1、第五章第五章 标高投影标高投影5 标高投影一、目的和要求一、目的和要求 1.了解标高投影的原理和特点 2.了解标高投影在工程中的应用 3.掌握点、直线、平面、圆锥面、同坡曲面和地形面的标高投影表示方法 4.掌握求解开挖线、坡脚线和坡面交线的一般方法二、重点和难点二、重点和难点 重点：点、直线、平面、曲面的标高投影；开挖线、坡脚线、坡面交线的概念及求法 难点：平面和曲面的标高投影表示方法5.4 曲面的标高投影5.3 平面的标高投影5.2 点和直线的标高投影5.1 标高投影概念第五章 标高投影5.1 标高投影概念标高投影图 地面是起伏不平的不规则曲面，很难用三面投影图来表达清楚。为此，常用一组等间
2、隔的水平面截割地面，所得截交线均为水平曲线，其上的各点都有相等的高度，故称其为等高线等高线。这些等高线的水平投影标上高度数字，能够表示地面的起伏变化。这种用水平投影与标注高度数字结合起来表达空间曲面的用水平投影与标注高度数字结合起来表达空间曲面的方法称为标高投影法方法称为标高投影法，所得的单面正投影图称为标高投影图标高投影图。5.1 标高投影概念 所注高度称为高程,也称为标高。标高投影图中的基准面一般为水平面,高程以“m”为单位,在图上不需注明,但必须注明绘图比例或画出绘图比例尺。标高投影法是一种完善的投影方法，在土木、水利工程中,可用于解决面面相交（平面相交、平面与曲面、曲面与曲面相交）等几
3、何问题,所以像填挖边坡的交线、坡脚线等问题也常用标高投影来求解。5.4 曲面的标高投影5.3 平面的标高投影5.2 点和直线的标高投影5.1 标高投影概念第五章 标高投影5.2 点和直线的标高投影 以水平投影面H为基准面,作出空间点A、B、C在H面上的正投影a、b、c,并在点a、b、c的右下角标注该点距H面的高度,所得的水平投影图即为点A、B、C的标高投影图。在标高投影中,设水平基准面H的高程为0,基准面以上的高程为正,基准面以下的高程为负。5.2.15.2.1点的标高投影点的标高投影点的标高投影5.2 点和直线的标高投影a5A543210mb-3BCc0基面高度为零比例尺标高低于基面加负号5
4、.2 点和直线的标高投影 1.1.直线的坡度和平距直线的坡度和平距 直线的坡度：直线的坡度：直线上任意两点的高差与其水平距离之比,记为i，i=H/L=tan。直线坡度的大小反映了直线的倾斜程度,坡度越大,表明直线越陡。5.2.25.2.2直线的标高投影直线的标高投影直线的坡度和平距 直线的平距：直线的平距：直线上任意两点的高差为一个单位时所对应的水平距离,记为l，l=L/H=1/i=cot。坡度与平距互为倒数坡度与平距互为倒数,坡度大则平距小坡度大则平距小,坡度小则平距大。坡度小则平距大。5.2 点和直线的标高投影 2.2.直线的标高投影表示方法直线的标高投影表示方法 1)用直线上两点的标高投
5、影直线上两点的标高投影来表示(两点确定一条直线）。2)用直线上一点的标高投影及直线上一点的标高投影及直线的坡度和方向直线的坡度和方向表示(一点加直线方向确定一条直线)。直线的标高投影表示方法5.2 点和直线的标高投影【例5-1】已知直线AB的标高投影a10b5和直线上点C到点A的水平距离L=5m,求直线AB的坡度、平距和点C的高程。求直线上一点的高程5.2 点和直线的标高投影求直线上一点的高程 解:根据图中比例尺量得点a10和b5之间的水平距离为10m,则直线AB的坡度 i=H/L=(10m-5m)/10m=1/2由此可求得直线的平距 l=1/i=2因LAC=5m,所以点C和A的高差 HAC=
