1、 1.5 1.5 功和能功和能（work and energy)1.5.1 功功1.5.2 动能定理动能定理1.5.3 保守力和势能保守力和势能1.5.4 机械能守恒机械能守恒 一一.功的概念及定义功的概念及定义质点在力质点在力 的作用下的作用下,发生一小段位移发生一小段位移 时，时，称此力对该质点做了功称此力对该质点做了功.Fr 质点沿直线运动时恒力功的大小质点沿直线运动时恒力功的大小1.5.1 功功 （work)功的特点功的特点:功是标量。功是标量。它无方向它无方向,但有正、负。但有正、负。0,2;0,2;0,20 dAdAdA 本章研究力的空间累积效应本章研究力的空间累积效应 功功 及动
2、能、势能、动能定理、机械能守恒定律。及动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。ABsF恒力恒力 sFFsA cos二二.质点沿直线运动时变力的功质点沿直线运动时变力的功设：质点沿设：质点沿 x 轴运动，轴运动，F(x)x1x iixixxfA xxxiixxixdxxfxxfAAii100limlimnixxxxx .11 认为不变认为不变处（无限小）处（无限小）在在iixFx iixiiiixxfxxFA )(cos)(F（xi）iix将各段元功迭加：将各段元功迭加：例例1：弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算算 m 由由 x1 x2 弹性力的功。弹性力的
3、功。0212121212122212122212 kxkxkxkxkxxxkxfx dxkxdxfAxxxxx 2121x1x2x 0m由此式可见，弹力的功只与小球的初末位置有关，而由此式可见，弹力的功只与小球的初末位置有关，而与移动的中间过程无关，例如若先将与移动的中间过程无关，例如若先将m从从x1点向右拉点向右拉伸，然后再压缩至伸，然后再压缩至x2点，弹力的功仍为上式。点，弹力的功仍为上式。iiiirFA cos 元功元功iiirFA iiiriirrFAA00ABlimlim三三质点沿曲线运动时变力的功质点沿曲线运动时变力的功iF i iABir m BAcos rdF BArdF注意：
4、在积分过程中，不仅力的大小和方向可能注意：在积分过程中，不仅力的大小和方向可能改变，而且力和线元之间的夹角也可能改变。改变，而且力和线元之间的夹角也可能改变。例例2 2：m 沿曲线由沿曲线由a b,求重力的功求重力的功hh1h2abir i img解：解：cosrdmgrdFdA mgdhdA ba21hhmgdhdAA与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起起末位置，末位置，与中间过程无关与中间过程无关。dhrd cos 21hhmg hh1h2abir i img解：解：ymgF 2121rrrr)(ydyxdxymgrdFAydyxdxr
5、d 2121hhhhdymgydyymg)21(hhmg 四四.合力的功合力的功 BAABrdFA合力做的总功等于每个分力合力做的总功等于每个分力沿同一路径沿同一路径做功的代数和。做功的代数和。五五.功率功率 P1.平均功率平均功率tAP 2.瞬时功率瞬时功率dtdAtAPt lim0vF rdFFFN .21NABABABBABABAAAArdFrdFrdF .2121几个功率的数量级：几个功率的数量级：睡觉睡觉 7080W(基础代谢基础代谢)闲谈闲谈 7080W 走路走路 170380W 听课听课 70140W 跑步跑步 7001000W 足球足球 630840W物理意义：物理意义：表示作
6、功的快慢表示作功的快慢单位：单位：瓦特瓦特(W)例例3：弹簧：弹簧(倔强系数为倔强系数为k)一端固定在一端固定在A点点，另一端连另一端连一质量为一质量为m的物体的物体，靠在光滑的园柱体表面靠在光滑的园柱体表面(半径半径 a)，弹簧原长弹簧原长 AB，在外力作用下极缓慢地沿表面从在外力作用下极缓慢地沿表面从B到到C，求求：外力做的功外力做的功。解解:物体物体m匀速移动匀速移动 合外力为零合外力为零 切向合外力为零切向合外力为零 kamgF cos ccdakadamg 00cos CBrdFA2221sincckamga CFfNmgmAB例例4：已知：地下贮水池横截面：已知：地下贮水池横截面
