1、第二章第二章 构件与产品的静力分析构件与产品的静力分析 第一节第一节 平面力系的简化与合成平面力系的简化与合成 第二节第二节 平面力系平衡问题的求解平面力系平衡问题的求解 第三节第三节 空间力系简介空间力系简介 超静定的概念超静定的概念 第四节第四节 物体的重心和平面图形的形心物体的重心和平面图形的形心 第五节第五节 摩擦与摩擦力摩擦与摩擦力 第六节第六节 功与功率功与功率 第一节第一节 平面力系的简化与合成平面力系的简化与合成 产品常受到由多个力和力偶组成的产品常受到由多个力和力偶组成的力系力系的作用。须在作用效果不变的前的作用。须在作用效果不变的前提下，将力系加以简化，以便于问题的求解提下
2、，将力系加以简化，以便于问题的求解。一、一、力的投影力的投影 合力投影定理合力投影定理图2-1 力的投影 力的投影 Fx、Fy 不是矢量，是代数量，有正负之分。若力F F的数值大小为 F，与x轴正向所夹的锐角为，则两个分力的计算式为sincosFFFFYX （2-1）1.1.力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影F F是作用在物体上的A点力，Fx、Fy分别是F F在x轴和y轴上的投影。正负规则：正负规则：从a 到b 的指向与x轴的正向一致，则 Fx 取正值；从a到b的指向与y轴的正向一致,Fy为正值,例例2-1 2-1 求图2-2中各力在x、y 轴上的投影。已知F1=F2=100 kN；F3=F
3、4=200kN。图 2-2 例2-1图 解解 由式（2-1）可得：F1x F1 cos45100 kN0.70770.7kN F1y F1 sin45100 kN0.70770.7kN 由图判定F F2 2 与x 轴形成的锐角是30，因此有：F2xF2 cos30100 kN0.86686.6kN F2yF2 sin30100 kN0.50050.0kN F3X F3 cos30200 kN0.866173.2kN F3y F3 sin30200 kN0.500100kN F4xF4 cos900 F4yF4 sin90200 kN1.00200kN 已知力 F F 在坐标轴上的投影Fx 和F
4、y，可求F F的大小和方向：XYYXFFcrcFFFtan22 （2-2）为力F与x轴所形成的锐角。力力F的指向根据的指向根据FX和和Fy的正负加以确定的正负加以确定。图 2-3 合力投影定理 由此推广，刚体受 F F1 1、F F2 2、F Fn n 等n个力的汇交力系的作用，若该力系的合力为 R RYnYYYYXnXXXXFFFFRFFFFR2121 （2-3）合力投影定理合力投影定理：合力在任意坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴合力在任意坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和上投影的代数和。2.2.合力投影定理合力投影定理 设刚体受F1、F2两个汇交力的作用，根据力的平行四
5、边形法则，作出这两个力的合力R。从图中可看出xxxFFR21yyyFFR21nFFFR 21 则有二、平面汇交力系的合成二、平面汇交力系的合成 设有F F1 1、F F2 2、F Fn n等n个力组成平面汇交力系，各力的投影分别为F1x、F2x、Fnx和F1y、F2y、Fny，则合力R R的大小和方向可由式(2-4)求出XYXYYXYXFFRRFFRRRarctanarctan2222（2-4）式中，R为合力R R的大小，为合力R R与x轴所夹的锐角。图2-4 例2-2图 例例2-2 2-2 作用于吊环螺栓上的四个力F F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4处于同一平面内,且汇交于
6、吊环中心O,如图2-4所示。试求四力合力的大小和方向。解解 1）各力在图示x轴和y轴上的投影 F1x360Ncos（9060）312N F2x550Ncos900 F3x380Ncos（9030）190N F4x300Ncos（903040）282N F1y360Nsin（9060）180N F2y550Nsin90550N F3y380Nsin（9030）329N F4y300Nsin（903040）103N 2）各力投影的代数和 RxFxF1xF2xF3xF4x160N RyFyF1yF2yF3yF4y1162N N1173N11621602222YXRRR16821601162.arct
