1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第九章立 体 几 何第一节平面的基本性质图9-1平时我们见过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形.静止的水面、黑板面、地面等，它们有一个共同特征平坦.由此可抽象出平面的概念，平面是平坦且可以无限延伸的图形.通常画平行四边形表示平面.当平面是水平放置的时候，常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图9-1所示.画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画.平面可以用一个希腊字母，来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面，平面AC等.第一节平面的基本性
2、质空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点运动构成直线，线运动构成平面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.第一节平面的基本性质第一节平面的基本性质集合中“”的符号只能用于点与直线和点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用集合符号，但在读法上仍用几何语言a(平面外的直线a)表示立体几何中有一些公理，构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践，把
3、平面的三条基本性质归纳成三条公理.第一节平面的基本性质第一节平面的基本性质图9-2公理公理1 1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.如图9-2所示：或者表示为A，B,AB.这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.公理公理1 1 说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验平面的方法.第一节平面的基本性质第一节平面的基本性质图9-3公理公理2 2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共
4、点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.如图9-3所示.或者表示为P,P，=l,Pl.公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，并提供了确定两个平面交线的方法.今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).第一节平面的基本性质公理公理3 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面或者A，B，C三点不共线，存在唯一的平面，使得A，B，C.如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形平面图形，否则称为空间图形空间图形.第一节平面的基本性质第一节平面的基本性质图9-4推论推论1 1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
5、已知：直线l，点C是直线l外一点.求证：过点C和直线l有且只有一个平面.证明：(存在性)：如图9-4所示，在直线l上任取两点A、B，A,B,C三点不共线.由公理3，经过不共线的三点A，B，C可确定一个平面，点A,B在平面内.根据公理1，l，即平面是经过直线l和点C的平面.(唯一性)：A,Bl，l，C，点A，B，C，由公理3，经过不共线的三点A，B，C的平面只有一个，所以，经过l和点C的平面只有一个.第一节平面的基本性质第一节平面的基本性质图9-5如图9-5和图9-6所示，由推论1得出：推论推论2 2经过两条相交直线有且只有一个平面.推论推论3 3经过两条平行直线有且只有一个平面.图9-6第一节
6、平面的基本性质第一节平面的基本性质图9-7第二节两条直线的位置关系如图9-8所示，长方体中下列各对线段所在直线的位置关系如何？AB与AD；AB与DC；AB与D1D.显然，直线AB与AD相交于点A；直线AB与DC平行；直线AB与D1D不在同一个平面内，如果两条直线不在同一个平面内，那么称它们为异面直线异面直线.图9-8两条异面直线一定没有公共点，因为假如它们有且只有一个公共点，那么它们相交，从而它们在同一个平面内，与前提矛盾；假如它们有两个不同的公共点，那么它们重合，从而也在同一个平面内，与前提矛盾.所以它们没有公共点.第二节两条直线的位置关系空间两直线的位置关系有四种：(1)相交有且只有一个公
7、共点；(2)平行在同一平面内，没有公共点；(3)异面不在任何一个平面内，没有公共点；(4)重合有无数多个公共点.在上面的例子中，直线AB与直线D1D是异面直线，观察它们的特点，可以得到下面的定理.第二节两条直线的位置关系第二节两条直线的位置关系定理定理1 1连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直在平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间也有类似的结论.图9-9第二节两条直线的位置关系第二节两条直线的位置关系公理公理4 4平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；在几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向.在
8、平面内，对应边平行且方向相同的两个角相等，在空间中，这个结论仍然成立.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.第三节直线和平面的位置关系根据公理1可以知道，一条直线与一个平面如果有两个公共点，这条直线就全部在这个平面内，此外，直线和平面的位置关系还有相交(一条直线与一个平面有一个公共点)和平行(一条直线与一个平面没用公共点)两种.直线和平面的位置关系有三种：(1)直线在平面内(无数个公共点)；(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点)；(3)直线和平面平行(没有公共点).它们的图形可分别表示为如图9-10所示的图形，符号可分别表示为l，l=A，l.图9-10第三
9、节直线和平面的位置关系第三节直线和平面的位置关系定理定理1 1(直线和平面平行的判定定理)如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.图9-11第三节直线和平面的位置关系第三节直线和平面的位置关系定理定理2 2(直线和平面平行的性质定理)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.图9-12第三节直线和平面的位置关系第三节直线和平面的位置关系图9-13在长方体中，上底面与下底面平行，侧面与底面相交.由此可得出两个平面的位置关系有三种情形：(1)两个平面平行(两个平面没有公共点).(2)两个平面相交(所有公共点位于一条