6、iLAC=1/25m=2.5m则点C的高程 HC=HA-HAC=10m-2.5m=7.5m记为c7.5,5.2 点和直线的标高投影3.3.直线的实长及整数高程点直线的实长及整数高程点 直线的实长：直线的实长：标高投影中求直线的实长,可以采用直角三角形法。以直线的标高投影作为直角三角形的一条直角边,以直线两端点的高差作为另一直角边,用给定的比例尺作出后,斜边即为直线的实长。求直线的实长5.2 点和直线的标高投影3.3.直线的实长及整数高程点直线的实长及整数高程点 直线上的整数高程点：直线上的整数高程点：在实际工作中常遇到直线两端点的高程值不为整数,需要在直线的投影上定出各整数高程点的情况,这些整
7、数高程点称为刻度。求整数高程点有两种方法:计算法计算法和图解法图解法。【例5-2】已知直线AB的标高投影a3.3b8.6,求作该直线上各整数高程点。求直线的整数高程点5.2 点和直线的标高投影求直线的整数高程点计算法:用图中比例尺量得LAB=8m,算出坡度 i=HAB/LAB=(8.6m-3.m)/8m=0.6625于是平距 l=1/i=1.5094点a3.3到第一个整数高程点c4的水平距离 LAC=HAC/i=(4m-3.3m)/(0.6625)=1.0566md5、e6、f7、g8各点间的水平距离均为平距尺寸1.5094m。5.2 点和直线的标高投影求直线的整数高程点图解法图解法:包括比例
8、线段法和辅助平面法。1)比例线段法 过点a3.3任作一条辅助直线a3.3c,用适当的比例沿该直线截量0.7、1、1、1、1、0.6的长度得各分点,连接末端c及b8.6,然后从各分点按cb8.6的方向反投到a3.3b8.6上,即得到已知直线标高投影上各整数高程点。5.2 点和直线的标高投影2)辅助平面法5432103987654AB45678ab3.38.6解题步骤解题步骤456781.1.作作平行于直线平行于直线标高投影标高投影的基线的基线，基线标高基线标高为小于等于直线最低为小于等于直线最低端点的端点的整数整数。2.2.利用利用比例尺比例尺，作平行于基线，作平行于基线等等间距间距的一组平行线
9、。的一组平行线。3.3.根据直线根据直线端点端点A A、B B的标高，的标高，确定其在等高线组中的确定其在等高线组中的位置位置。4.4.连接连接A A、B B得到得到ABAB与各等高线与各等高线的交点，由各交点求得直线上的交点，由各交点求得直线上各各整数标高点整数标高点。相邻整数标高点间的距离为_平距5.4 曲面的标高投影5.3 平面的标高投影5.2 点和直线的标高投影5.1 标高投影概念第五章 标高投影5.3 平面的标高投影1.1.平面上的等高线平面上的等高线:平面上的水平线,也是该平面与水平面的交线。性质性质：平面上的等高线是一组相互平行的直线；各等高线间的高差与水平距离成同一比例；等高线
10、的高差相等时,其水平间距也相等；当高差为1m时,水平距离即为平距。5.3.15.3.1平面上的等高线和坡度线平面上的等高线和坡度线平面上的等高线和坡度线5.3 平面的标高投影2.2.平面上的坡度线平面上的坡度线:平面上对水平面的最大斜度线,它的坡度代表了该平面的坡度。性质性质：平面上的坡度线与等高线互相垂直,它们的标高投影也互相垂直。坡度线上应画出指向下坡的箭头。平面上的等高线和坡度线5.3 平面的标高投影AB三个基本概念：三个基本概念：等高线等高线、坡度坡度和和平距平距平面的最大坡度线等高线123123E平面的等高线为:一组相互平行的水平线，其标高投影仍相互平行。平面的坡度与平距平面的坡度与