7、anarctanXYRR3）由式（2-4），合力R R的大小 R R与x轴所夹锐角 由于Rx0，Ry0，可知合力R R指向右上方。例例2-2 2-2 作用于吊环螺栓上的四个力F F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4处于同一平面内,且汇交于吊环中心O,如图2-4所示。试求四力合力的大小和方向。图2-4 例2-2图 三、力对点之矩三、力对点之矩 合力矩定理合力矩定理1.1.力对点之矩力对点之矩 力力F F对对 OO点之矩点之矩，简称简称力矩力矩。转动中O点称为矩心矩心。矩心到力作用线的垂直距离d称为力臂力臂。力F F对O点之矩用M O（F F）表示，符号“Mo”中的下标“o”表示矩心
8、点。图2-5 力对点之矩 力矩的正负力矩的正负:力矩使物体绕矩心逆时针转动时，取正号；反之，取负号。力矩的单位力矩的单位:牛米（Nm）,千牛米（kNm）,1kNm1000Nm。由力矩的定义可知:1)力沿其作用线的移动不改变该力对矩心的力矩。力沿其作用线的移动不改变该力对矩心的力矩。2)当力的作用线通过矩心时当力的作用线通过矩心时，力臂为零力臂为零，力矩也为零。力矩也为零。即 Mo（F F）Fd （2-5）2.2.合力矩定理合力矩定理合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和，即：若 R RF F1 1F F2 2F Fn
9、 n ，则M o（R R）Mo（F F1 1）M o（F F2 2）Mo（F Fn n）M o（F F）（2-6）例例2-32-3一渐开线直齿圆柱齿轮,在分度圆上齿廓的P点受到法向力Fn的作用，已知Fn=100N，分度圆直径d=80mm，P点处分度圆压力角=200，试求力Fn对轮心O点之矩。图2-6 例2-3图 解解 由式（2-5）mN763202m0800N1002.cos.cosdFhFFMnnnO mN76302m0800cos20N100 02.cosdFFMFMFMnrOtOnO力F Fn n 可分解为径向力F Fr r和切向力F Ft t；前者通过轮心O点，对O不产生力矩。因此力由
10、式（2-6）结果为负值，表明力矩将使齿轮顺时针转动。例例2-42-4 T形构件受力如图2-7所示，F F250N,求力F F对C点之矩M c（F）。图2-7 例2-4图 解解 将力F F分解为F Fx x、F Fy y，用式（2-6）求解。FxF Fcos30，FyF Fsin30 Mc（F F）Mc（F Fx x）M c（F Fy y）Fx 0.5mFy 0.4m Fcos300.5mFsin300.4m 250N0.8660.5m250N0.50.4m58.25Nm 力矩值为负数，此力矩为顺时针方向。四、力偶四、力偶 力偶系的合成力偶系的合成图2-8 力偶示例 力偶臂力偶臂：力偶中两力作用
11、线间的垂直距离d。大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F F、FF组成力偶力偶，用符号（F F、FF）表示。1.1.力偶及力偶矩力偶及力偶矩力偶作用面力偶作用面：力偶中两个力所在的平面称为力偶作用面。力偶只能使物体发生转动力偶只能使物体发生转动。力偶产生的转动效应与力的大小F成正比,与力偶臂d也成正比。力偶矩：力偶矩：以Fd作为度量力偶使物体转动效应的物理量,称为力偶矩力偶矩,用符号MM表示,即MFd （2-7）图2-10 力偶矩的正负号规则 力偶矩方向：力偶矩方向：力偶使物体逆时针逆时针转动，则力偶矩取正号取正号；反之，取负号。力偶矩的单位：力偶矩的单位：牛米（Nm）千牛米（kNm）。图2
12、-9 力偶臂 2.2.力偶的性质力偶的性质图2-11 力偶的投影为零 1)1)力偶无合力：力偶无合力：力偶在任意坐标轴上的投影都等于零，对物体只产生转动效应,而不产生移动效应。力偶和力是组成力系的两个并列的基本物理量。力偶和力是组成力系的两个并列的基本物理量。力偶三要素力偶三要素:力偶矩的大小、转动方向和力偶作用面。图2-12力偶的等效性 2)2)力偶矩与矩心位置无关：力偶矩与矩心位置无关：组成力偶的两个力对力偶作用面内任一点的力矩的代数和,恒等于其力偶矩。而与矩心位置无关。3)3)力偶的等效性力偶的等效性及其推论:同一力偶作用面内,力偶矩代数值相等的力偶即代数值相等的力偶即等效等效。推论:力