7、S，池中贮水深度，池中贮水深度 h1，水平面与地面间水平面与地面间 h0。求：将池中水全部吸到地面需作。求：将池中水全部吸到地面需作功功 A=?解：解：hdhh1h0对象：一层水（坐标如图）对象：一层水（坐标如图）)(SdhdVdm 重力：重力：gSdhdmg hgdmhdmgdA )(100hhhgShdhdAA 2211021hhhgS h0一层水被吸到地面需要克服重力做功：一层水被吸到地面需要克服重力做功：hdhh1h0h0,hhrhsgdhFd ,sghdhrFddA 2212110212|100100hhhsgsghsghdhAhhhhhh 另解：另解：1.5.2 1.5.2 动能定
8、理动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。dsfrdfAbaba cos据牛二定律据牛二定律vdtdsdtdvmmaftt 且且2122212121mvmvmvdvvdtdtdvmdsfAvvbabat 二、质点的动能定理二、质点的动能定理dsfbat 一、动能一、动能质量为质量为m，速率为，速率为v的质点的的质点的动能动能定义为：定义为：221mvEk 单位：焦耳（单位：焦耳（J）（）（SI）abm Frd3.在所有惯性系中在所有惯性系中,动能定理形式保持不变。动能定理形式保持不变。但是，动能定理的量值相对不同惯性系值不相同但是，动能定理的量值
9、相对不同惯性系值不相同,即（即（V22-V21）的值不相同。的值不相同。1.动能定理给出了力的空间积累效应，即功可以改动能定理给出了力的空间积累效应，即功可以改变质点的动能。变质点的动能。2.其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。功是过程量，动能是状态量。功是过程量，动能是状态量。2122AB2121mvmvA 2122AB2121mvmvA 讨讨论论例例5：长度为：长度为L、质量为质量为M的均匀链条的均匀链条，置于水平光滑置于水平光滑桌面上。开始时桌面上。开始时,有少
10、部分链条（长度为有少部分链条（长度为a）下垂在桌下垂在桌外。在重力作用下外。在重力作用下，链条下落。链条下落。求求:当链条尾端刚刚离开桌面时的速率当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v=?解：链条下落是重力做功的结解：链条下落是重力做功的结 果，当下落长度变化时果，当下落长度变化时,重力大重力大小也变化，因此为变力做功。小也变化，因此为变力做功。用动能定理可求末状态速度。用动能定理可求末状态速度。1.1.建立坐标建立坐标 ox,向下为正方向向下为正方向。a L，M光滑光滑光滑光滑0axxL、M2.2.某时刻端点位置为某时刻端点位置为 x.光滑光滑0axxL、MxLMm xgLMmgf dxxgLM
11、dxfdA dxgxLMALa 22aLLgv 0212 Mv 222121aLgLM下落部分的下落部分的质量及所受重力分别为质量及所受重力分别为例例6 6:质量为质量为m的小球经长为的小球经长为l 的摆线悬挂于固定点的摆线悬挂于固定点O，开始时把小球拉到水平位置开始时把小球拉到水平位置,并自由释放并自由释放,求摆线下摆求摆线下摆角为角为 0 时小球的速率时小球的速率v.O 0lABdr d mgT解：外力为绳子张力和重力，绳解：外力为绳子张力和重力，绳子张力始终与位移垂直，不作功子张力始终与位移垂直，不作功 BABAABrdgmrdFA 00cos dlmg0sin mgl mvB2 0 =
12、mg l sin 0210sin2 glvB 由动能定理由动能定理三三.质点系的动能定理质点系的动能定理两个质点的系统两个质点的系统21,ff-为内力为内力.21,FF-为外力为外力.分别应用质点动能定理分别应用质点动能定理:21121111111112121ABvmvmrdfFBA 22222222222222121ABvmvmrdfFBA 2222112222112211221121212211221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAm1A1 B11F1f1rdA2B22fm22rd2F 222211222211221122112121221
13、1221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAA外外+A内内=EkB-EkA外力总功外力总功+内力总功内力总功 =系统总动能的增量系统总动能的增量内力虽不能改变系统的动量，但能改变系统的动能。内力虽不能改变系统的动量，但能改变系统的动能。例：炸弹爆炸过程例：炸弹爆炸过程,内力内力(火药的爆炸力火药的爆炸力)所做的功使得所做的功使得 弹片的动能增加。弹片的动能增加。内力功的和不一定为零（内力功的和不一定为零（各质点位移不一定相同）。各质点位移不一定相同）。四四.一对力的功一对力的功分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力分别作用在两个物体上的大小相
