1、本章中英文单词对照本章中英文单词对照多元生命函数连生状况最后生存状况继承年金Multiple life functionJoint-life statusLast-survivor statusReversionary annuities多重生命函数的定义及作用多重生命函数的定义及作用多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。作用 养老金给付场合 合伙人联保场合 遗产税计算场合第七章连生状况连生状况多元生命场合净保费的厘定多元生命场合净保费的厘定最后生存状况最后生存状况多元生命函数简介多元生命函数简介在特殊死亡律假定下求值在特殊死亡律假定下求值多元剩余寿命的联合分布多元剩余寿命的联合分布
2、联合密度函数联合分布函数()()(,)T x T yfs t()()()()0 0(,)Pr(),()(,)T x T ys tT x T yFs tT xs T ytfu v dvdu多元剩余寿命的联合分布多元剩余寿命的联合分布边际生存函数()()()0 0()()()()0 0()()Pr()(,)1()()Pr()(,)1()sT xT x T ysxT xtT yT x T ytyT yFsT xsfu v dvdupFsFtT ytfu v dudvpFt 第七章连生状况连生状况多元生命场合净保费的厘定多元生命场合净保费的厘定最后生存状况最后生存状况多元生命函数简介多元生命函数简介在
3、特殊死亡律假定下求值在特殊死亡律假定下求值连生状况连生状况连生状况定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为：连生状况剩余寿命等于：连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量1(,)mxx1min(),()mTT xT x两个体连生状况的生命函数两个体连生状况的生命函数分布函数生存函数()Pr()Prmin(),()1 Pr(),()1TtxytxyF tqTtT x T ytT xt T ytp ()Pr(),().TtxytxtyStT xt T ytpi d pp例例7.1两个40岁的人，剩余寿命
4、相互独立，已知:计算两个人中先死的人，是在第5第10年间死亡的概率。5400.97p10400.95p例例7.1解解40,40540,401040,40225401040225100.970.950.0384PTpppp两个体连生状况的生命函数两个体连生状况的生命函数密度函数死亡效力函数()().()TTtxtyx ty tdftF t i d ppdt()().()Txyx ty tTftti dSt例例7.2假定（60）和（65）的寿命相互独立，且都服从 的de Moivre分布，计算（1）（2）10060,65tp60,65()t例例7.2解解60606565401()040404035
5、1()0353535tttpttttpttt 60,6560654035,0354035tttttpppt 60,6511(),0354035tttt 两个体连生状况的生命函数两个体连生状况的生命函数两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率连生状况整值剩余寿命为k的概率:1x k y kx k y kx ky kx ky kqpqqqq:Pr()kxyx k y kkxkyx ky kKkpqid ppqq两个体连生状态的生命函数两个体连生状态的生命函数剩余寿命期望0010()()xytxyxykxykeE T xyp dteE T xyp例例 7.3假定：不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死
6、亡力的一半。不抽烟的人数满足如下方程 有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。1000(75),075xlxx例例7.3解解2265552065,5565552010065,5565,55012,275757575(),()7575(65)10(55)20,(65)10(55)201020102010201020 xxnsnxnsnsnsttnsnsttttxxxxsxsxsttsttppssttpppttepdtd1003.5417t 第七章连生状况连生状况多元生命场合净保费的厘定多元生命场合净保费的厘定最后生存状况最后生存状况多元生命函数简介多元生命函
7、数简介在特殊死亡律假定下求值在特殊死亡律假定下求值最后生存状况最后生存状况最后生存状况定义：只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束。简记为：最后生存状况的剩余寿命等于：最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量1(,)mxx1max(),()mTT xT x两个体最后生存状况的生命函数两个体最后生存状况的生命函数分布函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyFtqT x T ytT xtT ytT xytqqq()()()()()()()