10、直线上).(3)两个平面重合(有三个公共点不在一条直线上).画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.第四节平面与平面的位置关系第四节平面与平面的位置关系定理定理1 1(两个平面平行的判定定理)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.图9-14推论推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.第四节平面与平面的位置关系第四节平面与平面的位置关系定理定理2 2(两个平面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.图9-15同理可得面面平行的另一性质：如
11、果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.第四节平面与平面的位置关系第四节平面与平面的位置关系图9-16第四节平面与平面的位置关系为了描述空间两条直线的位置关系，需要引入异面直线所成的角这一概念.如图9-17所示，已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线aa,bb,a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角(或直角)叫异面直线异面直线a,ba,b所成的所成的角角(或夹角).为了简便，点O通常取在异面直线的一条上.异面直线所成的角的范围是如果两条异面直线所成的角是直角，则两条异面直线垂直异面直线垂直.两条异面直线a,b垂直，记作ab.第五节两条直线所成的角第五
12、节两条直线所成的角图9-17第五节两条直线所成的角和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线.因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.第五节两条直线所成的角以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，显然轴与另一条直角边旋转过程中产生的任何一条直线垂直，由此可以得到下述概念.如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂这条直线和这个平面互相垂直直.其中直线叫做
13、平面的垂线平面的垂线，平面叫做直线的垂面直线的垂面.交点叫做垂足垂足.第六节直线与平面垂直直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.第六节直线与平面垂直第六节直线与平面垂直图9-18定理定理(直线与平面垂直的判定定理)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若ll1，ll2，l1l2B，l1，l2，则l如图9-18所示.第六节直线与平面垂直第六节直线与平面垂直图9-19第六节直线与平面垂直图9-20第六节直线与平
14、面垂直从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离点到这个平面的距离.一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离这条直线和平面的距离.空间中任一点向平面引垂线，垂足称为该点在平面上的射影射影.该点与垂足间的线段称为该点到平面的垂线段点到平面的垂线段.第六节直线与平面垂直如果一条直线与一个平面相交，但不与平面垂直，那么这条直线称为这个平面的斜线斜线，斜线与平面的交点称为斜足斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段斜线段.从斜线上一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.第六节直线与平面垂直三
15、垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.第六节直线与平面垂直图9-21第六节直线与平面垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射射影影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.第六节直线与平面垂直一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点
16、叫斜足斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段斜线段.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影射影，垂足和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影射影.第六节直线与平面垂直直线与平面平行，直线在平面的射影是一条直线，直线与平面的垂直射影是点，斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.射影长相等定理射影长相等定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中(1)射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长；(2)相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长；(3)垂线段比任何一条斜线段都短.第六节直线与平面垂直在实际问题中经常要考
17、虑两个平面所成的角度，例如，在修筑堤岸时，要考虑到河堤与地面要组成适当的角度.下面开始研究两个平面所成的角度.平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的面.若棱为l，两个面分别为，的二面角记为-l-.第七节平面与平面垂直如图9-22所示，过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA、OB，则AOB叫做二面角-l-的平面角.一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两个半平面的交线分别为OA、OB，O为垂足，则AOB也是-l-的平面角.二面角的平面
18、角范围是0，180；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直.第七节平面与平面垂直第七节平面与平面垂直图9-22第七节平面与平面垂直第七节平面与平面垂直图9-23利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题的一种重要方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线.有三种作二面角的平面角的方法，即定义法、垂面法、三垂线法.两个相交成直二面角的平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.第七节平面与平面垂直定理定理1 1(两平面垂直的判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.第七节平面与平面垂直图9-24图9-25第七节平面与平面垂直定理定理2 2(两平面垂直的性质定理)若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.第七节平面与平面垂直第七节平面与平面垂直图9-26第七节平面与平面垂直