11、平距平面内平面内的坡的坡度与平距度与平距平面的最大坡度线与等高线相互垂直，其标高投影亦相互垂直。标高投影平面倾角5.3 平面的标高投影证明证明：图中AD是P平面的对H面的最大坡度线，它垂直于迹线PH，PH可看作P平面内的一条水平线。现证明在P平面内的所有直线中，AD的 角最大：在P平面内过A点任作一直线AE，它对H面的倾角为 ，在直角ADa中有 ,在直角AEa中有，因ADAE，故 。1ADAasinAEAa1sin1EPHDaPAH5.3 平面的标高投影【例5-3】已知A、B、C三点的标高投影a4.2b7.5c1,求平面ABC的等高线、最大坡度线、平距和倾角。解:1)连接各点,任选两边,在其上
12、定出整数高程点。2)连接两边上相同高程点,得到一组等高线。3)在适当位置任作等高线的垂线,即为平面的最大坡度线。4)标出平面的平距,相邻等高线间的水平距离为平距。作平面的最大坡度线、平距和倾角5.3 平面的标高投影5)最大坡度线的倾角就是平面的倾角。以平距作为一条直角边,以比例尺上一单位长度作为另一直角边,构造直角三角形,斜边与平距所在边之间的夹角即为平面的倾角。作平面的最大坡度线、平距和倾角5.3 平面的标高投影5.3.25.3.2平面的标高投影表示法平面的标高投影表示法1、一组等高线03214平距 l=1/i如何如何转换转换图中可以直接图中可以直接到是：到是：A 坡度坡度 B平距平距2、一
13、条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）i=1/2555432105.3 平面的标高投影3、一条一般位置线+坡度线平面用倾斜线和坡度线表示5.3 平面的标高投影【例5-4】已知平面上一条高程为15m的等高线,平面的坡度i=12,求作该平面上若干条整数高程的等高线。解:根据坡度i=12,求出平距l=1/i=2m。根据图中绘图比例尺,沿坡度线向下坡方向按2m等距离地截取3个平距,得3个点,过这3个点作高程为15m的等高线的平行线,即得平面上高程为14、13、12的等高线。同样,沿坡度线向相反方向作图,可作出高程为16、17的等高线作平面上的等高线5.3 平面的标高投影【例5-5】已知平面上一条倾斜直线A
14、B的标高投影a2b9,平面的坡度i=10.5,求作该平面的等高线和坡度线(图5-12)。求作平面上的等高线5.3 平面的标高投影【例5-5】已知平面上一条倾斜直线AB的标高投影a2b9,平面的坡度i=10.5,求作该平面的等高线和坡度线(图5-12)。解:过点B且坡度为10.5的坡度线的轨迹是一圆锥,包含直线AB且坡度为10.5的平面必然与该圆锥相切,切线BC即为平面的最大坡度线,它的坡度代表平面的坡度。当圆锥的底圆与点A在同一高度的水平面上时,底圆的半径应为r=(HB-HA)/i=3.5m作平面的等高线和坡度5.3 平面的标高投影 将水平基准面H向上移动2个单位,以b9为圆心,以3.5m为半
15、径画圆,过a2作该圆的切线,共有两条,取其中符合箭头所指方向的一条,即为平面上高程为2m的等高线。过a2b9上的整数高程点作此线的平行线,可得相应高程的等高线。过b9作等高线的垂线,并加上方向箭头,即为所求的最大坡度线。作平面的等高线和坡度线5.3 平面的标高投影 在标高投影中,两平面的交线,就是两平面上两对相同高程的等高线相交后所得交点的连线5.3.35.3.3平面交线的标高投影平面交线的标高投影平面交线的标高投影5.3 平面的标高投影【例5-6】已知两平面P、Q的标高投影,求图中两平面的交线。作平面的交线a)已知条件b)作图过程及作图结果1)延长平面P上等高线5,与平面Q上等高线5相交,得