8、()T xyT xT yT xyFtFtFtFt两个体最后生存状况的生命函数两个体最后生存状况的生命函数生存函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyStpT x T ytT xtT ytT xytppptxyttxtyxypppp两个体最后生存状况的生命函数两个体最后生存状况的生命函数密度函数 等价公式()()()()()()()()()().()T xT yT xyT xyT xytxx ttyy ttxtyy ty tdftFtftftftdti d pppp()()()()()()()()T xyT xT yT xyftftftft两
9、个体最后生存状况的生命函数两个体最后生存状况的生命函数死亡效力函数()()()()()().T xyxyT xytxx ttyy ttxtyy ty ttxtytxtyfttStppppi dpppp例例7.4假定（60）和（65）的寿命相互独立，且都服从 的de Moivre分布，计算（1）（2）10060,65tp60,65()t例例7.4解解2606560,6560,65260,6560,6560,651400,0351400(1)40,3540402,0351400(2)()1,354040ttttttttpppptttdtptdttptt 两个体最后生存状况的生命函数两个体最后生存状
10、况的生命函数最后生存状况整值剩余寿命为k的概率等价公式:Pr()Pr()Pr()Pr().()(1)(1)kxx kkyy kxyx k y kkxx kkyy kkxkyx kx kx kx kkykxx kkxkyy kkxkyx kx kK xykK xkK ykK xykpqpqpqi d pqpqppqqqqppqppqpp qqxyxykkkkxyqqqq多元生存状况剩余寿命的关系多元生存状况剩余寿命的关系 ()()()()T xyT xyT xT y()()()()T xyT xyT xT y()()()()K xyK xyK xK y()()()()K xyK xyK xK y
11、两个体最后生存状态的生命函数两个体最后生存状态的生命函数剩余寿命期望0000 xyxyxyxyxyxyeeeeeeee联合生命状况剩余寿命协方差分析联合生命状况剩余寿命协方差分析2020()2()()2()(),()(),()()()()()oxytxyoxytxyooooooooxyxyxyxxyyxyVar T xytp dteVar T xytp dteCov T xy T xyE T xy T xyE T xy E T xye eeeeeee例例7.5公司刚购入两台设备，它们的剩余寿命相互独立，分别服从 和 的de Moivre分布。假如只要有一台设备能正常运作，公司就不会购进新设备，
12、计算公司再次购买新设备的期望时间。1020例例7.5解解第七章连生状况连生状况多元生命场合净保费的厘定多元生命场合净保费的厘定最后生存状况最后生存状况多元生命函数简介多元生命函数简介在特殊死亡律假定下求值在特殊死亡律假定下求值寿险趸缴纯保费的确定原理寿险趸缴纯保费的确定原理22()uxyxyxyxyAE Zv fu duVar ZAA联合生命状况下寿险趸缴保费的确定联合生命状况下寿险趸缴保费的确定连生状况最后生存状况1022xykxyxykkkxykxyxyAvqqqVar ZAA11:0022kkxyxykxyx k y kkkkxyxyxyAvqvpqVar ZAA联合生命状况下生存年金的
13、确定联合生命状况下生存年金的确定原理连生状况最后生存状况222:11(1)uuu nu naAVar YAAdd222:11(1)xyxyxy nxy naAVar YAAdd222:11(1)xyxyxy nxy naAVar YAAdd连生状况和最后死亡状况的关系连生状况和最后死亡状况的关系(1)()()()()(2)(3)xyxyxyxyxyxyK xyK xyK xK yAAAAaaaa例例7.6例7.4续，假定计算0.0560,6560,6560,6560,65,AaAa例例7.6答案（答案（1）40400.0560600035350.0565650035350.0560,6560,
14、65004035400.050.0560,6560,6500351()0.4323401()0.472135752()0.5867140021()140040tttttttttAv ft dtedtAv ft dtedttAv ft dtedttAv ft dtedtedt606560,6560,650.31770.3177orAAAA例例7.6答案（答案（2）6060656560,6560,6560,6560,65606560,6560,6511 0.432311.3540.0511 0.472110.5580.0511 0.58678.2660.0511 0.317713.6460.051
15、3.646AaAaAaAaoraaaa单重次顺位函数单重次顺位函数 在n年之内，(x)先于(y)死亡1nxyq100000()()()()()()nnnxyxyxyttnnnxtytxx ttyxyx tqf t fs dsdtf tfs dsdtf tp dtpp dtptdt单重次顺位函数单重次顺位函数 在n年之内，(y)后于(x)死亡 2nxyq20 0000011()()()()(1)(1)()n tntnxyxyyxnntyy ttxnyxyy tnynxynxynynxqfs ft dsdtftfs dsdtpp dtpptdtqqqpq(0()()prT xT yn顺位保险顺位保