13、偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对力偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对刚体的转动效应刚体的转动效应,即力偶对刚体的转动效应与力偶在作用面内的位置无关。3.3.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 M合=M1M2MnM （2-8）图2-13 例2-5图 例例2-5 2-5 物体受3个共面力偶的作用如图2-13所示,已知F1=240N、d1=100mm、F2=160N、d2=40mm、M3=-24Nm,试求合力偶矩。解解 由式（2-7）：M1F1d1 240N0.100m24Nm M2 F2d2 160N0.04m6.4Nm 由式（2-8）：M合M1M2 M3 （246.424）Nm41.6N
14、m 合力偶矩为负值，它使物体顺时针转动。作用于同一平面上的多个力偶所组成的力偶系作用于同一平面上的多个力偶所组成的力偶系,称为平面力偶系。称为平面力偶系。由于力偶对物体只产生转动效应，平面力偶系也只能产生转动效应。其转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和。平面力偶系合成的结果为一合力偶平面力偶系合成的结果为一合力偶,合力偶矩等于各分力偶矩的代数和合力偶矩等于各分力偶矩的代数和,即即五、力的平移定理五、力的平移定理图2-15 力的平移定理 力的平移定理：力的平移定理：若若将作用在刚体某点的力平移到刚体上任意另外一点，而不将作用在刚体某点的力平移到刚体上任意另外一点，而不改变原力的作用效应，则必须
15、附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点之矩。改变原力的作用效应，则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点之矩。力的大小、方向不变,当力的作用线平移到另一位置时,力对刚体的作用效应将会发生变化。力的平移定理是复杂力系简化的理论依据。力的平移定理是复杂力系简化的理论依据。图2-14 力的平移引起效应改变 六、平面任意力系的简化六、平面任意力系的简化 由任意多个力和任意多个力偶组成的平面力系，可以简化为作用于面内由任意多个力和任意多个力偶组成的平面力系，可以简化为作用于面内任意点的一个力，和一个附加力偶任意点的一个力，和一个附加力偶。图2-16 平面任意力系的简化 主矢量RR的大小和方向：XYX
16、YYXYXFFRRFFRRRarctanarctan 2222(2-10)(2-9)式中 Rx1x2xnx1x2xxFx(2-12)Ry1y2yy1y2ynyFy这个力称为主矢主矢。这个力偶矩，称为主主矩矩。“任意点”，称为简化中心简化中心。六、平面任意力系的简化六、平面任意力系的简化 主矩MO的数值：MoM1M2Mn Mo（F F1 1）Mo（F F2 2）Mo（F Fn n）Mo（F F）主矩的大小是与简化中心的位置有关的主矩的大小是与简化中心的位置有关的。(2-12)图2-16 平面任意力系的简化 主矢量主矢量RR之值与简化中心的位置无关之值与简化中心的位置无关。七、平面力系简化结果的分
17、析七、平面力系简化结果的分析平面任意力系简化的结果，不外乎以下4种情况：1.主矢量R和主矩MO都等于零，表示原力系是一个平衡力系。2.主矢量R0，主矩MO0，表示原力系可合成为一个合力，此合力就是作用在简化中心的主矢量。3.主矢量R0，主矩MO0，表示原力系可合成为一个力偶，此力偶的力偶矩就是主矩。4.主矢量R0，主矩MO0，表示力系能使物体移动、也能使物体转动。主矢量R和力偶矩为MO的合力偶还可以合成为一个合力R R，其大小和方向与R相同，简化中心到合力R R作用线的垂直距离d为：RMdO第二节第二节 平面力系平衡问题的求解平面力系平衡问题的求解一、平面汇交力系的平衡问题一、平面汇交力系的平
18、衡问题平面汇交力系的平衡方程如下：00YXFF（2-13）平面汇交力系平衡的充分必要条件是：平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在任选直角坐标系两个坐标轴上投影的代数和均为零。力系中各力在任选直角坐标系两个坐标轴上投影的代数和均为零。式（2-13）包含两个独立的方程，可用以求解两个未知量。若作用于刚体上的平面汇交力系的合力为零平面汇交力系的合力为零,不会引起刚体运动状态的改变,则该力系是平衡力系该力系是平衡力系。0)()(2222yxyxFFRRR图2-17 例2-6图 例例2-6 2-6 重量为G的重物以长度为l的绳索BA吊住,现有水平方向的力F将重物右推一个距离x,如图2-17a所