14、等、方向相反的力，我们称之为，我们称之为“一对力一对力”。一对力通常是作用力与反作用力，一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。但也可以不是。如图示的如图示的 f1与与 f2就不是作用力与反作用力，但仍是就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。在同一直线上。1.一对力一对力21 f2 f1=-f2一对力所做的功，等于其中一对力所做的功，等于其中一个质点受的力和该质点相一个质点受的力和该质点相对另一质点的位移的点积。对另一质点的位移的点积。2.2.一对力的功一对力的功 m2相对于相对于m1的元位移。的
15、元位移。21rd2211rdfrdfdA 对对212122)(rdfrrdf A1A2B1B2m1m21r2r21rO1r d2r d1f2f1)dA对对 与参考系选取无关。与参考系选取无关。为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，计算另一质点受力并以该质点所在位置为原点，计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。所做的功，这就是一对力的功。说说明明 2)2)一对滑动摩擦力的功恒小于零一对滑动摩擦力的功恒小于零 Sm f地面地面S f以地面为参考系：以地面为参考系：SfSfA 对对 以滑块为参考系：以滑块为参考系：SfSf
16、A 对对Sf 3)3)在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。一对力的功必为零。NNv1Mv12光滑光滑m21v21v 不垂直于不垂直于N0 NA2v 不垂直于不垂直于N 0 NA0 NNAAA对对但但图中图中）即即（1212d,rNN v1.5.3 保守力和势能保守力和势能一一.保守力定义保守力定义如果力所做的功只与物体的始末位置有关而与如果力所做的功只与物体的始末位置有关而与 路径无关路径无关,这样的力称为保守力这样的力称为保守力.或或:物体沿闭合路径绕行一周物体沿闭合路径绕行一周,力对物体所做的力对物体所做的功等于零功等于
17、零,这样的力称为保守力这样的力称为保守力如如:重力、万有引力、静电力、弹性力。重力、万有引力、静电力、弹性力。二二.非保守力非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力作功与路径有关的力称为非保守力 例如：摩擦力（耗散力）例如：摩擦力（耗散力）作功恒为负作功恒为负 爆炸力：作功为正。爆炸力：作功为正。1.1.重力重力 A)(BB)(A21LLdAdAdAhAhBhAB12 cosBABA rdmgrdFAdhrd cos)(ABhhmghmghmgdhBA 无论物体沿无论物体沿 1 路径还是路径还是 2 路路径结果都如此径结果都如此0 ABBAhhhhmgdhmgdh三、几种保守力三、几种保守力m
18、girdi mg可见，重力的功只与初末位置有关，与路径无关。可见，重力的功只与初末位置有关，与路径无关。ABABrGMmrGMmA 一对万有引力做功之和只与两质点的始末相对位置有关。一对万有引力做功之和只与两质点的始末相对位置有关。rdrrGMmrdfA BA2BAABdrrdrdr cos1drrGMmArr BA2AB2.万有引力万有引力质点质点M和和m间有万有引力作用间有万有引力作用,计算这一对力的功可以计算这一对力的功可以认为认为M静止，且选静止，且选M为原点，则为原点，则M对对m的万有引力为：的万有引力为：rrGMmf2 rrrdrdmMAB ArBrr rd 水平桌面上一个质量为水
19、平桌面上一个质量为m的小物体的小物体,沿半径为沿半径为R的的圆弧移动一周圆弧移动一周,设摩擦系数为设摩擦系数为 s,求摩擦力的求摩擦力的 功。功。fdsrdfA四四.非保守力非保守力摩擦力的功摩擦力的功fdrRRmgdsmgsRs 220 2122212121kxkxdxfAxxx 3.3.弹性力弹性力弹力的功只与始末位置有关，与中间过程无关。弹力的功只与始末位置有关，与中间过程无关。x1x2x om摩擦力的功与所经历的路径有关摩擦力的功与所经历的路径有关,沿封闭回路的功不为零沿封闭回路的功不为零四、势能四、势能 (Potential Energy)因此，可定义一个只与位置有关的函数因此，可定