16、交线上一点a5。2)作平面P上另一条等高线,并求出其与平面Q上同高程等高线的交点。3)连接两个交点即为平面P和平面Q的交线。5.3 平面的标高投影解题步骤解题步骤1 1、延长、延长P P平面上等高线平面上等高线5 5，与，与Q Q平面上等高线平面上等高线5 5相交，得交线相交，得交线上一点上一点a a5 5。分分 析析1 1、两平面的交线为两平面上两平面的交线为两平面上同同等高线交点的连线等高线交点的连线。2 2、P P平面已知一条等高线，再平面已知一条等高线，再求一条等高线即可求出交线。求一条等高线即可求出交线。Q5i2 2、求出、求出P P平面上的另一等高线，平面上的另一等高线，并求出其与
17、并求出其与Q Q平面上同等高线平面上同等高线的交点。的交点。3 3、连接、连接a a5 5、b b2 2，得两平面的交，得两平面的交线。线。求出等高求出等高线之间的距离线之间的距离:L=l*DHl=1/i2 如何如何求标高为求标高为2的另一等的另一等高线？高线？5.3 平面的标高投影【例5-7】已知平台顶面高程为3m,各坡面的坡度如图所示,求作各坡面与地面及坡面间的交线。解题步骤解题步骤1 1、求各边对应的标高为、求各边对应的标高为0 0的等高线。的等高线。分分 析析1 1、与与地面的交线地面的交线即为：标高为即为：标高为0 0的的等等高线高线。2 2、求出各坡面与地面的交线后，各交、求出各坡
18、面与地面的交线后，各交线的交点即为坡面间交线上的点。线的交点即为坡面间交线上的点。2 2、求各坡面间的交线。、求各坡面间的交线。求出等高线之间的距离求出等高线之间的距离:L=L=l l *DH DH l=l=1 1/i i5.3 平面的标高投影【例5-7】已知平台顶面高程为3m,各坡面的坡度如图所示,求作各坡面与地面及坡面间的交线。作坡面与地面及坡面间的交线做题步骤做题步骤：1)作各坡面上高程为0的等高线。2)作各坡面间的交线。3)画出各坡面的示坡线。5.3 平面的标高投影【例5-8】已知大堤和小堤相交,堤顶面标高分别为3m和2m,地面标高为0,各坡面的坡度如图所示。求作相交两堤的标高投影图。
19、做题步骤做题步骤：1)作坡脚线。2)作大堤坡面与小堤顶面的交线。3)作小堤的坡面交线。4)作大堤与小堤坡面间的交线。最后,在各坡面上画出示坡线。作相交两堤的标高投影图5.3 平面的标高投影【例5-9】已知堤顶高程为4m的土堤和路面坡度i=14的上堤斜路,地面高程为0,各坡面的坡度如图所示,求作坡脚线和坡面交线。做题步骤做题步骤：1)作坡脚线。2)作坡面交线。3)画各坡面示坡线。作坡脚线和坡面交线5.4 曲面的标高投影5.3 平面的标高投影5.2 点和直线的标高投影5.1 标高投影概念第五章 标高投影5.4曲面的标高投影 将圆锥的底圆置于水平面上,用一组等间隔的水平面截割圆锥,得到圆锥面上的一组
20、等高线圆,这些圆的水平投影加上高度数值,就可以表示圆锥面。5.4.15.4.1圆锥面的标高投影圆锥面的标高投影 在标高投影中,曲面也是用一系列等高线来表示的,即用一组等间隔的水平面截切曲面,画出这些截交线的标高投影,即为曲面的标高投影。工程上常见的曲面有圆锥面、同坡曲面和地形面等。圆锥面的标高投影5.4曲面的标高投影 正圆锥面的标高投影是一组同心圆,斜圆锥面的标高投影为一组偏心圆。当圆锥正放(锥顶朝上)时,等高线的高程值越大,则圆的直径越小,当圆锥倒放时,等高线的高程值越大,则圆的直径越大,圆锥面的标高投影a)正圆锥 b)斜圆锥c)倒立圆锥5.4曲面的标高投影【例5-11】在土坝与河岸的连接处