19、示。设G=80N,l=600mm,x=240mm,试求重物稳定在该位置时,水平推力的大小F和绳索所受的拉力值T。解解 1）取重物为研究对象，画出受力图。2）列出平衡方程求解：Fx0，FT sin （1）Fy0，T cosG0 （2）由图可得，sin（xl）（240600）0.4 cos0.917，代入数据，求得：F35N，T87.2N。此时绳索受到的拉力(T=87.2N)大于重物的重量(G=80N)，绳索所受拉力是重力和水平方向上推力的合力。建立坐标系xBy，列平衡方程求解：解解 取滑轮为研究对象，画受力图。不计尼龙绳与滑轮的摩擦力，因而有 T1T2G120N。AB和BC都是二力杆，S SAB
20、AB、S SBCBC都沿杆的方向，指向任意假设。例例2-7 2-7 绞车D以尼龙绳绕过滑轮B吊住重量为G=120N的重物,滑轮(轴)与AB、BC两杆杆端铰接,两杆以A、C两铰链固定在竖直墙面上,如图2-18。不计两杆和滑轮的自重,试求平衡时AB、BC两杆所受的力。Fx0，T1 sin30SABT2 sin600 （1）Fy0，SBCT1cos30T2 cos600 （2）代入数值得到：SAB43.92kN，SBC163.92N 图2-18 例2-7图图2-18 例2-7图 例例2-7 2-7 绞车D以尼龙绳绕过滑轮B吊住重量为G=120N的重物,滑轮(轴)与AB、BC两杆杆端铰接,两杆以A、C
21、两铰链固定在竖直墙面上,如图2-18。不计两杆和滑轮的自重,试求平衡时AB、BC两杆所受的力。讨论 受力图上SAB、SBC本是AB、BC 两杆对滑轮的作用力；求解计算的结果，得到的SBC是正值，表示该力的实际指向和画在图上的指向一致；SAB负值，表示该力的实际指向和画在图上的指向相反。即计算结果表明，BC 杆受压，AB 杆也受压。解解计算结果分析：SAB43.92kN，SBC163.92N 二、平面力偶系的平衡问题二、平面力偶系的平衡问题 平面力偶系平衡的充分必要条件是其合力偶矩为零平面力偶系平衡的充分必要条件是其合力偶矩为零。M合M0 （2-14）推广：若作用在刚体上的所有力偶都在互相平行的
22、平面内，则刚体平衡若作用在刚体上的所有力偶都在互相平行的平面内，则刚体平衡的充分必要条件为所有力偶的合力偶矩为零。的充分必要条件为所有力偶的合力偶矩为零。设刚体上作用着平面力偶系,若其合力偶的力偶矩等于零,将不会引起刚体的旋转效应,则该力偶系是平衡力偶系,由式(2-8)可知,此时必有图2-19 例2-8图 例例2-8 2-8 用三轴钻床在水平工件上钻孔,三个钻头对工件分别施加三个力偶,如图2-19a所示,三个力偶矩分别为:M1=6Nm,M2=8Nm,M3=12Nm;固定工件的螺栓A和B间的距离l=100mm。求两螺栓所受水平力的大小。解解 取工件为研究对象。螺栓A、B对工件一对反力形成反向的力
23、偶（NA，NB），与3个主动力偶组成平衡力偶系，即 M（NAl）M1M2M30N260321lMMMNA NB NA 260N。提示提示 图中NA、NB是螺栓A、B对工件的反力；本题要求的是工件给螺栓的作用力。因两者互为作用力与反作用力，等值、反向。求出了前者，“默认”为后者也已求出。代入数值，得到图2-20 例2-9图 例例2-92-9 A为固定铰支座，D、C为铰链联接，力偶（F F，FF）的力偶矩为M15Nm。不计结构自重，求 A、C两处的约束反力。解解 取AB杆为研究对象 DC是二力杆，S SDCDC必沿DC方向；AB杆还受力偶（F F，FF）作用，能与力偶平衡的只能是力偶，力偶（S S
24、DCDC，R RA A）的力偶矩为 AERA列平衡方程：代入数据，即得 SDCRA60N。得到力值为负数，表明约束反力得到力值为负数，表明约束反力S SDCDC 、R RA A的实际方向与图中所示方向相反。的实际方向与图中所示方向相反。A点反力R RA A与S SDCDC形成力偶，即其作用线与S SDCDC平行，且两者等值、反向。0)(,0MAERMAmmACAE25.030sin5.030sin由此断定：三、平面任意力系的平衡问题三、平面任意力系的平衡问题 平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在两个任选的坐标轴上的平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在两个任选的坐标轴上的投影