20、义一个只与位置有关的函数 EP,该该函数被称为系统的势能函数函数被称为系统的势能函数。222121BAkxkx 弹力的功弹力的功 AAB=重力的功重力的功 AAB=mghA-mghB)()(2121BArmGmrmGm 万有引力的功万有引力的功 AAB=一、几种保守力的功一、几种保守力的功特点：保守力的功可以写成两项之差，第一项只特点：保守力的功可以写成两项之差，第一项只与初位置有关，第二项只与末位置有关。与初位置有关，第二项只与末位置有关。保守力所作的功等于势能增量的负值保守力所作的功等于势能增量的负值PPPEEEA BAAB(势能差势能差)上式只定义了势能差上式只定义了势能差,这样势能的绝
21、对值可以这样势能的绝对值可以相差一个任意常数相差一个任意常数.二、势能二、势能要想求出某点势能值，则应规定一势能零点要想求出某点势能值，则应规定一势能零点如：若规定如：若规定C点的势能为零，点的势能为零，0 pcE即：即：则系统在任意点则系统在任意点 A A 的势能为：的势能为：CAACACrdfEEEApppA质点在空间某点的势能值等于把其从该点沿任意质点在空间某点的势能值等于把其从该点沿任意路径移到势能为零的参考点保守力所做的功。路径移到势能为零的参考点保守力所做的功。说明说明:1）势能零点不同势能零点不同,势能表达示也不同，各点势能值势能表达示也不同，各点势能值也就不同也就不同,但不影响
22、任意两点的势能差但不影响任意两点的势能差.2）势能的势能的“所有者所有者”应是系统共有应是系统共有,它不属于某它不属于某一个质点。它实质上是一种相互作用能。一个质点。它实质上是一种相互作用能。3）势能是标量、是状态量。）势能是标量、是状态量。只有对保守内力才能引入相应的势能。只有对保守内力才能引入相应的势能。三、几种保守力的势能三、几种保守力的势能mghEp 221kxEp rGmMEp 重力势能：重力势能：弹性势能：弹性势能：万有引力势能：万有引力势能：零点在零点在 h=0 处。处。零点在零点在 x=0自然伸长处。自然伸长处。零点选在零点选在 处。处。r1.5.4 机械能守恒定律机械能守恒定
23、律 （law of conservation of mechanical energy）一、功能原理一、功能原理kAkBEEAA 内内外外功能原理功能原理外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量由质点系的动能定理由质点系的动能定理将内力分为两部分将内力分为两部分kAkBEEAAA 内非内非内保内保外外pBpAEEA 内保内保 pAkApBkBEEEEAA 内非内非外外EEEAAAB 内非内非外外系统的机械能系统的机械能 机械能守恒定律机械能守恒定律 当当 只有保守内力做功时系统机械能守恒只有保守内力做功时系统机械能守恒ABEEAA 内非内非外外由功能
24、原理由功能原理 二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律 三、能量守恒定律三、能量守恒定律一个不受外力作用的系统称为一个不受外力作用的系统称为孤立系统孤立系统1.1.若系统内非保守内力为零，或它不做功，则系统机若系统内非保守内力为零，或它不做功，则系统机械能守恒。械能守恒。2.若非保守内力作功不为零若非保守内力作功不为零,机械能则不守恒机械能则不守恒,但各种但各种形式能量形式能量(包括热能包括热能,化学能化学能,光能光能)的总和仍守恒的总和仍守恒,这就这就是是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律,这是自然界最普遍的定律之一这是自然界最普遍的定律之一.0 内非内非外外AABAEE 0 外外A四、守恒
25、定律的意义四、守恒定律的意义 1.守恒定律是关于变化过程的规律。守恒定律是关于变化过程的规律。当满足一定条件下当满足一定条件下,不必考虑过程的细节，而对系不必考虑过程的细节，而对系统的初、末状态进行讨论。统的初、末状态进行讨论。这就是各个守恒定律的特点和优点。这就是各个守恒定律的特点和优点。2.当守恒定律不成立时当守恒定律不成立时,再考虑动量定理、动能定再考虑动量定理、动能定理理,分析力的两个积累效应。分析力的两个积累效应。121221kkBAttEErdFAPPdtFI3.若研究物体瞬时状态若研究物体瞬时状态,用牛顿运动定律。用牛顿运动定律。解：设碰撞后两球速度解：设碰撞后两球速度21vvv
