1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第二章不等式第一节不等式的性质图2-1一、比较实数大小的方法一、比较实数大小的方法如何比较实数的大小呢？我们知道，实数与数轴上的点之间可以建立一一对应关系.如图2-1 所示，图2-1点A与数3对应，点B与数-2对应，有3-(-2)=50,所以3-2.可以看到当数轴上一动点P从左向右移动时,它对应的实数就从小到大变化.这就是说,数轴上的任意两点中数轴上的任意两点中,右边的点对应的实右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大数比左边的点对应的实数大.一般地，对于实数a,b如果a-b0，那么称a大于b(或b小于a)，记作ab(或ba);如果a-b0，那么称a小于b(或
2、b大于a)，记作aa).所以,对于任意实数a，b,有aba-b0a=ba-b=0aba-b4且43，则53,如果54则5+34+3.一般地,不等式有如下性质：性质性质1(1(传递性传递性)如果如果abab且且bc,bc,则则ac.ac.证明证明aba-b0；bcb-c0.于是a-c=(a-b)+(b-c)0所以ac.第一节不等式的性质性质性质2(2(可加性可加性)如果ab且cR,则a+cb+c.证明aba-b0于是(a+c)-(b+c)=a-b0所以a+cb+c.性质2表明,不等式两边加上不等式两边加上(或减去或减去)同一个实数同一个实数,不等号的不等号的方向不变方向不变.第一节不等式的性质例
3、3表明，对不等式可以移项，即把它的任何一项改变符号移项，即把它的任何一项改变符号后移到不等号的另一边后移到不等号的另一边.第一节不等式的性质例4表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与两个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向原不等式同向.第一节不等式的性质性质性质3 3(可乘性)如果ab,且c0,则acbc;如果ab,且c0,则acba-b0,于是当c0时,有ac-bc=(a-b)c0acbc而当c0时,有ac-bc=(a-b)c0acbc.性质3表明,不等式两边乘以同一个正数不等式两边乘以同一个正数,不等号的方不等号的方向不变；而乘以同一个负数向不变；而乘以同一个负数,
4、不等号的方向改变不等号的方向改变.第一节不等式的性质例5表明，两个两边都是正数的不等式的两边分别相乘，两个两边都是正数的不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向所得不等式与原不等式同向.例3、例4、例5是三个性质的三个推论,在做题过程中可直接应用.第一节不等式的性质第二节区间的概念介于两个实数之间的所有实数组成的集合称为区间.这两个实数称为区间的端点，两个端点之间的距离称为区间的长.设a,b为任意两个实数，且ab,规定：(1)满足不等式axb的所有实数的集合，称为闭区间，记作a,b;(2)满足不等式axb的所有实数的集合，称为开区间，记作(a,b);(3)满足不等式axb的所有实数的集合
5、，称为右开区间，记作a,b);(4)满足不等式axb的所有实数的集合，称为左开区间，记作(a,b.第二节区间的概念在数轴上，这些都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，如图2-2所示，在图上，区间闭的一端标以实心点，表示区间包括该端点；区间开的一端标以空心点，表示区间不包括该端点，如图2-2所示.区间的长为有限时，称为有限区间.以上四种区间都是有限区间.图2-2第二节区间的概念第二节区间的概念区间的长为无限时，称为无限区间.关于无限区间，有如下规定：(1)满足xa的所有实数的集合，可记作a,)；(2)满足xa的所有实数的集合，可记作a,)；(3)满足xb的所有实数的集合，可记作-，b；(4)满
6、足x0(或0)，或ax2+bx+c0的解为x2,那么此不等式的解集可表示为:x|x2-3x+20或者x|x2,用区间表示为(-,1)(2,+).下面我们通过例题来学习一元二次不等式的解法.第三节一元二次不等式第三节一元二次不等式第三节一元二次不等式二、一元二次不等式的图像法二、一元二次不等式的图像法中学我们学习了二次函数的有关知识，那么一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系怎样呢？让我们先看一个例子.例如，二次函数f(x)=x2-x-6的图像如图2-4所示.由图像可以知道当x=-2或x=3时，图像与x轴相交，f(x)=0，即x2-x-6=0；当x3时，图像在x轴上方，f(x)0，即x2-x-60；当-2x3时，图像在x轴下方，f(x)0，即x2-x-60的解集是x|x3.上例表明,由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和一元二次不等式的解集.第三节一元二次不等式第三节一元二次不等式图2-5我们知道对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设=b2-4ac,它的解按照0,=0,0与ax2+bx+c3这样的不等式吗？你能解这样的不等式吗？像这样的不等式称为含有绝对值的不含有绝对值的不等式等式.解绝对值不等式的主要依据是公式公式(1)(1)和不等式的和不等式的性质性质.第五节含有绝对值的不等式