25、的代数和分别等于零，各力对力系作用面内任一点之矩的代数和也等于零。投影的代数和分别等于零，各力对力系作用面内任一点之矩的代数和也等于零。“两影一矩式”平衡方程为“两矩一影式”平衡方程为（2-16）式（2-16）的使用条件是：所选的投影轴x轴不垂直于A、B两点的连线。“三矩式”平衡方程（2-17）式（2-17）的使用条件是：A、B、C三点不在一条直线上。式（2-15）（2-17）各包含3个独立的方程，各可用来求解3个未知量。M A（F F）0M B（F）0 MC（F）0M A（F F）0 M B（F）0Fx0Fx0Fy0 （2-15）M O（F F）0图2-21 例2-10图 例例2-10 2-
26、10 结构示于图2-20a,A为固定铰支座,D、C两处为铰链联接,B端所作用力偶(F,F)的力偶矩为M=15Nm。不计结构的自重,求 A、C两处的约束反力。解解 取AB研究，画受力图 BC对AB拉力T T为沿拉杆的方向，属“已知”；铰链A反力R RA A的大小、方向均未知，以分力R RAXAX、R RAYAY的形式画出，便于求解。根据式（2-15）列出平衡方程Fx0，RAXT cos300 （1）Fy0，RAYT sin30GQ0 （2）M A（F F）0，T（ABsin30）GADQAE0 （3）代入数据求得：T3.18kN，RAX2.74kN，RAY0.92kN一点说明一点说明 求出求出R
27、 RAXAX和和R RAYAY，便容易求出，便容易求出R RA A的大小和方向。的大小和方向。一般习惯是求出这一般习惯是求出这两个分力两个分力,解题结束解题结束,不再计算其合力的大小和方向。不再计算其合力的大小和方向。图2-22 例2-11图 例例2-11 2-11 运料斗车重G3kN，钢丝绳牵引，沿30的斜坡等速提升。不计摩擦力，求牵引力T T及车轮对坡道的压力N NA AN NB B。解解 取斗车为研究对象斗车重GG分解为分力G Gx xG Gy y：GXG sin303kN0.51.5kN （1）GyGcos303kN0.8662.6kN （2）根据式（2-15）列平衡方程：Fx0，TG
28、X0 （3）M A（F F）0，NB1.7Gx0.5 Gy（10.2）T0.60（4）Fy0，NANBGy0 （5）由（3），TGX1.5kN （6）联立解得：NB（0.8 Gy0.6 Gy0.5 Gx）/1.71.31kN NAGyNB1.29kN“解题技巧”在例2-10、例2-11中，把两个未知力作用线的交点选为矩心，使这两个未知量 避免出现在力矩方程中，方便了计算。例2-11中，车重G分解为GxGy，避免了繁琐的几何计算，使解题变得简便。平面平面平行平行力系的平衡方程力系的平衡方程 Fx0 Mo（F F）0图2-23 例2-12图 例例2-12 2-12 塔式起重机,自总为G=18kN,
29、最大起吊重量为Pmax=6kN。1)欲使起重机满载作业而不致向右翻倾,试求平衡配重的最小值Wmin;2)若配重为W=6kN,实际起吊重量P=5kN,试求两轨道处约束反力的大小N A、N B。解解 吊重为最大Pmax，NA0，临界平衡，求Wmin。平衡方程：M B（F F）0，Wmin（1.5+0.5）G0.5Pmax（30.5）0 代入数据即得：Wmin3kN 平衡方程 Fx0，NANBWGP0 （1）MA（F F）0，W（1.50.5）NB（0.5+0.5）G0.5P（3+0.5）0 （2）代入数据即得：NA8.5kN，NB20.5kN 注意注意：力学计算是设计的重要前提，但最终取值还要考虑
30、安全等多种因素。力学计算是设计的重要前提，但最终取值还要考虑安全等多种因素。（2-18）四、物体系统（物系）的平衡问题四、物体系统（物系）的平衡问题图2-24 例2-13图 物系：物系：产品或结构常是由若干个物体通过一定约束方式连接成的整体,这就是物体系统,简称物系。当物系处于受力平衡时,物系内的各个部分也是受力平衡的。求解物系的平衡问题,选取整个物系为研究对象进行分析计算;也可选取物系内的某适当部分为研究对象进行分析计算。图2-24 例2-13图 例例2-13 2-13 G720N的男子立于梯上K点，ABAC3m，ADAE2m，AK1m，40。求B、C两点及铰链A处的反力、绳子DE的拉力。解
31、解 求反力NB、NC M B（F F）00213232sinsinGNC代入数据G720N，40，得到：NC480N Fx0，NBNCG0 代入数据得到：NB240N图2-24 例2-13图 例例2-13 2-13 G720N的男子立于梯上K点，ABAC3m，ADAE2m，AK1m，40。求B、C两点及铰链A处的反力、绳子DE的拉力。求物系的内力拉力T T和铰链A的反力，取AB为研究对象 MA（F F）0，024032402sincosBNT （1）Fx0，TRAX0 （2）Fy0，NBRAY0 （3）解得：T131N，RAX131N，RAY240NRAX、RAY为负值，表明两力的实际指向与图
