1、21523-9a 主编第三节复数的概念第四节复数的四则运算第五节复数的三角形式2.3(a-2b-c)-2(-a+b+3c)=。第三节复数的概念一、虚数单位我们知道,方程x2=-1没有实数根。一般地,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac|z2|。图 8-20例7用向量表示复数:-1+i、2i、3,并分别求它们的模。解 (1)如图8-20所示,向量 表示复数-1+i,它的模为|=|-1+i|=(2)如图8-20所示,向量 表示复数2i,它的模为|=|2i|=2(3)如图8-20所示,向量 表示复数3,它的模为|=|3|=3=3。习题 8-31.填空。(1)i200=;i-5=
2、;(2)1-i的实部为 ,虚部为 ,共轭复数为 。(3)实数集与虚数集的交集是 ,并集是 。2.指出下列复数的实部、虚部,并说出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数。(1)3-2i;(2)i;(3)0;(4)i6;(5)i8;(6)6i (7)8i-5;(8)-2。3.若x,y都是实数,则当x,y为何值时,复数(2+i)x+(x-3y)i=-3i?4.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?5.在复平面内,作出表示下列复数的点及向量。(1)2-5i;(2)-2i-4;(3)-3;(4)-3i;(5)2i;(6)-3+3i6.已知(x+y-5)-x
3、i与4i-(x-yi)是共轭复数,求实数x与y的值。7.求下列复数的模。(1)5;(2)-+i;(3)1-i;(4)6i;(5)-4-i;(6)9i。第四节复数的四则运算一、复数的加法和减法复数的加减运算按照多项式的加法和减法法则进行,也就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减,即设z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,dR,以下不再说明),则有(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i两复数的和或差仍是一个复数。容易验证,复数的加法运算满足:(1)交换律:z1+z2=z1+z2;(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。例1计算(2-3i)+(5+6i)-(-1-i
4、)。解 (2-3i)+(5+6i)-(-1-i)=(2+5+1)+(-3+6+1)i=8+4i二、复数的乘法与除法1.复数的乘法复数的乘法运算仍然按照多项式的乘法法则来进行,设z1=a+bi,z2=c+di,z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的乘法运算与多项式的乘法运算是类似的,但必须在所得结果中把i2换成-1,并且把实部、虚部分别合并。显然,两个复数的乘积仍是一个复数。容易验证,复数的乘法运算满足:(1)交换律:z1 z2=z2z1;(2)结合律:(z1z2)z3=z1(z2 z3);(3)分配律:z1(z2+z3)=z1
5、z2+z1z3。根据复数的乘法法则,对任何复数z=a+bi,有(a+bi)(a-bi)=a2+b2+(ab-ab)i=a2+b2 因此,互为共轭的两个复数的乘积是一个实数,并且这个实数等于这个复数模的平方,即z=|z|2=|2 此外,实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中,即zmzn=zm+n(zm)n=zmn(z1z2)n=(m,nN)例2计算(2-i)(3+i)(-1+4i)。解 (2-i)(3+i)(-1+4i)=(7-i)(-1+4i)=-3+29i例3计算(1-i)2。解 (1-i)2=1-2i+i2=1-2i-1=-2i2.复数的除法两个复数a+bi与c+di相除(c+di0),
6、先写成分式的形式,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数,并把结果化简,即=例4计算(1)(1+2i)(3-4i);(2)。解 (1)(1+2i)(3-4i)=-+i;(2)=i100=1。3.实系数一元二次方程的解法一般地,由于=i,所以在复数范围内,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式=b2-4ac0时,有一对共复数根,即x=例5在复数范围内解方程x2-8x+17=0。解因为=b2-4ac=64-68=-4所以 x=4i习题 8-41.计算:(1)(8-6i)+(-1-i);(2)3+(-2+5i);(3)(i-9)-(6+3i);(4)(-8-7i)(-2i);(5);(
7、6)2i(1-i)。2.设=-+i,求证:(1)1+2=0 (2)3=1。3.在复数范围内解下列方程:(1)x2-4x+5=0;(2)2(x2+4)=5x。第五节复数的三角形式一、复数的三角形式我们知道,与复数z=a+bi对应的向量 的模r叫做这个复数的模,并且r=。如图8-21所示,以x轴的正半轴为始边、向量 所在的射线(起点是O)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角。非零复数的辐角有无穷多个,它们相差2的整数倍。例如,i的辐角是2k+(kZ),辐角的单位可以用弧度或度。图8-21满足02的辐角的值,叫做辐角的主值,通常记作argz,即0argz2。例如,i的辐角主值是。设复数a+bi的模
