1、3 相似矩阵相似矩阵定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则称则称 B 为矩阵为矩阵 A 的的相似矩阵相似矩阵，或称矩阵，或称矩阵A 和和 B 相似相似对对 A 进行运算进行运算 P 1AP 称为对称为对 A 进行进行相似变换相似变换称可逆矩阵称可逆矩阵 P 为把为把 A 变成变成 B 的的相似变换矩阵相似变换矩阵定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同证明：证明：根据题意，存在可逆矩阵根据题意，
2、存在可逆矩阵 P，使得，使得 P 1AP=B 于是于是|B l lE|=|P 1AP P 1(l lE)P|=|P 1(Al lE)P|=|P 1|Al lE|P|=|Al lE|定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同推论：推论：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 的多项式的多项式 j j (A)和和 B 的的多项式多项式 j j (B)相似相似证明：证明：设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵 P，使得，使得 P 1AP=B，则，则P 1AkP=Bk
3、.设设j j (x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么，那么 P 1 j j (A)P=P 1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j j (B).定理：定理：设设 n 阶矩阵阶矩阵 L L=diag(l l1,l l2,l ln)，则，则l l1,l l2,l ln 就就是是 L L 的的 n 个特征值个特征值证明：证明：故故 l l1,l l2,l ln 就是就是 L L 的的 n 个特征值个特征值1212()()()nnEl ll l
4、lllllllll ll ll llllllll lL L 定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同推论：推论：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 的多项式的多项式 j j (A)和和 B 的的多项式多项式 j j (B)相似相似若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 n 阶对角阵阶对角阵 L L=diag(l l1,l l2,l ln)相似，则相似，则从而通过计算从而通过计算j j (L L)可方便地计算可方便地计算j j (A).若若j j (l
5、 l)=|Al lE|，那么，那么 j j (A)=O（零矩阵）（零矩阵）.1211()()()()()nAPPPPj jj jj jj jl ll ll lj jLL可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll l 其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似和对角阵相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似