32、2-24上所标示的指向相反。解解 例例2-14 2-14 载重汽车与拖车用铰链联接(见D局部的放大图),有关尺寸如图2-25a所示。已知汽车重G1=13.6kN,拖车重G2=1.8kN,现载重G3=39.6kN,重心位置如图2-25a所示。求静止时地面对A、B、C三轮的约束反力。图2-25 例2-14图 解解 此为平行力系问题，式（2-18）只能求解2个未知量。本问题有3个未知量，须先选取物系中某部分为研究对象，才能逐步求出3个未知量。取拖车研究，因所有外力均平行，因此RD也必与之平行。Mo（F）0，RC6G2（3+1）G330 （1）MC（F）0，G22G3（63）RD60 （2）代入数据得
33、到：RC21kN，RD20.4kN。图2-25 例2-14图 例例2-14 2-14 载重汽车与拖车用铰链联接(见D局部的放大图),有关尺寸如图2-25a所示。已知汽车重G1=13.6kN,拖车重G2=1.8kN,现载重G3=39.6kN,重心位置如图2-25a所示。求静止时地面对A、B、C三轮的约束反力。图2-25 例2-14图 解解 此为平行力系问题，式（2-18）只能求解2个未知量。本问题有3个未知量，须先选取物系中某部分为研究对象，才能逐步求出3个未知量。再取分离后的汽车为研究对象 MA（F F）0，RB4RD4G11.50 （1）MB（F F）0，G1（41.5）RA40 （2）代入
34、数据得到：RA8.5kN，RB25.5kN。例例2-152-15 三饺拱屋架的两半架G1G2 6kN，水平风压力F1.6kN，求A、B、C三处的反力。解解 分析分析 求3个铰链反力，共包含6个未知量。他们是：N NAXAX、N NAYAY、N NBXBX、N NBYBY、N NCXCX、N NCYCY。前4个是物系的外力，后2个是物系的内力。取整个物系研究，仅3个独立方程，不能解出4个未知外力。若再取右半拱为研究对象，又得3个方程，这样共有6个独立的方程，将能解出6个未知量。例例2-152-15 三饺拱屋架的两半架G1G2 6kN，水平风压力F1.6kN，求A、B、C三处的反力。解解取屋架整体
35、研究，得平衡方程：Fx0，FNAxNBx0 （1）Fy0，NAyNAyG1G20 （2）MA（F F）0，NBy4F1.25G10.5G2（220.5）0 （3）取右半铰研究，得平衡方程：Fx0，NBxNCx0 （4）Fy0，NByNCyG20，（5）MC（F F）0，NBx3NBy2G1（20.5）0 （6）例例2-152-15 三饺拱屋架的两半架G1G2 6kN，水平风压力F1.6kN，求A、B、C三处的反力。解解6个方程联立求解，得：N0.27kN，NAy5.5kN，NBx1.33kN，NBy6.5kN，NCx1.33kN，NCy0.5kN。求解物体系统的平衡问题，需适当地选择研究对象。
36、求解物体系统的平衡问题，需适当地选择研究对象。要点在于：待求未知量数应与独立平衡方程数相等，要并充分利用已知条件。要点在于：待求未知量数应与独立平衡方程数相等，要并充分利用已知条件。第三节第三节 空间力系简介空间力系简介 超静定的概念超静定的概念一、力沿空间坐标轴的投影一、力沿空间坐标轴的投影 力对轴之矩力对轴之矩 空间力系：空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系,称为空间力系 有些空间力系的问题，可以转化为平面力系的问题进行分析，使问题大为简化。1.1.力沿空间坐标轴的分解及相应的投影力沿空间坐标轴的分解及相应的投影图2-27 力在空间坐标轴上的投影 将力先投影在z轴及与z轴垂直的平面上
37、，得到F Fz z和F FxyxyFzFcos，FxyF sin 为力F F与z轴之间的夹角 F Fxyxy再向面内的x轴和y轴投影，得到 FxFsincos FyFsinsin （2-19）FzFcos 为力F F在xoy平面上的投影与x轴之间的夹角。2.2.力对轴之矩力对轴之矩图2-28 力对轴之矩 平面力系：力对点之矩 空间力系：力对轴之矩力对轴之矩 力F F对z轴之矩 符号：Mz（F F）空间一力对轴之矩等于此力在垂直空间一力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对该轴与此平面交于该轴平面上的分力对该轴与此平面交点之矩点之矩。Mz（F F）Mo（F Fxyxy）Fxyd （2-20）