21、用圆锥面护坡,河底高程为118m,土坝、河岸、圆锥台顶面高程及各坡面坡度如图所示,求作各坡面坡脚线和坡面交线。做题步骤做题步骤：1)求坡脚线。2)求坡面交线。3)画出各坡面示坡线,完成作图。注意:圆锥面上的示坡线应通过锥顶。作土坝、河岸、圆锥形护坡的坡脚线及坡面交线a)已知条件b)立体图c)作图过程d)作图结果5.4曲面的标高投影 各处坡度都相等的曲面称为同坡曲面。工程上常用到同坡曲面,正圆锥面、弯曲的路堤或路堑的边坡面都是同坡曲面。道路在弯道处,无论路面有无纵坡,其边坡均为同坡曲面。5.4.25.4.2同坡曲面的标高投影同坡曲面的标高投影同坡曲面的形成a)同坡曲面示例 b)同坡曲面的形成及其
22、等高线5.4曲面的标高投影 正圆锥的锥顶沿空间曲导线L运动,在运动中,锥轴始终垂直于水平面,且圆锥顶角保持不变,则所有这些正圆锥的包络曲面(公切面)就是同坡曲面同坡曲面。同坡曲面与圆锥面的切线为同坡曲面上的坡度线,它的坡度等于圆锥锥顶半角的余切。用水平面与同坡曲面、圆锥面相交,所得的交线相切。这说明,同坡曲面上的等高线与圆锥面上相同高程的等高线(圆)相切,且切点位于坡度线上。5.4曲面的标高投影【例5-12】已知同坡曲面上一条空间曲线的标高投影,曲线上点A的标高投影为a6,曲线的坡度i0=15。又知同坡曲面的坡度i=12.5和坡面的倾斜方向。求作同坡曲面上整数高程的等高线。做题步骤做题步骤：1
23、)作曲线上的整数高程点。2)以曲线上整数高程点为圆心,画同心圆。3)作同坡曲面上整数高程的等高线。作同坡曲面上整数高程的等高线a)已知条件b)作图过程5.4曲面的标高投影【例5-13】已知平台高程为21m,地面高程为17m。欲修筑一条弯曲斜路与平台相连,斜路位置和路面坡度已知,所有填筑坡面的坡度均为i=11,求作各坡面与坡面、坡面与地面间的交线。做题步骤做题步骤：1)作坡脚线。2)作坡面交线。3)画出各坡面的示坡线。作弯道的标高投影a)已知条件b)作图过程5.4曲面的标高投影 地面是不规则曲面,工程中常把起伏不平、形状复杂的地面称为地形面。用等高线表示地面形状的图称为地形图。在地形图中,等高线
24、的高程一般以青岛附近黄海平均海平面为基准面。地形等高线特征:1)等高线一般是封闭的不规则曲线。2)在同一张地形图中,等高线越密,表示地面坡度越陡;反之,等高线越稀疏,表示地面坡度越平缓。3)除悬崖、峭壁外,不同高程的等高线不相交。5.4.35.4.3地形面的标高投影地形面的标高投影5.4曲面的标高投影 建筑物的表面可能是平面或曲面,地形面也可能是水平地面或不规则地面,求解交线的基本方法是三面共点法：以水平面作为辅助面,截切工程面和地面来求两个面的共有点,如果交线是直线,只需求出两个共有点并连成直线;如果交线是曲线,则应求出一系列共有点,然后依次光滑连接,即为工程面与地形面的交线。1 1平面、曲
25、面与地形面相交平面、曲面与地形面相交5.4曲面的标高投影【例5-14】已知地形面与一斜坡平面相交,如图5-25a所示,求作地面与斜坡平面交线的标高投影。做题步骤做题步骤：1)作平面等高线。2)作平面和地形面同高程等高线的交点。3)内插法求平面和地形面相同高程等高线。4)作斜坡平面与地形面交点。作地面与斜坡平面交线的标高投影a)已知条件b)作图过程5.4曲面的标高投影【例5-15】已知高程为20m的平台和地形面的标高投影,填筑坡面的坡度i1=11.5,开挖坡面的坡度i2=11,求作填挖坡面的边界线和坡面间交线。做题步骤做题步骤：1)确定填筑区和开挖区。2)作坡脚线。3)作开挖线。4)画出各坡面的