16、险1021txytxyx TxyyxyAvpdtAAA例例7.7例7.4续求1160,651060,6511260,6560,6560,65(1)(2),(0.05)qandqAAA例例7.7答案（答案（1）3535160,6560,656500101011060,6560,6565004010.571440354010.0.254035tttttqpdtdttqpdtdt例例7.7答案（答案（2）35160,6560,656501160,6560,6560,652160,656560,65()0.3230.2640.149ttAept dtAAAAAA例例7.8假定有一(20)岁女性，一(5
17、0)岁男性已知求两者中第一个死亡者的期望寿命113015fm例例7.8答案答案00.10111301520,5001120,5020,501113015101011/33012/312()2050 105033fmtfmtteedtqeedtqqE theageof first death 继承年金继承年金继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为 。终身继承年金定期继承年金vuayxyx yaaa:y nxy nx y naaa例例7.9例例7.9解解例例7.10两个小孩玩电脑游戏。该游戏只允许一人操作。
18、现在是(x)在玩，(y)在旁边等待。(x)走后，(y)才能开始玩，通常他每小时可以获得10000点游戏积分。已知(x)每小时离开的恒定效力等于0.7，而(y)每小时离开的恒定效力等于0.6。求这次(y)可能获得的游戏积分期望值。例例7.10解解第七章连生状况连生状况多元生命场合净保费的厘定多元生命场合净保费的厘定最后生存状况最后生存状况多元生命函数简介多元生命函数简介在特殊死亡律假定下求值在特殊死亡律假定下求值Gomperz假定下假定下 目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出w，于是(),0 xysssxxBcx sy
19、 ssxyBcBcBcccctxytppMakeham假定下假定下 由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出，于是()()xyssxxABc222x sy ssxyABcABcABcccctxytpp例例7.11假定生命表服从Makeham分布且多元生命状态20:30可以被W:W代替。假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替求Z.210c例例7.11解解203020302310102022262222642220wwwzwzcc
20、cccccccccccz均匀分布假定均匀分布假定在均匀分布假定下，趸缴净保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质()1(1)()()xyxyxyxymxyxyiAAaAam am课堂案例补充课堂案例补充例例7.12已知（60）（70）的寿命服从的de Moivres 分布，剩余寿命相互独立。令 代表最后死亡事件发生在10年后的概率，代表第一个死亡事件发生在5年之后，10年之内的概率，求 的值。1p2p12pp例例7.12答案答案110101010Pr10110 10111140 3012xyxyxypT xypqqq 2510551010Pr 51035 2530 2027540 3040 3
21、01200 xyxyxyxypT xypppppp1211275110.687512120016pp例例7.13给定不同生命剩余寿命相互独立计算40岁人活到75岁的概率 2525,500.2p15250.9p例例7.13解解2525,502525 25501525 104025501525 3540pppppppp2525,50354015250.220.99ppp例例7.14设计算1100 xx0100 x22525,50q例例7.14解解212525,5025252525,502525,502502502575150375 501134112ttqqqpdttdt例例7.15有一保单设计如
22、下：（x）（y）都活着时每年支付1若（x）先死，每年支付额减为1/2若（y）先死，每年支付额减为1/3若（x）（y）都死亡，给付结束。写出该保单精算现值的表达式例例7.15解解,111326xyx yaaa例例7.16一对夫妇投保一份终身连续生存年金。夫妻都活着时，每年给付1只有一人活着时，每年给付2/3夫妻两人的剩余期望寿命均服从 的恒定死亡力分布，且求此年金的趸缴保费。0.060.05例例7.16解解0000.110.1700212213333322133341336.1818xyxyxyxyttttxtytxyttaaaaav p dtv p dtv p dtedtedt例例7.17一种
23、生存年金规定：前20年，（x）（y）只要有一人存活便要给付年金120年后（x）（y）中只有一人存活时才给付年金1 求：此险种的精算现值 8.5xya12xa 10ya 20|4.8xya例例7.17解解 2002002020|xy20|12 108.54.88.3kktttxyxyxykkttxyxyxyxyxyxyE Yvpvppvpvpaaaaaa例例7.18设T(x)和T(y)相互独立，且二者死亡力均恒定已知 求 T(x)和T(y)的死亡力 0.0514xa 10 xya1xyq例例7.18解解11314140 xxxAa111035xyyxya例例7.18解（解（2）100335140031400.43xytxyxtxtyxxxqpdtppdteedt
