易操作的命令，其中常
42、用有l 符号函数计算器符号函数计算器l taylor级数逼近计算器级数逼近计算器首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学44l 符号函数计算器符号函数计算器 在命令窗口中输入在命令窗口中输入 funtool 便启动符号函数便启动符号函数计算器计算器，包括：，包括：2个图形窗口个图形窗口1个运算控制窗口个运算控制窗口 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学45 运算控制窗口运算控制窗口 分为两个部分，第一部分中有以下分为两个部分，第一部分中有以下4个文本框：个文本框：函数函数 f 文本框：文本框：输入要分析的函数输
43、入要分析的函数f（x）的解析式）的解析式函数函数 g 本框：本框：输入要分析的函数输入要分析的函数g（x）的解析式）的解析式常数常数 a：常数的输入常数的输入自变量自变量x的范围：的范围：设置分析的区间设置分析的区间首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学46 运算控制窗口运算控制窗口第二部分中有第二部分中有4行按钮，完成函数的以下运算：行按钮，完成函数的以下运算：第一行按钮只对第一行按钮只对 f 完成完成如求导、积分、化简、提取如求导、积分、化简、提取 分子和分母、倒数、反函数等分子和分母、倒数、反函数等运算运算。第二行按钮完成函数第二行按钮完成函数
44、f 和常数和常数 a 间间的加、减、乘、的加、减、乘、除等除等运算运算。第三行按钮完成第三行按钮完成 f 和和 g的一些运算的一些运算，前，前4个按钮完成个按钮完成 四则运算，第四则运算，第5个按钮求复合函数，第个按钮求复合函数，第6个按钮把个按钮把 f 传递给传递给 g，最后一个按钮，最后一个按钮swap实现实现 f 和和 g 的互换。的互换。最后一行按钮是对计算器自身进行的操作。最后一行按钮是对计算器自身进行的操作。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学47l taylor级数逼近计算器级数逼近计算器 在命令窗口中输入在命令窗口中输入 taylor
45、tool 便启动图形化的泰便启动图形化的泰勒级数逼近计算器勒级数逼近计算器，有有4个交互项：个交互项：函数函数 f(x)文本框：文本框：输入要分析的函数输入要分析的函数 f(x)的解析的解析 式。式。阶数阶数N文本框：文本框：泰勒级数的阶数。可以通过右侧泰勒级数的阶数。可以通过右侧 的按钮设置，也可以直接输入阶数。的按钮设置，也可以直接输入阶数。展开点展开点a：输入泰勒级数中的输入泰勒级数中的x0。自变量自变量x的范围：的范围：设置分析的区间。设置分析的区间。首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学48l taylor级数逼近计算器级数逼近计算器 首页首
46、页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学49三、实验内容三、实验内容例例2.12 利用图形的方法，验证数列极限利用图形的方法，验证数列极限并对并对=0.1，0.05，在图形上寻找，在图形上寻找N，使得，使得nN时，时，总有总有观察数列极限存在的几何意义。观察数列极限存在的几何意义。1)1(lim nnnn 0)1(nnn首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学50绘制数列的各点绘制数列的各点n=1:1:100;%设置数列的项数为设置数列的项数为100an=(n+(1).n)./n;%计算数列计算数列(n+(1)n)/n的
47、每一项的值的每一项的值subplot(1,2,1)%设置子窗口为设置子窗口为(1,2,1)plot(n,an,.)grid on;hold on首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学51验证数列的极限验证数列的极限ezplot(0.9,1,100)%取取1=0.1，画直线，画直线y=0.9ezplot(1.1,1,100)%画直线画直线y=1.1title(epsilon=0.1)axis(0,100,0,1.5)e1=0.1;N1=round(1/e1)plot(N1*ones(20),linspace(0,1.5,20),r)hold off首页首
48、页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学52验证数列的极限验证数列的极限subplot(1,2,2)%设置子窗口为设置子窗口为(1,2,2)plot(n,an,.)grid on;hold onezplot(0.95,1,100)%取取2=0.05，画直线，画直线y=0.95ezplot(1.05,1,100)%画直线画直线y=1.05title(epsilon=0.05)axis(0,100,0,1.5)e2=0.05;N2=round(1/e2)plot(N2*ones(20),linspace(0,1.5,20),r)首页首页上页上页返回返回下页下页结束
49、结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学53验证数列的极限验证数列的极限syms n an=(n+(1).n)./n;limit(an,n,inf)ans=1首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学54例例2.13 设设P(x)=2x3+8x+1，Q(x)=3x2+4，R(x)=x32x+4，计算极限，计算极限 先画出多项式先画出多项式P(x)、Q(x)、R(x)的图形。的图形。clear all;close all x=100:0.1:100;y1=2*x.3+8*x+1;y2=3*x.2+4;y3=x.32*x+4;)()(limxQxPx)()
50、(limxRxQx)()(limxPxRx 首页首页上页上页返回返回下页下页结束结束铃铃Ch2 一元函数微分学一元函数微分学55先画出多项式先画出多项式P(x)、Q(x)、R(x)的图形。的图形。plot(x,y1,r,x,y2,b,x,y3,k:)text(22,10000,leftarrowP(x);%在指定位置添加文本标注在指定位置添加文本标注text(34,3421,leftarrowQ(x);text(5,3480,R(x)rightarrow);axis(100,100,5000,15000)x时函数时函数P(x)、Q(x)、R(x)的绝对的绝对值无限增大，值无限增大，P(x)与与