38、确定正负号的判定规则是“右手螺旋规则右手螺旋规则”:”:使右手大拇指的指向与z轴的正向一致,若力F使物体绕z轴旋转的方向与四指曲拢的方向一致,力矩取正值;反之,取负值。力对轴之矩的单位是 Nm（牛米）。二、空间力系的简化二、空间力系的简化 空间力系平衡问题解法举例空间力系平衡问题解法举例 Fx0 Fy0 Fz0 Mx（F F）0 My（F F）0Mz（F F）0 空间任意力系平衡的充分必要条件是，各力在直角坐标系三个坐标轴上空间任意力系平衡的充分必要条件是，各力在直角坐标系三个坐标轴上投影的代数和均等于零，各力对三个坐标轴之矩的代数和也都分别等于零投影的代数和均等于零，各力对三个坐标轴之矩的代
39、数和也都分别等于零。空间力系空间力系中的各力,可根据力的平移定理,向空间任一点简化简化，得到一个空间汇交力系汇交力系和一个空间力偶系空间力偶系。空间汇交力系的合力,就是原空间力系的主矢量,可以分解为沿空间坐标系三个坐标轴方向的三个分力,它们的效应是使刚体在相应的三个方向上移动。三个方向上移动。空间力偶系经过合成、分解后所产生的效应,则可以归结为使刚体绕三个坐三个坐标轴转动。标轴转动。刚体可能发生的三种移动、三种转动共六种运动刚体可能发生的三种移动、三种转动共六种运动,分别对应着力系简化后得分别对应着力系简化后得到的上述六个量到的上述六个量。若在空间力系的作用下刚体处于平衡状态平衡状态,上述六个
40、量都等六个量都等于零。于零。（2-21）就是空间力系平衡的条件,其数学表达形式如下:例例2-16 2-16 传动轴的结构、尺寸如图所示。已知带的紧边拉力T=1.5kN,松边拉力t=0.6kN,带轮外径D=160mm,齿轮在直径为d0=100mm的分度圆周上受有切向力Ft和径向力Fr=Fttan20,试求作用于齿轮的切向力 Ft、径向力Fr和A、B两处轴承的径向约束反力。图2-29 例2-16图 解解 分析：分析：本例可转化为平面力系来求解。A、B两处的反力可沿坐标轴分解。这样，本例题需求解的有Ft、RAx、RAz、RBx、RBz共5个未知量。取轴系为研究对象,分别画出它在正视zAy平面、顶视x
41、Ay平面、左侧视xAz平面等三个平面内的受力图,如图2-29b、c、d所示。分别列出平衡方程，即可求解。MO（F F）0，022OtdFDtT求Fr：FrFt tan200.524kN。由图2-29b，得 MA（F F）0，RBz400（Tt）460Fr2000 MB（F F）0，Fr200（T+t）60RAz4000解得：RBz2.677kN，RAz0.053kN。由图2-29d，可得 代入已知数据，解得:Ft=1.440kN。解解 解解由图2-29c，得 MA（F F）0，RBx400Ft2000 Fx0，RAxRBxFt0，解得：RAxRBx0.720kN。三、超静定的概念三、超静定的概
42、念图2-30 静定与超静定问题实例 对刚体静力学问题，若欲求之未知量数多于相应的独立方程的数，只用静力学理论将无法解决，此类问题称为超静定问题超静定问题，也叫静不定问题静不定问题。与此相反的，就是静定问题静定问题。两人扛木柱，每人肩上压力是一定的，容两人扛木柱，每人肩上压力是一定的，容易算出来。易算出来。在材料力学等理论中，分析物体的受力变形，建立补充方程，使超静定问题得以求解。三个人扛呢？可就不好计算算啦！三个人扛呢？可就不好计算算啦！第四节第四节 物体的重心和平面图形的形心物体的重心和平面图形的形心一、物体重心的概念一、物体重心的概念 工业产品的重心重心 缆车客罐 台灯 各种手工具高速转动
43、的机械 不倒翁 古人汲水用尖底瓶 等等 物体的重心在产品设计中有各种应用。重心体现了稳定性重心体现了稳定性。图2-31 重心的应用a)不倒翁 b)古人用来汲水的尖底瓶 材质均匀、形状规则的物体,重心比较容易确定。均质球体的重心在球心,均质立方体的重心在对角线的交点,均质圆柱体、圆锥体的重心在轴线上某点等。物体重心在力学上的意义,是重力的作用点。二、物体重心的确定二、物体重心的确定1.1.重心的坐标公式重心的坐标公式图2-32 不规则形状物体的重心 iiiiiCiiiiiCiiiiiCGzGGzGzGyGGyGyGxGGxGxi1,2,n （2-22）式中，G为整个物体的重量：GGi。形状较为复
44、杂的物体,可分为n块,每块所受的重力分别为G1、G2、Gn。每块重心的空间坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2、y2、z2)、(xn、yn、zn)。根据空间平行力系合力的方法,可求出物体整体重心的空间坐标(xC、yC、zC)图2-33 例2-17图 例例2-17 2-17 台灯结构如图2-33所示,尺寸a=80mm,l=360mm,底座重量W=6N,包括灯罩、灯泡等在内的灯头部分重Q1=0.5N,四个连接杆合起来重Q2=0.8N,角度是可调的,假设使用中灯头探得较远时可取30。1)求此时台灯重心在x方向上的位置;2)分析:设计中是否需要对尺寸、重量做调整?解解 台灯3构件重心的坐标为：xw0