26、 由动量守恒由动量守恒21vv,两边平方两边平方22212122vvvvv 由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）22212vvv 021 vv两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直例：在光滑的平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中例：在光滑的平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度一球开始时处于静止状态，另一球速度 v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。例例:一种实验小车质量为一种实验小车质量为M，摆求质量为，摆求质量为m,轻摆杆长轻摆杆长为为L，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小车，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小
27、车和摆球的速度和摆球的速度V和和v.计算中忽略摩擦计算中忽略摩擦.VvmML解解:取取 m,M,地球作为一个系统地球作为一个系统,水平方向不受外力水平方向不受外力,水平动量守水平动量守恒，另外整个过程只有保守力恒，另外整个过程只有保守力(重力重力)作功作功,整个过程机械能守恒整个过程机械能守恒 水平动量守恒水平动量守恒:-mv+MV=0 机械能守恒：机械能守恒：mv 2+MV2=mgL2121解之得：解之得：gLMmMv2 gLMmMmV2)(2 例：用功能原理求外力做的功例：用功能原理求外力做的功FfN解：根据功能原理解：根据功能原理:以以 m,弹簧弹簧,地球为研究对象地球为研究对象0)21
28、(2cBc ksmghEEAF2221sincckamga c弹性势能零点弹性势能零点,重力势能零重力势能零点均选在点均选在B处处mgAB例例.设作用在质量为设作用在质量为 2 kg 的物体上的力的物体上的力 (N)12 itF 解：解：ittdtidtFvmtt6120200 如果物体由静止出发沿直线运动，在头如果物体由静止出发沿直线运动，在头 3 s 时间内，时间内，这个力作了多少功？这个力作了多少功？2236 tmtv 021122 mvrditAbaJtm729)3(2122 例例.固定的水平桌面上有一环带，环带与小物体的固定的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦摩擦 系数系数 ，在
29、切向外力作用下小物体（，在切向外力作用下小物体（质量质量 m)以速率以速率 v 做匀速圆周运动。做匀速圆周运动。求求:转一周摩擦力做的功。转一周摩擦力做的功。rvmN2 解：小物体对环带压力解：小物体对环带压力摩擦力的大小摩擦力的大小:rvmNF2 romdsFrdFdA dsrvmdAArr22020 22mv 例：光滑水平桌面上放着一质量为例：光滑水平桌面上放着一质量为M的木块的木块,木块与木块与一原长为一原长为L0,劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧相连的轻弹簧相连,弹簧另一端弹簧另一端固定于固定于O点点.当木块静止于当木块静止于A处时处时,弹簧保持原长弹簧保持原长,设一设一质量为质量为m的
30、子弹以初速的子弹以初速 v0水平射向水平射向M并嵌在木块中并嵌在木块中.当当木块运动到木块运动到 B(OB OA)时时,弹簧的长度为弹簧的长度为L.求木块在求木块在B点的速度点的速度 vB的大小和方向的大小和方向.Mm0LLAOB0vBvkMm0LLAOB0vBv(1)m和和M相撞时相撞时,系统的系统的动量守恒动量守恒AvMmmv)(0 k解解:(2)AB,只有弹力只有弹力作功作功,机械能守恒机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA (3)AB,弹力对弹力对O点的力矩为零点的力矩为零,对对O点角动量守恒点角动量守恒 sin)()(0LvMmLvMmBA 0 MVmvmg