26、示坡线。作平台填挖坡面的边界线和坡面间交线a)已知条件b)作图过程5.4曲面的标高投影【例5-16】已知带有弯道的斜坡道路及地形面的标高投影,两侧坡面的填筑坡度为i1=12,开挖坡度i2=11.5,求作填挖边界线。做题步骤做题步骤：1)确定填挖分界点。2)作填方边界线。3)作挖方边界线。4)画示坡线。作弯曲斜坡道路的填挖边界线a)已知条件b)作图过程University of Science and Technology Beijing5.4曲面的标高投影 用铅垂面剖切地形面,剖切平面与地形面的截交线就是地形断面,在断面上画出地面的材料图例,即为地形断面图。2 2地形断面图地形断面图【例5-1
27、7】已知地形图和铅垂截平面AA的位置如图所示,求作AA地形断面图。地形断面图a)已知条件b)作图过程University of Science and Technology Beijing5.4曲面的标高投影作图步骤:1)在已知地形图附近作两条互相垂直的直线,其中一条为竖直线。2)根据给定作图比例尺,在竖直线上标出地形图中各等高线的高程。3)将地形图中AA断面位置线与各地形等高线的交点(保持其距离不变)量取到断面图中的水平线上,得点a、b、k、m等。4)过水平线上的这些点作竖直线,与相应高程的水平线相交,徒手连接各交点,即为铅垂截平面AA与地形面的交线。University of Scienc
28、e and Technology Beijing5.4曲面的标高投影 当地形等高线的走向与道路边线接近时,若采用作两侧坡面等高线的方法不宜求出同等高线的交点,在此情况下,可利用断面法作填挖边界。3 3断面法作填挖边界断面法作填挖边界【例5-18】已知高程为20m的水平道路,两侧开挖坡面的坡度i=1:1,求作开挖线。University of Science and Technology Beijing5.4曲面的标高投影作图步骤:1)根据设计需要,选定控制断面的位置和数量。2)以11断面为例,利用断面法求解坡面交点。确定11断面上与地形等高线的交点。作辅助断面图,高程自设,水平长度通过标高图度
29、量。利用交点求出地形断面。University of Science and Technology Beijing5.4曲面的标高投影在断面图上作出路面及开挖坡的断面。把道路边线与断面位置线的交点量取到断面图中,得到高程为20m的水平线上路面宽度。求解该断面处开挖边坡与地形的交点。根据i=11,在断面位置中自路面宽度的两端作斜线,与地形断面相交于点a和b,由此得水平距离l1和l2,从而在图5-29a的地形图中11断面位置线上可定出相应的点a和b。University of Science and Technology Beijing5.4曲面的标高投影3)同法,可作出22、33断面处的坡脚点c
30、、d和e、f,并定出坡脚点在标高投影图中的相应位置。4)作开挖线,并画出示坡线。57标高投影在土木工程中的应用标高投影在土木工程中的应用 土木工程土木工程的一般问题：的一般问题：解决解决工程建筑物工程建筑物坡面坡面与与坡面坡面交线交线地面地面交线交线开挖线开挖线-：-交点法交点法！坡面与坡面与坡面之坡面之交线交线-求求二个公有点二个公有点与与之之交线交线与与之之交线交线求求一系列公有点一系列公有点University of Science and Technology Beijing第五章 标高投影复习思考题复习思考题1.什么是标高投影图?高程的概念是什么?2.直线坡度和平距的概念是什么?二者之间有什么关系?如何作出直线上的整数高程点?3.平面标高投影的表示方法有哪些?三面两两相交时,如何作出三面共点?4.圆锥曲面和同坡曲面是怎样形成的?如何作出圆锥曲面和同坡曲面上的等高线?5.当路面倾斜并存在填、挖不同区域时,如何确定填筑区和开挖区?如何作出斜路边线上的填挖分界点?如何作出两侧坡面上的等高线?