8、为r,辐角为,从图8-21中,我们可以看出,于是,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos+isin)的形式,其中r=,tan=(a0),所在的象限就是与复数相对应的点Z(a,b)所在的象限。我们把r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角形式。为了同三角形式区别开来,a+bi叫做复数的代数形式。每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。例1把下列复数表示为三角形式:(1)-i;(2)1+i;(3)-3。解 (1)因为a=-,b=-1,所以r=2tan=又因为(-,-1)在第三象限,所
9、以=,得-i=2(2)因为a=1,b=1,所以r=tan=1又因为(1,1)在第一象限,所以=得1+i=(3)因为a=-3,b=0,所以r=3又因为与-3对应的点在x的负半轴上,所以=得-3=3(cos+isin)例2将复数表示成三角形式,并指出它的模和辐角主值。解因为=所以的三角形式为 它的模为,辐角主值为。例3将复数3表示成代数形式。解3=3(0-i)=-3i二、复数的三角形式的乘法和除法1.乘法与乘方运算设复数z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),则z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2(c
10、os1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)。由此可知,两复数相乘,积的模等于两复数模的积,积的辐角等于两复数辐角的和。简单地说,两复数相乘,模相乘,辐角相加。以上结论可以推广到有限个复数相乘的情形,即z1z2z3zn=r1r2r3rncos(1+2+3+n)+isin(1+2+3+n)当z1=z2=z3=zn=z,即r1=r2=r3=rn=r,1=2=3=n=时,有zn=r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)(nN)这就是说,复数的n次幂的模等于这个复数模的n次幂,辐角等于这个复数辐角的n倍。这就是
11、复数的乘方法则,这个法则又称为棣莫佛定理。例4计算 83。解83=83=24=24i例5计算。解利用棣莫佛定理计算,+i的三角形式为cos+isin,则=cos+isin=-i2.除法运算设复数z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),z20,则=-=cos(1-2)+isin(1-2)由此可知,两复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。简单地说,两复数相除,模相除,辐角相减。例6 解 =+i习题 8-51.将下列复数化为三角形式。(1)-i;(2)2-2i;(3)1+i;(4)3i;(5)4;(6)-2
12、+2i。2.把下列复数化为代数形式。(1);(2)。3.计算。(1)25;(2)(cos13+isin13)(cos45+isin45)(cos92+isin92);(3)(1-i);(4);(5);(6)(+i)6。4.直角三角形ABC中,C=,BC=AC,点E在AC上,且EC=2AE,利用复数证明:CEB+CBA=。一、选择题1.向量a,b都是非零向量,则以下说法错误的是()。(A)向量a与b同向,则向量a+b与a同向(B)向量a与b同向,则向量a+b与b同向(C)向量a与b反向,且|a|b|,则向量a+b与b同向2.矩形ABCD中,|=,|=1,则|+|等于()。(A)0 (B)2 (C
13、)4 (D)3.向量的坐标为(-1,3),点A的坐标为(5,4),则点B的坐标是()。(A)(4,7)(B)(-6,-1)(C)(6,1)(D)(-7,4)4.已知向量a、b的坐标分别为(,1),(-3,),则a与b的夹角为()。(A)60 (B)30 (C)150 (D)1205.复数a+bi的平方是一个实数的条件是()。(A)a=0,b0 (B)a0,b=0 (C)a=b=0 (D)ab=06.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚线,则实数x的值是()。(A)1 (B)-1 (C)1 (D)-1或-27.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x、y的值是()。(A)x=3,且y
14、=3 (B)x=5且y=1 (C)x=-1,且y=-1 (D)x=-1且y=18.复数+i的模为()。(A)2 (B)5 (C)(D)9.当n为偶数时,+=()。(A)2 (B)-2 (C)0 (D)0或-210.复数sin70+icos70的三角形式是()。(A)sin70+icos70 (B)cos20+isin20(C)cos70+isin70 (D)sin20+icos20二、填空题1.平行四边形ABCD两条对角线交于O点,如图8-22所示,则+=,-=,-=。图 8-222.3(a-2b-c)-2(-a+b+3c)=。3.若|a|=2,|b|=3,=60,则ab=。4.已知向量a=(2,-1),b=(3,k),若ab,则k=。5.已知(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0,则实数m=。6.已知M=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,N=-1,3,MN=3,则实数a=。7.已知z=1+2i,则=,z=,=。三、设a(2,3),b(-1,4),求a-b,4a-b,-2a的坐标。四、x取何值时,向量a(x,1)与b(-3,5)(1)互相垂直;(2)互相平行。五、已知复数z=a+bi,计算下列各数的实部与虚部。(1)z2 (2)。六、一元二次实系数方程x2+px+q=0有一根为4-i,求p、q及另外一根。七、计算(1)