31、RA 重力重力MmvV RMm解：重力只对小球做功解：重力只对小球做功水平方向无外力，系统水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。保持水平方向动量守恒。例：有一面为例：有一面为1/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R）的物体（质量）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量放置在光滑水平面，一小球（质量m）,从静止开始沿圆从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）面从顶端无摩擦下落（如图）,小球从水平方向飞离大物小球从水平方向飞离大物体时速度体时速度 v，求：，求：1）重力所做的功；）重力所做的功；2）内力所做的功。）内力所做的功。对对 m，内力所做的功，内力所做的功mgRmv 221对对M，
32、内力所做的功，内力所做的功222221MvmMV 222121mvMVAA 内力内力重力重力对整个系统用动能定理对整个系统用动能定理*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。例：质量为例：质量为M的卡车载有一质量为的卡车载有一质量为m的木箱，以速度的木箱，以速度沿平直路面行驶。因故突然刹车，车轮立即停止转沿平直路面行驶。因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车向前滑行了一段距离动，卡车向前滑行了一段距离L，同时木箱在卡车上，同时木箱在卡车上也向前滑行距离后才停下来。已知木箱与卡车间的也向前滑行距离后才停下来。已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车车轮
33、与地面间的滑动摩擦系滑动摩擦系数为，卡车车轮与地面间的滑动摩擦系数为，试求卡车滑行的距离。数为，试求卡车滑行的距离。vl1 2 解：卡车与木箱的受力如解：卡车与木箱的受力如图所示。图所示。lvL1N1N1fgm1f2f2NgM有：有：1N1f2f2NgM1N1fgmmgNfmgN11111,gMmNfgMmMgNN)(,)(222212 对卡车应用动能定理：对卡车应用动能定理：21210)(mvLlf 212210MvLfLf 对木箱应用动能定理：对木箱应用动能定理：结合两式得：结合两式得：221)(21vMmLflf gMmmglvMmflfvMmL)()(21)(21212212 )(22
34、122Mmmlgv 如以木箱与卡车作为一物体系统，应用动能定理有如以木箱与卡车作为一物体系统，应用动能定理有221)(21vMmLflf 可得同样结果。可得同样结果。外力总功外力总功内力总功内力总功 两体问题（两体问题（two body problem)两体问题是指两个物体在相互作用下的运动问题，如：两体问题是指两个物体在相互作用下的运动问题，如：粒子被原子核散射，行星绕太阳的运动（忽略其他星粒子被原子核散射，行星绕太阳的运动（忽略其他星体的影响）等。这类问题可简化为单体问题处理。体的影响）等。这类问题可简化为单体问题处理。由牛顿第二定律由牛顿第二定律设：设：O为惯性系中的坐标原点，质点为惯性
35、系中的坐标原点，质点 m1 和和 m2 间的作间的作用力为用力为rrff)(1 rrff)(2 O1f2fm2m1r1r2rrrfdtrdm)(2121（1）rrfdtrdm)(2222 （2）12)2()1(mm rrfmmdtrrdmm)()()(21221221 rrr 21为为m1相对相对m2的位矢，的位矢，2121mmmm为两质点的约化质量为两质点的约化质量 rrfdtrd)(22 上式可以理解为上式可以理解为m1的运动所遵循的牛顿第二定律的运动所遵循的牛顿第二定律公式，此式表明公式，此式表明m1的运动和一个质量为的运动和一个质量为 的质点在的质点在同一惯性系中受同样的力作用时的运动
36、一样，这同一惯性系中受同样的力作用时的运动一样，这一惯性系的原点应选在一惯性系的原点应选在m2 上。这样，两个质点在上。这样，两个质点在相互作用下的运动就简化为一个质点的运动。相互作用下的运动就简化为一个质点的运动。（3）由于在惯性系中有关动量和能量的定理都是从牛顿由于在惯性系中有关动量和能量的定理都是从牛顿第二定律导出的，所以，根据（第二定律导出的，所以，根据（3）式，对于两体）式，对于两体问题中的一个质点相对于另一质点的运动，有关动问题中的一个质点相对于另一质点的运动，有关动量和能量的定理均适用，只要把前一质点的惯性质量和能量的定理均适用，只要把前一质点的惯性质量改为约化质量就行了。量改为约化质量就行了。