45、，xQ1lcos360mmcos30312mm，xQ2（l2）cos156mm。38.5mmmm8.05.061568.03125.000212211QQWxQxQWxQQC由式（2-22）分析：较小时，若台灯重心越出底座右边线AB，台灯将要倾倒。AB离底座中心距离是（a2）（802）mm40mm，而30时，xc38.5mm，表明台灯不会倾倒。但为“留有余地”，宜把底座稍许加宽、或加重一点。形状不规则、材质不均匀的物体，重心坐标由积分式表示：GzdGzGydGyGxdGxGCGCGC000（2-23）2.2.用实验法确定重心位置用实验法确定重心位置 悬挂法 称重法 xcWlG。图2-35 用称
46、重法确定构件的重心 图2-34 用悬挂法确定不规则平板的重心 三、形心的概念三、形心的概念与力学概念重心相对应，有个几何学概念几何学概念，称为形心形心。均质物体的重心位置，就是该物体轮廓几何体的形心位置均质物体的重心位置，就是该物体轮廓几何体的形心位置。均质、等厚平板重心在面内的位置，即该平板轮廓平面图形的形心平面图形的形心位置。平面图形形心的概念，后面材料力学部分中要用到，因此在此介绍。平面图形形心的概念，后面材料力学部分中要用到，因此在此介绍。四、平面图形形心的确定四、平面图形形心的确定规则平面图形的形心位置容易确定。对于组合图形组合图形 iiiiiCiiiiiCAyAAyAyAxAAxA
47、xi1，2，n （2-24）式中，A为整个平面图形的面积：AAi。形状不规则的平面图形：AydAyAxdAxACAC00（2-25）机械设计手册、力学手册中，有各种平面图形的形心坐标可供查阅。图2-36 不规则平面图形的形心 图2-37 例2-18图 例例2-182-18 T字形图 a30mm，b15mm，求形心位置。解解 将T形图分为横矩形和竖矩形，和的形心C1、C2的位置“已知”。A1A2ab30 mm150mm4500mm2，AA1A29000mm2，AxAxAxC2211090000450004500Cx ，AyAyAyC2211 mm12090007545001654500Cy 02
48、1 xxmmmmmmy165)2/30(1501mmmmy752/)150(2 图2-38 例2-19图 例例2-19 2-19 求图2-38中阴影部分的形心坐标。解解 由图形的对称性可知：yc0。求xC A1R 2，A2r 2，AA1A2（R 2r 2），x10，x2a，由式（2-24）222rRarAxAxiiC xc为负值，表明组合图形的形心C位于坐标原点O的左侧。第五节第五节 摩擦与摩擦力摩擦与摩擦力 一、摩擦与摩擦力的概念一、摩擦与摩擦力的概念 实例实例 车轮与地面之间 胶带传输机 带传动机构 摩擦离合器 制动器螺钉、螺栓的联接紧固等 本节只初步介绍古典摩擦理论中“干摩擦”问题的基本
49、结论。物体之间存在摩擦力。某些器物表面相对光滑,或接触面间润滑良好等原因,摩擦力与物体所受的其他作用力相比很小。对于这种条件下的力学问题,忽略摩擦力的影响,能简化分析计算,而其结果却能够满足所研究问题的实际需要。但是在有些实际问题中,摩擦力的影响较大,或者所分析的问题就是由摩擦力本身决定的,此时摩擦力就是分析计算的要素之一了。二、滑动摩擦二、滑动摩擦滑动摩擦沿接触面的切线方向，指向与相对滑动方向相反。按物体间是否存在相对滑动，有静滑动摩擦力静滑动摩擦力和动滑动摩擦力之分动滑动摩擦力之分 1.1.静滑动摩擦力静滑动摩擦力图2-39 静摩擦力实验 互相接触的物体间存在相对滑动或有相对滑动的趋势时,
50、两物体的接触表面之间就会产生阻碍彼此滑动的力,这种阻力称为滑动摩擦力滑动摩擦力。两个互相接触的物体间有了相对滑动的趋势两个互相接触的物体间有了相对滑动的趋势,而滑动尚未实际发生时而滑动尚未实际发生时,接触面间所产生的摩擦力称为静滑动摩擦力接触面间所产生的摩擦力称为静滑动摩擦力,简称静摩擦力。简称静摩擦力。静摩擦力实验：装置如图2-39a所示,在水平台面上放置一个重量为G的物块，实验表明,砝码较小时,物块仅有向右滑动的趋势而并不产生滑动。可见此时物块处于受力平衡状态,与拉力T起平衡作用的力,它指向左方,阻止物块滑动,这就是静摩擦力静摩擦力;设以F表示该静摩擦力。由平衡条件0,00,0GNFFTF
