1、5 二次型及其标准形二次型及其标准形1000对应对应 11,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincos 对应对应 1111cossin,sincos.xxyyxy 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 (,)P x y111(,)P xy yx0n解析几何中，二次曲线的一般形式解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换通过选择适当的的旋转变换使得使得 mx 2+ny 2=0 定义：定义：含有含有 n 个变量个变量 x1,x2
2、,xn 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型cossin,sincos.xxyyxy 22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij=aji，则，则 2 aij xi xj=aij xi
3、xj+aji xi xj，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵1112112122221
4、21212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的
5、系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，
6、若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC=B，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9）显然，显然，pBT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对称阵，则为对称阵，则 B 也为对称阵也为对称阵pR(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变若二次型若二次型 f
7、 经过可逆变换经过可逆变换 x=C y 变为标准形，即变为标准形，即2221122112212()()()(,)TTTTnnnnnfx AxCyA CyyC AC yk yk yk ykykyyyyky 问题：问题：对于对称阵对于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1A
8、P=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在正交变换正交变换 x=P y，使，使 f 化为化为标准形标准形 f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2 其中其中 l l1,l l2,l ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(Cz
9、)为为规范形规范形推论：推论：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(C z)为规范形为规范形证明：证明：f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2若若R(A)=r，不妨设，不妨设 l l1,l l2,l lr 不等于零，不等于零，l lr+1=l ln=0,令令则则 K 可逆，变换可逆，变换 y=Kz 把把 f(P y)化为化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中其中121,|=,1,.iinkirkKkirkl l 其其中中1212,0,0|T
10、rrKKdiagllllllllllllLL例：例：求一个正交变换求一个正交变换 x=P y，把二次型，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形化为标准形解：解：二次型的矩阵二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x=P y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f=2y12+y22+y32011101110A 11132611132612036P 1000000211PAP L L 如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f=z12+z22+z320000001/211K 1000000211PAP L L 1122221/2yzyzyz
